2019年江苏高考数学试题及答案

2023-10-27 · U3 上传 · 35页 · 1.8 M

绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数学Ⅰ注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1.本试卷共4页,均为非选择题(第1题~第20题,共20题)。本卷满分为160分,考试时间为120分钟。考试结束后,请将本试卷和答题卡一片交回。2.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。3.请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。4.作答试题,必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效。5.如需作图,须用2B铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗。参考公式:样本数据的方差,其中.柱体的体积,其中是柱体的底面积,是柱体的高.锥体的体积,其中是锥体的底面积,是锥体的高.一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1.已知集合,,则▲.2.已知复数的实部为0,其中为虚数单位,则实数a的值是▲.3.下图是一个算法流程图,则输出的S的值是▲.4.函数的定义域是▲.5.已知一组数据6,7,8,8,9,10,则该组数据的方差是▲.6.从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务,则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是▲.7.在平面直角坐标系中,若双曲线经过点(3,4),则该双曲线的渐近线方程是▲.8.已知数列是等差数列,是其前n项和.若,则的值是▲.9.如图,长方体的体积是120,E为的中点,则三棱锥E-BCD的体积是▲.10.在平面直角坐标系中,P是曲线上的一个动点,则点P到直线x+y=0的距离的最小值是▲.11.在平面直角坐标系中,点A在曲线y=lnx上,且该曲线在点A处的切线经过点(-e,-1)(e为自然对数的底数),则点A的坐标是▲.12.如图,在中,D是BC的中点,E在边AB上,BE=2EA,AD与CE交于点.若,则的值是▲.13.已知,则的值是▲.14.设是定义在R上的两个周期函数,的周期为4,的周期为2,且是奇函数.当时,,,其中k>0.若在区间(0,9]上,关于x的方程有8个不同的实数根,则k的取值范围是▲.二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本小题满分14分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.(1)若a=3c,b=,cosB=,求c的值;(2)若,求的值.16.(本小题满分14分)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别为BC,AC的中点,AB=BC.求证:(1)A1B1∥平面DEC1;(2)BE⊥C1E.17.(本小题满分14分)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:的焦点为F1(–1、0),F2(1,0).过F2作x轴的垂线l,在x轴的上方,l与圆F2:交于点A,与椭圆C交于点D.连结AF1并延长交圆F2于点B,连结BF2交椭圆C于点E,连结DF1.已知DF1=.(1)求椭圆C的标准方程;(2)求点E的坐标.18.(本小题满分16分)如图,一个湖的边界是圆心为O的圆,湖的一侧有一条直线型公路l,湖上有桥AB(AB是圆O的直径).规划在公路l上选两个点P、Q,并修建两段直线型道路PB、QA.规划要求:线段PB、QA上的所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.已知点A、B到直线l的距离分别为AC和BD(C、D为垂足),测得AB=10,AC=6,BD=12(单位:百米).(1)若道路PB与桥AB垂直,求道路PB的长;(2)在规划要求下,P和Q中能否有一个点选在D处?并说明理由;(3)对规划要求下,若道路PB和QA的长度均为d(单位:百米).求当d最小时,P、Q两点间的距离.19.(本小题满分16分)设函数、为f(x)的导函数.(1)若a=b=c,f(4)=8,求a的值;(2)若a≠b,b=c,且f(x)和的零点均在集合中,求f(x)的极小值;(3)若,且f(x)的极大值为M,求证:M≤.20.(本小满分16分)定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M-数列”.(1)已知等比数列{an}满足:,求证:数列{an}为“M-数列”;(2)已知数列{bn}满足:,其中Sn为数列{bn}的前n项和.①求数列{bn}的通项公式;②设m为正整数,若存在“M-数列”{cn},对任意正整数k,当k≤m时,都有成立,求m的最大值.数学Ⅱ(附加题)21.【选做题】本题包括A、B、C三小题,请选定其中两小题,并在相应的答题区域内作答.若多做,则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.[选修4-2:矩阵与变换](本小题满分10分)已知矩阵(1)求A2;(2)求矩阵A的特征值.B.[选修4-4:坐标系与参数方程](本小题满分10分)在极坐标系中,已知两点,直线l的方程为.(1)求A,B两点间的距离;(2)求点B到直线l的距离.C.[选修4-5:不等式选讲](本小题满分10分)设,解不等式.【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计20分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22.(本小题满分10分)设.已知.(1)求n的值;(2)设,其中,求的值.23.(本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy中,设点集,令.从集合Mn中任取两个不同的点,用随机变量X表示它们之间的距离.(1)当n=1时,求X的概率分布;(2)对给定的正整数n(n≥3),求概率P(X≤n)(用n表示).解析版绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数学Ⅰ注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1.本试卷共4页,均为非选择题(第1题~第20题,共20题)。本卷满分为160分,考试时间为120分钟。考试结束后,请将本试卷和答题卡一片交回。2.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。3.请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。4.作答试题,必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效。5.如需作图,须用2B铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗。参考公式:样本数据的方差,其中.柱体的体积,其中是柱体的底面积,是柱体的高.锥体的体积,其中是锥体的底面积,是锥体的高.一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1.已知集合,,则_____.【答案】.【解析】【分析】由题意利用交集的定义求解交集即可.【详解】由题知,.【点睛】本题主要考查交集的运算,属于基础题.2.已知复数的实部为0,其中为虚数单位,则实数a的值是_____.【答案】2.【解析】【分析】本题根据复数的乘法运算法则先求得,然后根据复数的概念,令实部为0即得a的值.【详解】,令得.【点睛】本题主要考查复数的运算法则,虚部的定义等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3.下图是一个算法流程图,则输出的S的值是_____.【答案】5.【解析】【分析】结合所给的流程图运行程序确定输出的值即可.【详解】执行第一次,不成立,继续循环,;执行第二次,不成立,继续循环,;执行第三次,不成立,继续循环,;执行第四次,成立,输出【点睛】识别、运行程序框图和完善程序框图的思路:(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构.(2)要识别、运行程序框图,理解框图所解决的实际问题.(3)按照题目的要求完成解答并验证.4.函数的定义域是_____.【答案】.【解析】【分析】由题意得到关于x的不等式,解不等式可得函数的定义域.【详解】由已知得,即解得,故函数的定义域为.【点睛】求函数的定义域,其实质就是以函数解析式有意义为准则,列出不等式或不等式组,然后求出它们的解集即可.5.已知一组数据6,7,8,8,9,10,则该组数据的方差是____.【答案】.【解析】【分析】由题意首先求得平均数,然后求解方差即可.【详解】由题意,该组数据的平均数为,所以该组数据的方差是.【点睛】本题主要考查方差的计算公式,属于基础题.6.从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务,则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是_____.【答案】.【解析】【分析】先求事件的总数,再求选出的2名同学中至少有1名女同学的事件数,最后根据古典概型的概率计算公式得出答案.【详解】从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿服务,共有种情况.若选出的2名学生恰有1名女生,有种情况,若选出的2名学生都是女生,有种情况,所以所求的概率为.【点睛】计数原理是高考考查的重点内容,考查的形式有两种,一是独立考查,二是与古典概型结合考查,由于古典概型概率的计算比较明确,所以,计算正确基本事件总数是解题的重要一环.在处理问题的过程中,应注意审清题意,明确“分类”“分步”,根据顺序有无,明确“排列”“组合”.7.在平面直角坐标系中,若双曲线经过点(3,4),则该双曲线的渐近线方程是_____.【答案】.【解析】【分析】根据条件求,再代入双曲线的渐近线方程得出答案.【详解】由已知得,解得或,因为,所以.因为,所以双曲线的渐近线方程为.【点睛】双曲线的标准方程与几何性质,往往以小题的形式考查,其难度一般较小,是高考必得分题.双曲线渐近线与双曲线标准方程中的密切相关,事实上,标准方程中化1为0,即得渐近线方程.8.已知数列是等差数列,是其前n项和.若,则的值是_____.【答案】16.【解析】【分析】由题意首先求得首项和公差,然后求解前8项和即可.【详解】由题意可得:,解得:,则.【点睛】等差数列、等比数列的基本计算问题,是高考必考内容,解题过程中要注意应用函数方程思想,灵活应用通项公式、求和公式等,构建方程(组),如本题,从已知出发,构建的方程组.9.如图,长方体的体积是120,E为的中点,则三棱锥E-BCD的体积是_____.【答案】10.【解析】【分析】由题意结合几何体的特征和所给几何体的性质可得三棱锥的体积.【详解】因为长方体的体积为120,所以,因为为的中点,所以,由长方体的性质知底面,所以是三棱锥的底面上的高,所以三棱锥的体积.【点睛】本题蕴含“整体和局部”的对立统一规律.在几何体面积或体积的计算问题中,往往需要注意理清整体和局部的关系,灵活利用“割”与“补”的方法解题.10.在平面直角坐标系中,P是曲线上的一个动点,则点P到直线x+y=0的距离的最小值是_____.【答案】4.【解析】【分析】将原问题转化为切点与直线之间的距离,然后利用导函数确定切点坐标可得最小距离【详解】当直线平移到与曲线相切位置时,切点Q即为点P到直线的距离最小.由,得,,即切点,则切点Q到直线的距离为,故答案为:.【点睛】本题考查曲线上任意一点到已知直线的最小距离,渗透了直观想象和数学运算素养.采取导数法和公式法,利用数形结合和转化与化归思想解题.11.在平面直角坐标系中,点A在曲线y=lnx上,且该曲线在点A处的切线经过点(-e,-1)(e为自然对数的底数),则点A的坐标是____.【答案】.【解析】【分析】设出切点坐标,得到切线方程,然后求解方程得到横坐标的值可得切点坐标.【详解】设点,则.又,当时,,点A在曲线上切线为,即,代入点,得,即,考查函数,当时,,当时,,且,当时,单调递增,注意到,故存在唯一的实数根,此时,故点的坐标为.【点睛】导数运算及切线的理解应注意的问题:一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号,防止与乘法公式混淆.二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质,直线与曲线只有一个公共点,直线不一定是曲线的切线,同样,直线是曲线的切线,则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点.12.如图,在中,D是BC的中点,E在边AB上,BE=2EA,AD与CE交于点.若,则的值是_____.【答案】.【解析】【分析】由题意将原问题转化为基底的数量积,然后利用几何性质可得比值.【详解】如图,过点D作DF//CE,交A

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