2012年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数学Ⅰ参考公式:棱锥的体积,其中为底面积,为高.一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1.已知集合,,则▲.2.某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为,现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本,则应从高二年级抽取▲名学生.开始k←13.设,(i为虚数单位),则的值为▲.4.右图是一个算法流程图,则输出的k的值是▲.k←k+1Nk2-5k+4>05.函数的定义域为▲.Y6.现有10个数,它们能构成一个以1为首项,为公比的输出k等比数列,若从这10个数中随机抽取一个数,则它小于8的概率是▲.结束(第4题)DABC7.如图,在长方体中,,,则四棱锥的体积为▲cm3.8.在平面直角坐标系中,若双曲线的离心率(第7题)ABCEFD为,则m的值为▲.9.如图,在矩形ABCD中,点E为BC的中点,点F在边CD上,若,则的值是▲.10.设是定义在上且周期为2的函数,在区间上,(第9题)其中.若,则的值为▲.11.设为锐角,若,则的值为▲.12.在平面直角坐标系中,圆C的方程为,若直线上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点,则k的最大值是▲.13.已知函数的值域为,若关于x的不等式的解集为,则实数c的值为▲.14.已知正数满足:则的取值范围是▲.二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本小题满分14分)在中,已知.(1)求证:;(2)若求A的值.16.(本小题满分14分)F如图,在直三棱柱中,,分别是棱上的点(点D不同于点C),且为的中点.E求证:(1)平面平面;(2)直线平面ADE.ACDB(第16题)17.(本小题满分14分)如图,建立平面直角坐标系xOy,x轴在地平面上,y轴垂直于地平面,单位长度为1千米.某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程表示的曲线上,其中k与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标.(1)求炮的最大射程;(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小),其飞行高度为3.2千米,试问它的横坐标a不超过多少时,炮弹可以击中它?请说明理由.x(千米)y(千米)O(第17题)18.(本小题满分16分)若函数在x=x0取得极大值或者极小值则x=x0是的极值点已知a,b是实数,1和是函数的两个极值点.(1)求a和b的值;(2)设函数的导函数,求的极值点;(3)设,其中,求函数的零点个数.19.(本小题满分16分)ABPOxy(第19题)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆的左、右焦点分别为,.已知和都在椭圆上,其中e为椭圆的离心率.(1)求椭圆的离心率;(2)设A,B是椭圆上位于x轴上方的两点,且直线与直线平行,与交于点P.(i)若,求直线的斜率;(ii)求证:是定值.20.(本小题满分16分)已知各项均为正数的两个数列和满足:.(1)设,求证:数列是等差数列;(2)设,且是等比数列,求和的值.★此卷上交考点保存★姓名准考证号绝密★启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数学Ⅱ(附加题)注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求:1.本试卷共2页,均为非选择题(第21题~第23题)。本卷满分为40分。考试时间为30分钟。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。2.答题前,请您务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。4.作答试题必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡的指定位置作答,在其它位置作答一律无效。5.如需作图,须用2B铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗。21.[选做题]本题包括A、B、C、D四小题,请选定其中两题,并在相应的答题区域内作答.若多做,则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.[选修4-1:几何证明选讲](本小题满分10分)AEBDCO如图,AB是圆O的直径,D,E为圆上位于AB异侧的两点,连结BD并延长至点C,使BD=DC,连结AC,AE,DE.求证:.(第21-A题)B.[选修4-2:矩阵与变换](本小题满分10分)已知矩阵A的逆矩阵,求矩阵A的特征值.C.[选修4-4:坐标系与参数方程](本小题满分10分)在极坐标中,已知圆C经过点,圆心为直线与极轴的交点,求圆C的极坐标方程.D.[选修4-5:不等式选讲](本小题满分10分)已知实数x,y满足:求证:.【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计20分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22.(本小题满分10分)设为随机变量,从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条,当两条棱相交时,;当两条棱平行时,的值为两条棱之间的距离;当两条棱异面时,.(1)求概率;(2)求的分布列,并求其数学期望.23.(本小题满分10分)设集合,.记为同时满足下列条件的集合A的个数:①;②若,则;③若,则.(1)求;(2)求的解析式(用n表示).2012年江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析 一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1.(5分)(2012•江苏)已知集合A={1,2,4},B={2,4,6},则A∪B= {1,2,4,6} .考点:并集及其运算.菁优网版权所有专题:集合.分析:由题意,A,B两个集合的元素已经给出,故由并集的运算规则直接得到两个集合的并集即可解答:解:∵A={1,2,4},B={2,4,6},∴A∪B={1,2,4,6}故答案为{1,2,4,6}点评:本题考查并集运算,属于集合中的简单计算题,解题的关键是理解并的运算定义 2.(5分)(2012•江苏)某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3:3:4,现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本,则应从高二年级抽取 15 名学生.考点:分层抽样方法.菁优网版权所有专题:概率与统计.分析:根据三个年级的人数比,做出高二所占的比例,用要抽取得样本容量乘以高二所占的比例,得到要抽取的高二的人数.解答:解:∵高一、高二、高三年级的学生人数之比为3:3:4,∴高二在总体中所占的比例是=,∵用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本,∴要从高二抽取,故答案为:15点评:本题考查分层抽样方法,本题解题的关键是看出三个年级中各个年级所占的比例,这就是在抽样过程中被抽到的概率,本题是一个基础题. 3.(5分)(2012•江苏)设a,b∈R,a+bi=(i为虚数单位),则a+b的值为 8 .考点:复数代数形式的乘除运算;复数相等的充要条件.菁优网版权所有专题:数系的扩充和复数.分析:由题意,可对复数代数式分子与分母都乘以1+2i,再由进行计算即可得到a+bi=5+3i,再由复数相等的充分条件即可得到a,b的值,从而得到所求的答案解答:解:由题,a,b∈R,a+bi=所以a=5,b=3,故a+b=8故答案为8点评:本题考查复数代数形式的乘除运算,解题的关键是分子分母都乘以分母的共轭,复数的四则运算是复数考查的重要内容,要熟练掌握,复数相等的充分条件是将复数运算转化为实数运算的桥梁,解题时要注意运用它进行转化. 4.(5分)(2012•江苏)图是一个算法流程图,则输出的k的值是 5 .考点:循环结构.菁优网版权所有专题:算法和程序框图.分析:利用程序框图计算表达式的值,判断是否循环,达到满足题目的条件,结束循环,得到结果即可.解答:解:1﹣5+4=0>0,不满足判断框.则k=2,22﹣10+4=﹣2>0,不满足判断框的条件,则k=3,32﹣15+4=﹣2>0,不成立,则k=4,42﹣20+4=0>0,不成立,则k=5,52﹣25+4=4>0,成立,所以结束循环,输出k=5.故答案为:5.点评:本题考查循环框图的作用,考查计算能力,注意循环条件的判断. 5.(5分)(2012•江苏)函数f(x)=的定义域为 (0,] .考点:对数函数的定义域.菁优网版权所有专题:函数的性质及应用.分析:根据开偶次方被开方数要大于等于0,真数要大于0,得到不等式组,根据对数的单调性解出不等式的解集,得到结果.解答:解:函数f(x)=要满足1﹣2≥0,且x>0∴,x>0∴,x>0,∴,x>0,∴0,故答案为:(0,]点评:本题考查对数的定义域和一般函数的定义域问题,在解题时一般遇到,开偶次方时,被开方数要不小于0,;真数要大于0;分母不等于0;0次方的底数不等于0,这种题目的运算量不大,是基础题. 6.(5分)(2012•江苏)现有10个数,它们能构成一个以1为首项,﹣3为公比的等比数列,若从这10个数中随机抽取一个数,则它小于8的概率是 .考点:等比数列的性质;古典概型及其概率计算公式.菁优网版权所有专题:等差数列与等比数列;概率与统计.分析:先由题意写出成等比数列的10个数为,然后找出小于8的项的个数,代入古典概论的计算公式即可求解解答:解:由题意成等比数列的10个数为:1,﹣3,(﹣3)2,(﹣3)3…(﹣3)9其中小于8的项有:1,﹣3,(﹣3)3,(﹣3)5,(﹣3)7,(﹣3)9共6个数这10个数中随机抽取一个数,则它小于8的概率是P=故答案为:点评:本题主要考查了等比数列的通项公式及古典概率的计算公式的应用,属于基础试题 7.(5分)(2012•江苏)如图,在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=AD=3cm,AA1=2cm,则四棱锥A﹣BB1D1D的体积为 6 cm3.考点:棱柱、棱锥、棱台的体积.菁优网版权所有专题:空间位置关系与距离;立体几何.分析:过A作AO⊥BD于O,求出AO,然后求出几何体的体积即可.解答:解:过A作AO⊥BD于O,AO是棱锥的高,所以AO==,所以四棱锥A﹣BB1D1D的体积为V==6.故答案为:6.点评:本题考查几何体的体积的求法,考查空间想象能力与计算能力. 8.(5分)(2012•江苏)在平面直角坐标系xOy中,若双曲线的离心率为,则m的值为 2 .考点:双曲线的简单性质.菁优网版权所有专题:圆锥曲线的定义、性质与方程.分析:由双曲线方程得y2的分母m2+4>0,所以双曲线的焦点必在x轴上.因此a2=m>0,可得c2=m2+m+4,最后根据双曲线的离心率为,可得c2=5a2,建立关于m的方程:m2+m+4=5m,解之得m=2.解答:解:∵m2+4>0∴双曲线的焦点必在x轴上因此a2=m>0,b2=m2+4∴c2=m+m2+4=m2+m+4∵双曲线的离心率为,∴,可得c2=5a2,所以m2+m+4=5m,解之得m=2故答案为:2点评:本题给出含有字母参数的双曲线方程,在已知离心率的情况下求参数的值,着重考查了双曲线的概念与性质,属于基础题. 9.(5分)(2012•江苏)如图,在矩形ABCD中,AB=,BC=2,点E为BC的中点,点F在边CD上,若=,则的值是 .考点:平面向量数量积的运算.菁优网版权所有专题:平面向量及应用.分析:根据所给的图形,把已知向量用矩形的边所在的向量来表示,做出要用的向量的模长,表示出要求得向量的数量积,注意应用垂直的向量数量积等于0,得到结果.解答:解:∵,====||=,∴||=1,||=﹣1,∴=()()==﹣=﹣2++2=,故答案为:点评:本题考查平面向量的数量积的运算.本题解题的关键是把要用的向量表示成已知向量的和的形式,本题是一个中档题目. 10.(5分)(2012•江苏)设f(x)是定义在R上且周期为2的函数,在区间[﹣1,1]上,
2012年江苏高考数学试题及答案
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