2011年广东高考（文科）数学试题及答案

绝密★启用前试卷类型：B2011年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（文科）本试题共4页，21小题，满分150分，考试用时120分钟。注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效。5．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。参考公式：锥体体积公式，其中为锥体的底面积，为锥体的高．线性回归方程中系数计算公式，，样本数据的标准差，，其中，表示样本均值．是正整数，则．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设复数满足，其中为虚数单位，则A．B．C．D．【解析】A.由题得所以选A.2．已知集合为实数，且，为实数，且，则的元素个数为A．4B．3C．2D．1【解析】C.方法一：由题得，，所以选C.方法二：直接作出单位圆和直线，观察得两曲线有两个交点，所以选C.3．已知向量．若为实数，∥，则A．B．C．1D．2【解析】B.，所以选B.4．函数的定义域是A．B．C．D．【解析】C.由题得所以选C.5．不等式的解集是A．B．C．D．【解析】D由题得或，则不等式的解集为6．已知平面直角坐标系上的区域由不等式组给定．若为上的动点，点的坐标为，则的最大值为A．3B．4C．D．【解析】B由题知不等式组表示的平面区域D是如图中的梯形OABC,，所以就是求的最大值，表示数形结合观察得当点M在点B的地方时，才最大。,所以，所以选择B7．正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数共有A．20B．15C．12D．10【解析】D正五棱柱中，上底面中的每一个顶点均可与下底面中的两个顶点构成对角线，所以一个正五棱柱对角线的条数共有条8．设圆与圆外切，与直线相切，则的圆心轨迹为A．抛物线B．双曲线C．椭圆D．圆【解析】A.设圆C圆心C，半径为R,A(0,3),点C到直线y=0的距离为|CB|，由题得,所以圆C的圆心C轨迹是抛物线，所以选A.正视图图1侧视图图22俯视图图39．如图1~3，某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图分别是等边三角形，等腰三角形和菱形，则该几何体的体积为A．B．C．D．【解析】C.由题得该几何体是如图所示的四棱锥P-ABCD，所以选择C.10．设是上的任意实值函数，如下定义两个函数和：对任意，；，则下列等式恒成立的是A．B．C．D．【解析】B.对A选项，故排除A对B选项，故选B对C选项，故排除C对D选项，故排除D二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．（一）必做题（9~13题）11．已知是递增的等比数列，若，，则此数列的公比．【解析】2．或∵是递增的等比数列，∴12．设函数．若，则．【解析】，即，则13．为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间（单位：小时）与当天投篮命中率之间的关系：时间12345命中率0.40.50.60.60.4小李这5天的平均投篮命中率为；用线性回归分析的方法，预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率为．【解析】0.5;0.53由题得小李这5天的平均投篮命中率为（二）选做题（14~15题，考生只能从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）已知两曲线参数方程分别为和，它们的交点坐标为___________．【解析】．表示椭圆，表示抛物线图4或（舍去），又因为，所以它们的交点坐标为15．（几何证明选讲选做题）如图4，在梯形中，∥，，，分别为上的点，且，∥，则梯形与梯形的面积比为________．【解析】如图，延长，∵，∴∵，∴∴三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）已知函数，．（1）求的值；（2）设，，，求的值．【解析】（1）（2），即，即∵，∴，∴17．（本小题满分13分）在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分．用表示编号为的同学所得成绩，且前5位同学的成绩如下：编号12345成绩7076727072（1）求第6位同学的成绩，及这6位同学成绩的标准差；（2）从前5位同学中，随机地选2位同学，求恰有1位同学成绩在区间（68，75）中的概率．【解析】（1），解得标准差（2）前5位同学中随机选出的2位同学记为，且则基本事件有，，，，，，，，，共10种这5位同学中，编号为1、3、4、5号的同学成绩在区间（68，75）中设A表示随机事件“从前5位同学中随机选出2位同学，恰有1位同学成绩在区间（68，75）中”则A中的基本事件有、、、共4种，则18．（本小题满分13分）图5所示的几何体是将高为2，底面半径为1的直圆柱沿过轴的平面切开后，将其中一半沿切面向右水平平移后得到的．分别为,,,的中点，分别为,,,的中点．（1）证明：四点共面；（2）设为中点，延长到，使得．证明：平面．图5【解析】证明：（1）连接依题意得是圆柱底面圆的圆心∴是圆柱底面圆的直径∵分别为,,的中点∴∴∥∵，四边形是平行四边形∴∥∴∥∴四点共面（2）延长到，使得，连接∵∴，四边形是平行四边形∴∥∵，，∴面∴面，面∴易知四边形是正方形，且边长∵，∴∴∴易知，四边形是平行四边形∴∥∴，∴平面．19．（本小题满分14分）设，讨论函数的单调性．【解析】解：函数的定义域为令①当时，，令，解得则当或时，当时，则在，上单调递增，在上单调递减②当时，，，则在上单调递增③当时，，令，解得∵，∴则当时，当时，则在上单调递增，在上单调递减20．（本小题满分14分）设，数列满足，≥．（1）求数列的通项公式；（2）证明：对于一切正整数，≤．【解析】（1）解：∵∴∴①当时，，则是以1为首项，1为公差的等差数列∴，即②当且时，当时，∴是以为首项，为公比的等比数列∴∴∴综上所述（2）证明：①当时，；②当且时，要证，只需证，即证即证即证即证∵，∴原不等式成立∴对于一切正整数，≤．21．（本小题满分14分）在平面直角坐标系上，直线：交轴于点．设是上一点，是线段的垂直平分线上一点，且满足．（1）当点在上运动时，求点的轨迹的方程；（2）已知，设是上动点，求的最小值，并给出此时点的坐标；（3）过点且不平行于轴的直线与轨迹有且只有两个不同的交点，求直线的斜率的取值范围．【解析】解：（1）如图所示，连接，则∵，∴动点满足或在的负半轴上，设①当时，，，化简得②当在的负半轴上时，综上所述，点的轨迹的方程为或（2）由（1）知的轨迹是顶点为，焦点为原点的抛物线和的负半轴①若是抛物线上的动点，过作于由于是抛物线的准线，根据抛物线的定义有则当三点共线时，有最小值求得此时的坐标为②若是的负半轴上的动点显然有综上所述，的最小值为3，此时点的坐标为（3）如图，设抛物线顶点，则直线的斜率∵点在抛物线内部，∴过点且不平行于轴的直线必与抛物线有两个交点则直线与轨迹的交点个数分以下四种情况讨论：①当时，直线与轨迹有且只有两个不同的交点②当时，直线与轨迹有且只有三个不同的交点③当时，直线与轨迹有且只有一个交点④当时，直线与轨迹有且只有两个不同的交点综上所述，直线的斜率的取值范围是