2008年广东高考（理科）数学试题及答案

2008年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学(理科)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知0a2，复数z的实部为a，虚部为1，则z的取值范围是（C）A．(1，5)B．(1，3)C．(1，5)D．(1，3)【解析】za21，而0a2，即1a215，1z512．记等差数列{a}的前n项和为S，若a，S20，则S（D）nn1246A．16B．24C．36D．48【解析】S426d20，d3，故S6315d483．某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如表1．已一年级二年级三年级知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率女生373xy是0.19．现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则男生377370z应在三年级抽取的学生人数为（C）A．24B．18C．16D．12表1【解析】依题意我们知道二年级的女生有380人，那么三年级的学生的人数应该是500，即总体中各个年级的人数比例为3:3:2，故在分层抽样中应在三年级抽取的学生人数为2641682xy≤40，x2y≤50，4．若变量x，y满足则z3x2y的最大值是（C）x≥0，y≥0，A．90B．80C．70D．40【解析】画出可行域,利用角点法易得答案C.5．将正三棱柱截去三个角（如图1所示A，B，C分别是△GHI三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（A）AAHGBBCBCBBBI侧视EDEDEEEEFFA．B．C．D图1图2．【解析】解题时在图2的右边放扇墙(心中有墙),可得答案A.第1页（共9页）6．已知命题p:所有有理数都是实数，命题q:正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是（D）A．(p)qB．pqC．(p)(q)D．(p)(q)【解析】不难判断命题p为真命题，命题q为假命题，从而上述叙述中只有(p)(q)为真命题7．设aR，若函数yeax3x，xR有大于零的极值点，则（B）11A．a3B．a3C．aD．a33【解析】f'(x)3aeax，若函数在xR上有大于零的极值点，即f'(x)3aeax013有正根。当有f'(x)3aeax0成立时,显然有a0,此时xln()，由x0我aa们马上就能得到参数a的范围为a3.8．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F．若ACa，BDb，则AF（B）11211112A．abB．abC．abD．ab42332433【解析】此题属于中档题.解题关键是利用平面几何知识得出DF:FC1:2,然后利用向量的加减法则易得答案B.开始二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9~12题）9．阅读图3的程序框图，若输入m4，n6，则输出a，i输入m，n（注：框图中的赋值符号“”也可以写成“”或“:”）i1【解析】要结束程序的运算，就必须通过n整除a的条件运算，而同时m也整除a，那么a的最小值应为m和n的最小公倍ami数12，即此时有i3。ii110．已知(1kx2)6（k是正整数）的展开式中，x8的系数小于120，n整除否则k．a?是【解析】26按二项式定理展开的通项为r2rrr2r，(1kx)Tr1C6(kx)C6kx输出a，i我们知道x8的系数为C4k415k4，即15k4120，也即k48，6结束而k是正整数，故k只能取1。图311．经过圆x22xy20的圆心C，且与直线xy0垂直的直线方程是．第2页（共9页）【解析】易知点C为(1,0)，而直线与xy0垂直，我们设待求的直线的方程为yxb，将点C的坐标代入马上就能求出参数b的值为b1，故待求的直线的方程为xy10。12．已知函数f(x)(sinxcosx)sinx，xR，则f(x)的最小正周期是．1cos2x1【解析】f(x)sin2xsinxcosxsin2x,此时可得函数的最小正周期222T。2二、选做题（13—15题，考生只能从中选做两题）13．（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C1，C2的极坐标方程分别为cos3，π，，则曲线与交点的极坐标为．4cos≥00≤C1C2223cos3【解析】我们通过联立解方程组(0,0)解得,即两曲线的交4cos26点为(23,)。6114．（不等式选讲选做题）已知aR，若关于x的方程x2xaa0有实根，4则a的取值范围是．11【解析】方程即aax2x[0,],利用绝对值的几何意义(或零点分段法进行441求解)可得实数a的取值范围为0,415．（几何证明选讲选做题）已知PA是圆O的切线，切点为A，PA2．AC是圆O的直径，PC与圆O交于点B，PB1，则圆O的半径R．【解析】依题意，我们知道PBAPAC,PAPB由相似三角形的性质我们有,2RAB22PAAB221即R3。2PB21三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明，证明过程或演算步第3页（共9页）骤．16．（本小题满分13分）已知函数f(x)Asin(x)(A0，0π)，xR的最大值是1，其图像经过点π1M，．32π312（1）求f(x)的解析式；（2）已知，0，，且f()，f()，求2513f()的值．【解析】（1）依题意有A1，则f(x)sin(x)，11将点M(,)代入得sin()，32325而0，，，362故f(x)sin(x)cosx；2312（2）依题意有cos,cos，而,(0,)，513234125sin1()2,sin1()2，5513133124556f()cos()coscossinsin。5135136517．（本小题满分13分）随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元．设1件产品的利润（单位：万元）为．（1）求的分布列；（2）求1件产品的平均利润（即的数学期望）；（3）经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%．如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？126【解析】的所有可能取值有6，2，1，-2；P(6)0.63，20050P(2)0.25200204P(1)0.1，P(2)0.02200200故的分布列为：第4页（共9页）621-2P0.630.250.10.02（2）E60.6320.2510.1(2)0.024.34（3）设技术革新后的三等品率为x，则此时1件产品的平均利润为E(x)60.72(10.70.01x)(2)0.014.76x(0x0.29)依题意，E(x)4.73，即4.76x4.73，解得x0.03所以三等品率最多为3%18．（本小题满分14分）x2y2设b0，椭圆方程为1，抛物线方程为x28(yb)．如图4所示，过2b2b2点F(0，b2)作x轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为G，已知抛物线在点G的切线经过椭圆的右焦点F1．（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；（2）设A，B分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点P，使得△ABP为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）．1【解析】（1）由x28(yb)得yx2b，8当yb2得x4，y1FG点的坐标为(4,b2)，y'x，y'|1，4x4GF1x过点G的切线方程为y(b2)x4即yxb2，AOB图4令y0得x2b，F1点的坐标为(2b,0)，由椭圆方程得F1点的坐标为(b,0)，x22bb即b1，即椭圆和抛物线的方程分别为y21和x28(y1)；2（2）过A作x轴的垂线与抛物线只有一个交点P,以PAB为直角的RtABP只有一个，同理以PBA为直角的RtABP只有一个。1若以APB为直角，设P点坐标为(x,x21)，A、B两点的坐标分别为(2,0)8和(2,0)，第5页（共9页）21221452PAPBx2(x1)xx10。8644关于x2的二次方程有一大于零的解，x有两解，即以APB为直角的RtABP有两个，因此抛物线上存在四个点使得ABP为直角三角形。19．（本小题满分14分）1，x1设kR，函数f(x)1x，F(x)f(x)kx，xR，试讨论函数x1，x≥1F(x)的单调性．11k,x1,kx,x1,(1x)2【解析】F(x)f(x)kx1xF'(x)1x1kx,x1,k,x1,2x11对于F(x)kx(x1)，1x当k0时，函数F(x)在(,1)上是增函数；11当k0时，函数F(x)在(,1)上是减函数，在(1,1)上是增函数；kk1对于F(x)k(x1)，2x1当k0时，函数F(x)在1,上是减函数；11当时，函数在上是减函数，在上是增函数。k0F(x)1,1212,4k4k20．（本小题满分14分）如图5所示，四棱锥PABCD的底面ABCD是半径为R的圆的内接四边形，其中BD是圆的直径，ABD60，BDC45，PD垂直底面ABCD，PD22R，PPEDFE，F分别是PB，CD上的点，且，过点E作BC的平行线交PC于G．EEBFCG（1）求BD与平面ABP所成角的正弦值；（2）证明：△EFG是直角三角形；ADPE1（3）当时，求△EFG的面积．FBEB2C图5第6页（共9页）【解析】（1）在RtBAD中，ABD60，ABR,AD3R而PD垂直底面ABCD，PAPD2AD2(22R)2(3R)211RPBPD2BD2(22R)2(2R)223R,在PAB中，PA2AB2PB2,即PAB为以PAB为直角的直角三角形。设点D到面PAB的距离为H,由有,VPABDVDPABPAABHABADPD即ADPD3R22R266HRPA11R11H66sin;BD11PEPGPEDFPGDF(2)EG//BC,,而,即,GF//PD,EBGCEBFCGCDCGFBC，GFEG,EFG是直角三角形；PE1EGPE1GFCF2（3）时,,EB2BCPB3PDCD31122242即EGBC2Rcos45R,GFPD22RR,333333112424EFG的面积SEGGFRRR2EFG2233921．（本小题满分12分）2设p，q为实数，，是方程xpxq0的两个实根，数列{xn}满足x1p，2x2pq，xnpxn1qxn2（n3，4，…）．（1）证明：p，q；（2）求数列{xn}的通项公式；1（3）若p1，q，求{x}的前n项和S．4nnpp24qpp24q【解析】（1）