2012年广东高考（理科）数学试题及答案

2012年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科A卷）本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．56i1．设i为虚数单位，则复数iA．65iB．65iC．65iD．65i2．设集合U{1,2，3,4,5,6}，M{1,2,4}则ðUMA．UB．{1,3,5}C．{3,5,6}D．{2,4,6}3．若向量BA(2,3)，CA(4,7)，则BCA．(2,4)B．(3,4)C．(6,10)D．(6,10)4．下列函数中，在区间(0,)上为增函数的是11A．yln(x2)Byx1C．y()xD．yx2xy25．已知变量x,y满足约束条件xy1，则z3xy的最大值为xy1A．12B．11C．3D．-16．某几何体的三视图如图1所示，它的体积为A．12B．45C．57D．817．从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其中个位数为0的概率是4121A．B．C．D．93998．对任意两个非零的平面向量,，定义．若平面向量a,b满足ab0，a与b的n夹角0,，且和都在集合|nZ中，则ab42135A．B．1C．D．222第1页共4页二、填空题：本大题共7小题．考生作答6小题．每小题5分，满分30分．（一）必做题（9～13题）9．不等式|x2||x|1的解集为___________．110．(x2)6的展开式中x3的系数为__________．（用数字作答）x211．已知递增的等差数列{an}满足a11，a3a24，则an________．12．曲线yx3x3在点(1,3)处的切线方程为__________．13．执行如图2所示的程序框图，若输入n的值为8，则输出s的值为_______．（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中xoy中，曲线C1和曲线C2的xtx2cos参数方程分别为（t为参数）和（为参数），则曲线C1和曲线C2的交点坐标yty2sin为．15．（几何证明选讲选做题）如图3，圆O的半径为1，A，B，C是圆上三点，且满足ABC30，过点A做圆O的切线与OC的延长线交与点P，则PA=．APOCB图3第2页共4页三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）已知函数f(x)2cos(x)（其中0,xR）的最小正周期为10．6（1）求的值；56516（2）设，求cos()的值．,0,,f(5),f(5)235617（纯word版2011年高考数学广东卷首发于数学驿站：www．maths168．com）17．（本小题满分13分）某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图4所示，其中成绩分组区间是：[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],(1)求图中x的值;(2)从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，2人中成绩在90分以上（含90分）的人数记为，求的数学期望．18．（本小题满分13分）如图5所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA平面ABCD，点E在线段PC上，PC平面BDE．（1）证明：BD平面PAC；（2）若PA1，AD2，求二面角BPCA的正切值．第3页共4页19．（本小题满分14分）n1*设数列{an}的前n项和为Sn，满足2Snan121，nN，且a1,a25,a3成等差数列．（1）求a1的值；（2）求数列{an}的通项公式；1113（3）证明：对一切正整数n，有．a1a2an220．（本小题满分14分）x2y22在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C:1(ab0)的离心率e，且椭圆C上的点到a2b23点Q(0,2)的距离的最大值为3．（1）求椭圆C的方程（2）在椭圆C上，是否存在点M(m,n)，使得直线l:mxny1与圆O:x2y21相交于不同的两点A、B，且OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及对应的OAB的面积；若不存在，请说明理由．）21．（本小题满分14分）2设a1，集合A{xRx0},B{xR2x3(1a)x6a0}，DAB．（1）求集合D（用区间表示）；（2）求函数f(x)2x33(1a)x26ax在D内的极值点．第4页共4页2012广东高考数学（理科）参考答案选择题答案：1-8：DCAABCDC填空题答案：19.,10.2011.2n112.y2x1213.814.1,115.3解答题16.1（1）563（2）代入得2cossin2551682coscos1717∵,0,2415∴cos,sin5174831513∴coscoscossinsin5175178517.（1）由300.006100.01100.05410x1得x0.018（2）由题意知道：不低于80分的学生有12人，90分以上的学生有3人随机变量的可能取值有0,1,22C96P02C121111C9C39P12C12222C31P22C12226911∴E012112222218.（1）∵PA平面ABCD∴PABD第5页共4页∵PC平面BDE∴PCBD∴BD平面PAC（2）设AC与BD交点为O，连OE∵PC平面BDE∴PCOE又∵BO平面PAC∴PCBO∴PC平面BOE∴PCBE∴BEO为二面角BPCA的平面角∵BD平面PAC∴BDAC∴四边形ABCD为正方形∴BO2OEPAOE12在PAC中，OEOCAC233BO∴tanBEO3OE∴二面角BPCA的平面角的正切值为319.n1（1）在2Snan121中2令n1得：2S1a2213令n2得：2S2a321解得：a22a13，a36a113又2a25a1a3解得a11n1（2）由2Snan121n22Sn1an221得第6页共4页n1an23an121又a11,a25也满足a23a12n所以an13an2对nN成立∴n1nan1+23an2nn∴an23nn∴an32（3）（法一）∵nnn1n2n32n1n1an323233232...2311∴n1an3n111111111133∴...1...aaaa3323n112123n13n1n1nn1（法二）∵an1322322an111∴an12an111当n2时，a32a2111a42a3111a52a4………111an2an1n2111累乘得：an2a2第7页共4页11111111n2173∴...1...a1a2a3an525255220.2（1）由e得a23b2，椭圆方程为x23y23b23椭圆上的点到点Q的距离dx2y223b23y2y222y24y43b2byb2当①b1即b1,dmax63b3得b12当②b1即b1,dmaxb4b43得b1（舍）∴b1x2∴椭圆方程为y21311（2）SOAOBsinAOBsinAOBAOB221当AOB90，S取最大值，AOB212点O到直线l距离dm2n22∴m2n22m2又∵n21331解得：m2,n22262626262所以点M的坐标为或或或,,,,222222221AOB的面积为221.（1）记hx2x231ax6aa191a248a3a13a91①当0，即a1，D0,3第8页共4页1②当0a，333a9a230a933a9a230a9D0,,4433a9a230a9③当a0，D,4（2）由fx6x261ax6a0得x=1，a得1①当a1，fx在D内有一个极大值点a，有一个极小值点131②当0a，∵h1231a6a=3a103ha2a231aa6a=3aa20∴1D,aD∴fx在D内有一个极大值点a③当a0，则aD又∵h1231a6a=3a10∴fx在D内有无极值点第9页共4页