2009年高考文科数学陕西卷试题与答案

2009年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（必修+选修Ⅰ）(陕西卷)第Ⅰ卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．设不等式的解集为M，函数的定义域为N，则为（）（A）[0，1）（B）（0，1）（C）[0，1]（D）（-1，0]2.若,则的值为()（A）0(B)(C)1(D)3.函数的反函数为()（A）(B)（C）(D)学科4.过原点且倾斜角为的直线被圆学所截得的弦长为w.w.w.k.s.5.u.c.o.m()（A）（B）2（C）（D）25.某单位共有老、中、青职工430人,其中青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍。为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工人数为()（A）9（B）18（C）27(D)366.若,则的值为高.(C)（A）2（B）0（C）(D)7.””是”方程表示焦点在y轴上的椭圆”的（）（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充要条件(D)既不充分也不必要条件8.在△ABC中，M是BC的中点，AM=1，点P在AM上且满足学，则等于（ ）（）（A）（B）（C）(D)9．从1，2，3，4，5，6，7这七个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数，其中奇数的个数为()(A)432(B)288(C)216(D)108网10．定义在R上的偶函数满足：对任意的，有.则()(A)(B)(C)(D)w.w.w.k.s.5.u.c.o.m11．若正方体的棱长为，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为()(A)(B)(C)(D)12．设曲线在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为,则的值为()(A)(B)(C)(D)12009年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（必修选修Ⅰ）(陕西卷)第Ⅱ卷二、填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上(本大题共4小题，每小题4分，共16分).13．设等差数列的前n项和为,若,则数列的通项公式.ABO1O14．设x，y满足约束条件，目标函数的最小值是，最大值是15．如图球O的半径为2，圆是一小圆，，A、Bw.w.w.k.s.5.u.c.o.m是圆上两点，若=，则A,B两点间的球面距离为.16．某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有人三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共74分）17．（本小题满分12分）已知函数（其中）的周期为，且图象上一个最低点为.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m(Ⅰ)求的解析式；（Ⅱ）当，求的最值.18．（本小题满分12分）椐统计，某食品企业一个月内被消费者投诉的次数为0,1,2的概率分别为0.4,0.5,0.1(Ⅰ)求该企业在一个月内被消费者投诉不超过1次的概率；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（Ⅱ）假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响,求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率。19．(本小题满分12分)如图，直三棱柱中，AB=1，，∠ABC=60.CBAC1B1A1(Ⅰ)证明：；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（Ⅱ）求二面角A——B的大小。20．（本小题满分12分）已知函数求的单调区间；若在处取得极值，直线y=m与的图象有三个不同的交点，求m的取值范围。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m21．（本小题满分12分）已知数列满足，.令，证明：是等比数列；(Ⅱ)求的通项公式。22．（本小题满分12分）已知双曲线C的方程为，离心率，顶点到渐近线的距离为。求双曲线C的方程；(II)如图，P是双曲线C上一点，A，B两点在双曲线C的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限，若，求面积的取值范围。2009年陕西省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2009•陕西）设不等式x2﹣x≤0的解集为M，函数f（x）=ln（1﹣|x|）的定义域为N，则M∩N为（ ）A．[0，1） B．（0，1） C．[0，1] D．（﹣1，0]【考点】函数的定义域及其求法；元素与集合关系的判断．菁优网版权所有【专题】计算题．【分析】先求出不等式的解集和函数的定义域，然后再求两个集合的交集．【解答】解：不等式x2﹣x≤0转化为x（x﹣1）≤0解得其解集是{x|0≤x≤1}，而函数f（x）=ln（1﹣|x|）有意义则需：1﹣|x|＞0解得：﹣1＜x＜1所以其定义域为{﹣1＜x＜1}，所以M∩N=[0，1），故选A【点评】本题主要考查一元二次不等式的解法和绝对值不等式的解法及集合的运算． 2．（5分）（2009•陕西）若tanα=2，则的值为（ ）A．0 B． C．1 D．【考点】同角三角函数间的基本关系；弦切互化．菁优网版权所有【分析】根据齐次分式的意义将分子分母同时除以cosα（cosα≠0）直接可得答案．【解答】解：利用齐次分式的意义将分子分母同时除以cosα（cosα≠0）得，故选B．【点评】本题主要考查tanα=，这种题型经常在考试中遇到． 3．（5分）（2009•陕西）函数的反函数为（ ）A． B．C． D．【考点】反函数．菁优网版权所有【专题】应用题．【分析】从条件中函数式数反解出x，再将x，y互换即得对数函数的函数，再依据互为反函数间的定义域与值域的关系求得反函数的定义域即可．【解答】解：，逐一验证，知B正确．故选B．【点评】求反函数，一般应分以下步骤：（1）由已知解析式y=f（x）反求出x=Ф（y）；（2）交换x=Ф（y）中x、y的位置；（3）求出反函数的定义域（一般可通过求原函数的值域的方法求反函数的定义域）． 4．（5分）（2009•陕西）过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2+y2﹣4y=0所截得的弦长为（ ）A． B．2 C． D．2【考点】直线的倾斜角；直线和圆的方程的应用．菁优网版权所有【专题】计算题．【分析】本题考查的知识点是直线与圆方程的应用，由已知圆x2+y2﹣4y=0，我们可以将其转化为标准方程的形式，求出圆心坐标和半径，又直线由过原点且倾斜角为60°，得到直线的方程，再结合半径、半弦长、弦心距满足勾股定理，即可求解．【解答】解：将圆x2+y2﹣4y=0的方程可以转化为：x2+（y﹣2）2=4，即圆的圆心为A（0，2），半径为R=2，∴A到直线ON的距离，即弦心距为1，∴ON=，∴弦长2，故选D．【点评】要求圆到割线的距离，即弦心距，我们最常用的性质是：半径、半弦长（BE）、弦心距（OE）构成直角三角形，满足勾股定理，求出半径和半弦长，代入即可求解． 5．（5分）（2009•陕西）某单位共有老、中、青职工430人，其中青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍．为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工人数为（ ）A．9 B．18 C．27 D．36【考点】分层抽样方法．菁优网版权所有【专题】计算题．【分析】根据条件中职工总数和青年职工人数，以及中年和老年职工的关系列出方程，解出老年职工的人数，根据青年职工在样本中的个数，算出每个个体被抽到的概率，用概率乘以老年职工的个数，得到结果．【解答】解：设老年职工有x人，中年职工人数是老年职工人数的2倍，则中年职工有2x，∵x+2x+160=430，∴x=90，即由比例可得该单位老年职工共有90人，∵在抽取的样本中有青年职工32人，∴每个个体被抽到的概率是=，用分层抽样的比例应抽取×90=18人．故选B．【点评】本题是一个分层抽样问题，容易出错的是不理解分层抽样的含义或与其它混淆．抽样方法是数学中的一个小知识点，但一般不难，故也是一个重要的得分点，不容错过． 6．（5分）（2009•陕西）若（1﹣2x）2009=a0+a1x+…+a2009x2009（x∈R），则的值为（ ）A．2 B．0 C．﹣1 D．﹣2【考点】二项式定理的应用．菁优网版权所有【专题】计算题；压轴题．【分析】通过给x赋值，0得到两等式，两式相减即得．【解答】解：令x=得0=令x=0得1=a0两式相减得=﹣1故选项为C【点评】本题考查赋值法是求展开式的系数和问题的重要方法． 7．（5分）（2009•陕西）”m＞n＞0”是”方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的（ ）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】椭圆的应用．菁优网版权所有【专题】常规题型．【分析】将方程mx2+ny2=1转化为，然后根据椭圆的定义判断．【解答】解：将方程mx2+ny2=1转化为，根据椭圆的定义，要使焦点在y轴上必须满足，且，即m＞n＞0反之，当m＞n＞0，可得出＞0，此时方程对应的轨迹是椭圆综上证之，”m＞n＞0”是”方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的充要条件故选C．【点评】本题考查椭圆的定义，难度不大，解题认真推导． 8．（5分）（2009•陕西）在△ABC中，M是BC的中点，AM=1，点P在AM上且满足学，则等于（ ）A． B． C． D．【考点】向量的共线定理；平面向量数量积的运算．菁优网版权所有【专题】计算题．【分析】由M是BC的中点，知AM是BC边上的中线，又由点P在AM上且满足可得：P是三角形ABC的重心，根据重心的性质，即可求解．【解答】解：∵M是BC的中点，知AM是BC边上的中线，又由点P在AM上且满足∴P是三角形ABC的重心∴==﹣又∵AM=1∴=∴=﹣故选A【点评】判断P点是否是三角形的重心有如下几种办法：①定义：三条中线的交点．②性质：或取得最小值③坐标法：P点坐标是三个顶点坐标的平均数． 9．（5分）（2009•陕西）从1，2，3，4，5，6，7这七个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数，其中奇数的个数为（ ）A．432 B．288 C．216 D．108【考点】分步乘法计数原理．菁优网版权所有【专题】计算题．【分析】本题是一个分步计数原理，先从4个奇数中取2个再从3个偶数中取2个共C42C32，再把4个数排列，其中是奇数的共A21A33种，根据分步计数原理得到结果．【解答】解：∵由题意知本题是一个分步计数原理，第一步先从4个奇数中取2个再从3个偶数中取2个共C42C32=18种，第二步再把4个数排列，其中是奇数的共A21A33=12种，∴所求奇数的个数共有18×12=216种．故选C．【点评】本题考查分步计数原理，是一个数字问题，数字问题是排列中的一大类问题，把排列问题包含在数字问题中，解题的关键是看清题目的实质，很多题目要分类讨论，要做到不重不漏． 10．（5分）（2009•陕西）定义在R上的偶函数f（x）满足：对任意的x1，x2∈[0，+∞）（x1≠x2），有．则（ ）A．f（3）＜f（﹣2）＜f（1） B．f（1）＜f（﹣2）＜f（3） C．f（﹣2）＜f（1）＜f（3） D．f（3）＜f（1）＜f（﹣2）【考点】函数奇偶性的性质；函数单调性的性质．菁优网版权所有【专题】计算题；压轴题．【分析】对任意的x1，x2∈[0，+∞）（x1≠x2），有．可得出函数在[0，+∞）上是减函数，再由偶函数的性质得出函数在（﹣∞，0]是增函数，由此可得出此函数函数值的变化规律，由此规律选出正确选项【解答】解：任意的x1，x2∈[0，+∞）（x1≠x2），有．∴f（x）在（0，+∞]上单调递减，又f（x）是偶函数，故f（x）在（﹣∞，0]单调递增．且满足n∈N*时，f（﹣2）=f（2），3＞2＞1＞0，由此知，此函数具有性质：自变量的绝对值越小，函数值越大∴f（3）＜f（﹣2）＜f（1），故选A．【点评】本题主要考查了函数奇偶性的应用和函数的单调性的应用．属基础题． 11．（5分）（2009•陕西）若正方体