2015年北京高考文科数学试题及答案

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2015年北京高考数学试卷文科) 一、选择题(每小题5分,共40分)1.(5分)(2015•北京)若集合A={x|﹣5<x<2},B={x|﹣3<x<3},则A∩B=( ) A.{x|﹣3<x<2}B.{x|﹣5<x<2}C.{x|﹣3<x<3}D.{x|﹣5<x<3} 2.(5分)(2015•北京)圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( ) A.(x﹣1)2+(y﹣1)2=1B.B(x+1)2+(y+1)2=1C.(x+1)2+(y+1)2=2D.(x﹣1)2+(y﹣1)2=2 3.(5分)(2015•北京)下列函数中为偶函数的是( ) A.y=x2sinxB.y=x2cosxC.y=|lnx|D.y=2﹣x 4.(5分)(2015•北京)某校老年、中年和青年教师的人数见下表,采用分层插样的方法调查教师的身体状况,在抽取的样本中,青年教师有320人,则该样本的老年教师人数为( )类别人数老年教师900中年教师1800青年教师1600合计4300 A.90B.100C.180D.300 5.(5分)(2015•北京)执行如图所示的程序框图,输出的k值为( ) A.3B.4C.5D.6 6.(5分)(2015•北京)设,是非零向量,“=||||”是“”的( ) A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 7.(5分)(2015•北京)某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥最长棱的棱长为( ) A.1B.C.D.2 8.(5分)(2015•北京)某辆汽车每次加油都把油箱加满,下表记录了该车相邻两次加油时的情况加油时间加油量(升)加油时的累计里程(千米)2015年5月1日12350002015年5月15日4835600注:“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程,在这段时间内,该车每100千米平均耗油量为( ) A.6升B.8升C.10升D.12升 二、填空题9.(5分)(2015•北京)复数i(1+i)的实部为 . 10.(5分)(2015•北京)2﹣3,3,log25三个数中最大数的是 . 11.(5分)(2015•北京)在△ABC中,a=3,b=,∠A=,则∠B= . 12.(5分)(2015•北京)已知(2,0)是双曲线x2﹣=1(b>0)的一个焦点,则b= . 13.(5分)(2015•北京)如图,△ABC及其内部的点组成的集合记为D,P(x,y)为D中任意一点,则z=2x+3y的最大值为 . 14.(5分)(2015•北京)高三年级267位学生参加期末考试,某班37位学生的语文成绩,数学成绩与总成绩在全年级的排名情况如图所示,甲、乙、丙为该班三位学生.从这次考试成绩看,①在甲、乙两人中,其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是 ;②在语文和数学系两个科目中,丙同学的成绩名次更靠前的科目是 . 三、解答题(共80分)15.(13分)(2015•北京)已知函数f(x)=sinx﹣2sin2(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在区间[0,]上的最小值. 16.(13分)(2015•北京)已知等差数列{an}满足a1+a2=10,a4﹣a3=2(1)求{an}的通项公式;(2)设等比数列{bn}满足b2=a3,b3=a7,问:b6与数列{an}的第几项相等? 17.(13分)(2015•北京)某超市随机选取1000位顾客,记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况,整理成如下统计表,其中“√”表示购买,“×”表示未购买.甲乙丙丁100√×√√217×√×√200√√√×300√×√×85√×××98×√××(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率;(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率;(3)如果顾客购买了甲,则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大? 18.(14分)(2015•北京)如图,在三棱锥V﹣ABC中,平面VAB⊥平面ABC,△VAB为等边三角形,AC⊥BC且AC=BC=,O,M分别为AB,VA的中点.(1)求证:VB∥平面MOC;(2)求证:平面MOC⊥平面VAB(3)求三棱锥V﹣ABC的体积. 19.(13分)(2015•北京)设函数f(x)=﹣klnx,k>0.(1)求f(x)的单调区间和极值;(2)证明:若f(x)存在零点,则f(x)在区间(1,)上仅有一个零点. 20.(14分)(2015•北京)已知椭圆C:x2+3y2=3,过点D(1,0)且不过点E(2,1)的直线与椭圆C交于A,B两点,直线AE与直线x=3交于点M.(1)求椭圆C的离心率;(2)若AB垂直于x轴,求直线BM的斜率;(3)试判断直线BM与直线DE的位置关系,并说明理由. 2015年北京市高考数学试卷(文科)参考答案试题解析 一、选择题(每小题5分,共40分)1.(5分)(2015•北京)若集合A={x|﹣5<x<2},B={x|﹣3<x<3},则A∩B=( ) A.{x|﹣3<x<2}B.{x|﹣5<x<2}C.{x|﹣3<x<3}D.{x|﹣5<x<3}考点:交集及其运算.菁优网版权所有专题:集合.分析:直接利用集合的交集的运算法则求解即可.解答:解:集合A={x|﹣5<x<2},B={x|﹣3<x<3},则A∩B={x|﹣3<x<2}.故选:A.点评:本题考查集合的交集的运算法则,考查计算能力. 2.(5分)(2015•北京)圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( ) A.(x﹣1)2+(y﹣1)2=1B.B(x+1)2+(y+1)2=1C.(x+1)2+(y+1)2=2D.(x﹣1)2+(y﹣1)2=2考点:圆的标准方程.菁优网版权所有专题:计算题;直线与圆.分析:利用两点间距离公式求出半径,由此能求出圆的方程.解答:解:由题意知圆半径r=,∴圆的方程为(x﹣1)2+(y﹣1)2=2.故选:D.点评:本题考查圆的方程的求法,解题时要认真审题,注意圆的方程的求法,是基础题. 3.(5分)(2015•北京)下列函数中为偶函数的是( ) A.y=x2sinxB.y=x2cosxC.y=|lnx|D.y=2﹣x考点:函数奇偶性的判断.菁优网版权所有专题:函数的性质及应用.分析:首先从定义域上排除选项C,然后在其他选项中判断﹣x与x的函数值关系,相等的就是偶函数.解答:解:对于A,(﹣x)2sin(﹣x)=﹣x2sinx;是奇函数;对于B,(﹣x)2cos(﹣x)=x2cosx;是偶函数;对于C,定义域为(0,+∞),是非奇非偶的函数;对于D,定义域为R,但是2﹣(﹣x)=2x≠2﹣x,2x≠﹣2﹣x;是非奇非偶的函数;故选B点评:本题考查了函数奇偶性的判断;首先判断定义域是否关于原点对称;如果不对称,函数是非奇非偶的函数;如果对称,再判断f(﹣x)与f(x)关系,相等是偶函数,相反是奇函数. 4.(5分)(2015•北京)某校老年、中年和青年教师的人数见下表,采用分层插样的方法调查教师的身体状况,在抽取的样本中,青年教师有320人,则该样本的老年教师人数为( )类别人数老年教师900中年教师1800青年教师1600合计4300 A.90B.100C.180D.300考点:分层抽样方法.菁优网版权所有专题:计算题;概率与统计.分析:由题意,老年和青年教师的人数比为900:1600=9:16,即可得出结论.解答:解:由题意,老年和青年教师的人数比为900:1600=9:16,因为青年教师有320人,所以老年教师有180人,故选:C.点评:本题考查分层抽样,考查学生的计算能力,比较基础. 5.(5分)(2015•北京)执行如图所示的程序框图,输出的k值为( ) A.3B.4C.5D.6考点:程序框图.菁优网版权所有专题:图表型;算法和程序框图.分析:模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的a,k的值,当a=时满足条件a<,退出循环,输出k的值为4.解答:解:模拟执行程序框图,可得k=0,a=3,q=a=,k=1不满足条件a<,a=,k=2不满足条件a<,a=,k=3不满足条件a<,a=,k=4满足条件a<,退出循环,输出k的值为4.故选:B.点评:本题主要考查了循环结构的程序框图,属于基础题. 6.(5分)(2015•北京)设,是非零向量,“=||||”是“”的( ) A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件考点:必要条件、充分条件与充要条件的判断;平面向量数量积的运算.菁优网版权所有专题:平面向量及应用;简易逻辑.分析:由便可得到夹角为0,从而得到∥,而∥并不能得到夹角为0,从而得不到,这样根据充分条件、必要条件的概念即可找出正确选项.解答:解:(1);∴时,cos=1;∴;∴∥;∴“”是“∥”的充分条件;(2)∥时,的夹角为0或π;∴,或﹣;即∥得不到;∴“”不是“∥”的必要条件;∴总上可得“”是“∥”的充分不必要条件.故选A.点评:考查充分条件,必要条件,及充分不必要条件的概念,以及判断方法与过程,数量积的计算公式,向量共线的定义,向量夹角的定义. 7.(5分)(2015•北京)某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥最长棱的棱长为( ) A.1B.C.D.2考点:由三视图求面积、体积.菁优网版权所有专题:空间位置关系与距离.分析:几何体是四棱锥,且四棱锥的一条侧棱与底面垂直,结合直观图求相关几何量的数据,可得答案解答:解:由三视图知:几何体是四棱锥,且四棱锥的一条侧棱与底面垂直,底面为正方形如图:其中PA⊥平面ABCD,底面ABCD为正方形∴PA=1,AB=1,AD=1,∴PB=,PC==.PD=该几何体最长棱的棱长为:故选:C.点评:本题考查了由三视图求几何体的最长棱长问题,根据三视图判断几何体的结构特征是解答本题的关键 8.(5分)(2015•北京)某辆汽车每次加油都把油箱加满,下表记录了该车相邻两次加油时的情况加油时间加油量(升)加油时的累计里程(千米)2015年5月1日12350002015年5月15日4835600注:“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程,在这段时间内,该车每100千米平均耗油量为( ) A.6升B.8升C.10升D.12升考点:一次函数的性质与图象.菁优网版权所有专题:函数的性质及应用.分析:由表格信息,得到该车加了48升的汽油,跑了600千米,由此得到该车每100千米平均耗油量.解答:解:由表格信息,得到该车加了48升的汽油,跑了600千米,所以该车每100千米平均耗油量48÷6=8;故选:B.点评:本题考查了学生对表格的理解以及对数据信息的处理能力. 二、填空题9.(5分)(2015•北京)复数i(1+i)的实部为 ﹣1 .考点:复数的基本概念.菁优网版权所有专题:数系的扩充和复数.分析:直接利用复数的乘法运算法则,求解即可.解答:解:复数i(1+i)=﹣1+i,所求复数的实部为:﹣1.故答案为:﹣1.点评:本题考查复数的基本运算,复数的基本概念,考查计算能力. 10.(5分)(2015•北京)

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