2013年北京高考文科数学试题及答案

2013年普通高等学校招生全国统一考试数学（文）（北京卷）本试卷满分150分，考试时120分钟，考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，第一部分（选择题共40分）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．已知集合，，则（）A．B．C．D．2．设，，，且，则（）A．B．C．D．3．下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递减的是（）A．B．C．D．4．在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限5．在中，，，，则（）A．B．C．D．6．执行如图所示的程序框图，输出的值为（）A．B．C．D．7．双曲线的离心率大于的充分必要条件是A．B．C．D．8．如图，在正方体中，为对角线的三等分点，则到各顶点的距离的不同取值有（）A．个B．个C．个D．个第二部分（选择题共110分）二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）9．若抛物线的焦点坐标为，则，准线方程为。10．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为。11．若等比数列满足，，则公比；前项和。12．设为不等式组所表示的平面区域，区域上的点与点之间的距离的最小值为。13．函数的值域为。14．向量，，，若平面区域由所有满足（，）的点组成，则的面积为。三、解答题（共6小题，共80分。解答应写出必要的文字说明，演算步骤）15．（本小题共13分）已知函数（1）求的最小正周期及最大值。（2）若，且，求的值。16．（本小题共13分）下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染。某人随机选择3月1日至14日中的某一天到达该市，并停留2天。（1）求此人到达当日空气重度污染的概率。（2）求此在在该市停留期间只有一天空气重度污染的概率。（3）由图判断，从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）17．（本小题共14分）如图，在四棱锥中，，，，平面底面，，和分别是和的中点，求证：（1）底面（2）平面（3）平面平面18．（本小题共13分）已知函数（1）若曲线在点处与直线相切，求与的值。（2）若曲线与直线有两个不同的交点，求的取值范围。19．（本小题共14分）直线（）：相交于，两点，是坐标原点（1）当点的坐标为，且四边形为菱形时，求的长。（2）当点在上且不是的顶点时，证明四边形不可能为菱形。20．（本小题共13分）给定数列，，，。对，该数列前项的最大值记为，后项，，，的最小值记为，。（1）设数列为，，，，写出，，的值。（2）设，，，（）是公比大于的等比数列，且，证明，，，是等比数列。（3）设，，，是公差大于的等差数列，且，证明，，，是等差数列。2013年普通高等学校招生全国统一考试数学（文）（北京卷）参考答案一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）1．B2．D3．C4．A5．B6．C7．C8．B二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）9．，10．11．，12．13．14．三、解答题（共6小题，共80分。解答应写出必要的文字说明，演算步骤）15．（本小题共13分）解：（1）所以，最小正周期当（），即（）时（2）因为所以因为，所以所以，即16．（本小题共13分）解：（1）因为要停留2天，所以应该在3月1日至13日中的某天到达，共有13种选择，其间重度污染的有两天，所以概率为（2）此人停留的两天共有13种选择，分别是：，，，，，，，，，，，，其中只有一天重度污染的为，，，，共4种，所以概率为（3）因为第5，6，7三天的空气质量指数波动最大，所以方差最大。17．（本小题共14分）证明：（1）因为，平面底面且平面底面所以底面（2）因为和分别是和的中点，所以，而平面，平面，所以平面（3）因为底面，平面所以，即因为，，所以而平面，平面，且所以平面因为，所以，所以四边形是平行四边形，所以，而平面，平面所以平面，同理平面，而平面，平面且所以平面平面，所以平面又因为平面所以平面平面18．（本小题共13分）解：（1）因为曲线在点处的切线为所以，即，解得（2）因为所以当时，单调递增当时，单调递减所以当时，取得最小值，所以的取值范围是19．（本小题共14分）解：（1）线段的垂直平分线为，因为四边形为菱形，所以直线与椭圆的交点即为，两点对椭圆，令得所以（2）方法一：当点不是的顶点时，联立方程得设，，则，，若四边形为菱形，则，即所以即因为点不是的顶点，所以，所以即，即所以此时，直线与轴垂直，所以为椭圆的上顶点或下顶点，与已知矛盾，所以四边形不可能为菱形方法二：因为四边形为菱形，所以，设（）则，两点为圆与椭圆的交点联立方程得所以，两点的横坐标相等或互为相反数。因为点在上若，两点的横坐标相等，点应为椭圆的左顶点或右顶点。不合题意。若，两点的横坐标互为相反数，点应为椭圆的上顶点或下顶点。不合题意。所以四边形不可能为菱形。20．（本小题共13分）解：（1），，（2）因为，，，（）是公比大于的等比数列，且所以所以当时，所以当时，所以，，，是等比数列。（3）若，，，是公差大于的等差数列，则，，，应是递增数列，证明如下：设是第一个使得的项，则，，所以，与已知矛盾。所以，，，，是递增数列再证明数列中最小项，否则（），则显然，否则，与矛盾因而，此时考虑，矛盾因此是数列中最小项综上，（）于是，也即，，，是等差数列