2014年北京高考文科数学试题及答案

2014年普通高等学校招生全国统一考试数学（文）（北京卷）第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）若集合，，则（）（A）（B）（C）（D）（2）下列函数中，定义域是且为增函数的是（）（A）（B）（C）（D）（3）已知向量，，则（）（A）（B）（C）（D）（4）执行如图所示的程序框图，输出的值为（）（A）（B）（C）（D）（5）设、是实数，则“”是“”的（）(A)充分而不必要条件(B)必要而不必要条件(C)充分必要条件(D)既不充分不必要条件已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是（）(A)(B)(C)(D)（7）已知圆和两点，，若圆上存在点，使得，则的最大值为（）（A）（B）（C）（D）（8）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下，可食用率与加工时间（单位：分钟）满足的函数关系（、、是常数），如图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（）（A）分钟（B）分钟（C）分钟（D）分钟第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。（9）若，则.（10）设双曲线的两个焦点为，，一个顶点式，则的方程为.（11）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的棱长为.（12）在中，，，，则；.（13）若、满足，则的最小值为.（14）顾客请一位工艺师把、两件玉石原料各制成一件工艺品，工艺师带一位徒弟完成这项任务，每件颜料先由徒弟完成粗加工，再由工艺师进行精加工完成制作，两件工艺品都完成后交付顾客，两件原料每道工序所需时间（单位：工作日）如下：工序时间原料粗加工精加工原料原料则最短交货期为工作日.三、解答题共6小题，共80分。解答应写出必要的文字说明，演算步骤。（15）（本小题13分）已知是等差数列，满足，，数列满足，，且为等比数列.（Ⅰ）求数列和的通项公式；（Ⅱ）求数列的前项和.（16）（本小题13分）函数的部分图象如图所示.（Ⅰ）写出的最小正周期及图中、的值；（Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值.（17）（本小题14分）如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，，，、分别为、的中点.（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）求证：平面；（Ⅲ）求三棱锥的体积.（18）（本小题14分）从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：组号分组频数1628317422525612768292合计100 （Ⅰ）从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率；（Ⅱ）求频率分布直方图中的a，b的值；（Ⅲ）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组（只需写出结论）（19）（本小题14分）已知椭圆C：.（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）设O为原点，若点A在直线，点B在椭圆C上，且，求线段AB长度的最小值.（20）（本小题13分）已知函数.（Ⅰ）求在区间上的最大值；（Ⅱ）若过点存在3条直线与曲线相切，求t的取值范围；（Ⅲ）问过点分别存在几条直线与曲线相切？（只需写出结论）2014年普通高等学校招生全国统一考试数学（文）（北京卷）答案及解析第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）若集合，，则（）（A）（B）（C）（D）【答案】C【解析】因为，所以选C.【考点】本小题主要考查集合的基本运算，属容易题，熟练集合的基础知识是解答集合题目的关键.（2）下列函数中，定义域是且为增函数的是（）（A）（B）（C）（D）【答案】B【解析】对于选项A，在R上是减函数；选项C的定义域为；选项D，在上是减函数，故选B.【考点】本小题主要考查函数的单调性，属基础题，难度不大.（3）已知向量，，则（）（A）（B）（C）（D）【答案】A【解析】因为，所以，故选A.【考点】本小题主要考查平面向量的基本运算，属容易题（4）执行如图所示的程序框图，输出的值为（）（A）（B）（C）（D）【答案】C【解析】当k=0时，；当k=1时，；当k=2时，；当k=3时，输出，故选C.【考点】本小题主要考查程序框图的基础知识，难度不大，程序框图是高考新增内容，是高考的重点知识，熟练本部分的基础知识是解答的关键.（5）设、是实数，则“”是“”的（）(A)充分而不必要条件(B)必要而不必要条件(C)充分必要条件(D)既不充分不必要条件【答案】D【解析】若，则，故不充分；若，则，而，故不必要，故选D.【考点】本小题主要考查不等式的性质，熟练不等式的性质是解答好本类题目的关键.（6）已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是（）(A)(B)(C)(D)【答案】C【解析】因为，所以由根的存在性定理可知，选C.【考点】本小题主要考查函数的零点知识，正确理解零点定义及根的存在性定理是解答好本类题目的关键.（7）已知圆和两点，，若圆上存在点，使得，则的最大值为（）（A）（B）（C）（D）【答案】B【解析】由题意知，点P在以原点(0,0)为圆心，以m为半径的圆上，又因为点P在已知圆上，所以只要两个圆有交点即可，所以，故选B.【考点】本小题主要考查两圆的位置关系，考查数形结合思想，考查分析问题与解决问题的能力.（8）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”.咋特定条件下，可食用率与加工时间（单位：分钟）满足的函数关系（、、是常数），如图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（）（A）分钟（B）分钟（C）分钟（D）分钟【答案】B【解析】由图形可知，三点都在函数的图象上，所以，解得.所以，当=时，p取最大值，故选B.【考点】本小题以实际应用为背景，主要考查二次函数的解析式的求解、二次函数的最值等基础知识，考查同学们分析问题与解决问题的能力.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。（9）若，则.【答案】2【解析】由题意知：，所以由复数相等的定义知【考点】本小题主要考查复数相等的定义、复数的运算，难度不大，复数是高考的重点，年年必考，熟练复数的基础知识是解答好本类题目的关键.（10）设双曲线的两个焦点为，，一个顶点式，则的方程为.【答案】【解析】由题意知：，所以，又因为双曲线的焦点在x轴上，所以C的方程为.【考点】本小题驻澳考查双曲线方程的求解、的关系式，考查分析问题与解决问题的能力.（11）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的棱长为.【答案】【解析】由三视图可知：该几何体为一条侧棱垂直底面的三棱锥，底面为边长为2的等边三角形，棱锥的高为2，所以最长的棱长为.【考点】本小题主要考查立体几何的三视图，考查同学们的空间想象能力，考查分析问题与解决问题的能力.（12）在中，，，，则；.【答案】2，【解析】由余弦定理得：，故；因为，所以.【考点】本小题主要考查解三角形的知识，考查正弦定理，三角函数的基本关系式等基础止水，属中低档题目.（13）若、满足，则的最小值为.【答案】1【解析】画出不等式组表示的平面区域，可知区域为三角形，平移直线可得，当直线经过两条直线与的交点(0,1)时，z取得最小值1.【考点】本小题主要考查在约束条件下的简单的目标函数的最值问题，正确画图与平移直线是解答这类问题的关键.（14）顾客请一位工艺师把、两件玉石原料各制成一件工艺品，工艺师带一位徒弟完成这项任务，每件颜料先由徒弟完成粗加工，再由工艺师进行精加工完成制作，两件工艺品都完成后交付顾客，两件原料每道工序所需时间（单位：工作日）如下：工序时间原料粗加工精加工原料原料则最短交货期为工作日.【答案】42【解析】因为第一件进行粗加工时，工艺师什么都不能做，所以最短交货期为天.【考点】本小题以实际问题为背景，主要考查逻辑思维能力，考查分析问题与解决问题的能力.三、解答题共6小题，共80分。解答应写出必要的文字说明，演算步骤。（15）（本小题13分）已知是等差数列，满足，，数列满足，，且为等比数列.（Ⅰ）求数列和的通项公式；（Ⅱ）求数列的前项和.（15）（共13分）解：（Ⅰ）设等差数列的公差为，由题意得所以．设等比数列的公比为，由题意得，解得．所以．从而（Ⅱ）由⑴知．数列的前项和为，数列的前项和为．所以，数列的前项和为．（16）（本小题13分）函数的部分图象如图所示.（Ⅰ）写出的最小正周期及图中、的值；（Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值.（16）（共13分）解：（Ⅰ）的最小正周期为．（Ⅱ）因为，所以．于是当，即时，取得最大值0；当，即时，取得最小值．（17）（本小题14分）如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，，，、分别为、的中点.（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）求证：平面；（Ⅲ）求三棱锥的体积.（17）（共14分）解：（Ⅰ）在三棱柱中，底面．所以．又因为．所以平面．所以平面平面．（Ⅱ）取中点，连结，．因为，分别是，的中点，所以，且．因为，且，所以，且．所以四边形为平行四边形．所以．又因为平面，平面，所以平面．（Ⅲ）因为，，，所以．所以三棱锥的体积．（18）（本小题14分）从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：组号分组频数1628317422525612768292合计100 （Ⅰ）从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率；（Ⅱ）求频率分布直方图中的a，b的值；（Ⅲ）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组（只需写出结论）（18）（共13分）解：（Ⅰ）根据频数分布表，100名学生中课外阅读时间不少于12小时的学生共有名，所以样本中的学生课外阅读时间少于12小时的频率是．从该校随机选取一名学生，估计其课外阅读时间少于12小时的概率为．（Ⅱ）课外阅读时间落在组的有17人，频率为，所以．课外阅读时间落在组的有25人，频率为，所以．（Ⅲ）样本中的100名学生课外阅读时间的平均数在第4组．（19）（本小题14分）已知椭圆C：.（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）设O为原点，若点A在直线，点B在椭圆C上，且，求线段AB长度的最小值.（19）（共14分）解：（Ⅰ）由题意，椭圆的标准方程为．所以，，从而．因此，．故椭圆的离心率．（Ⅱ）设点，的坐标分别为，，其中．因为，所以，即，解得．又，所以．因为，且当时等号成立，所以．故线段长度的最小值为．（20）（本小题13分）已知函数.（Ⅰ）求在区间上的最大值；（Ⅱ）若过点存在3条直线与曲线相切，求t的取值范围；（Ⅲ）问过点分别存在几条直线与曲线相切？（只需写出结论）（20）（共13分）解：（Ⅰ）由得.令，得或.因为，，所以在区间上的最大值为.（Ⅱ）设过点的直线与曲线相切于点则且切线斜率为所以切线方程为，因此.整理得.设则“过点存在3条直线与曲线相切”等价于“有3个不同零点”..与的情况如下：0100↗↘↗所以，是的极大值，是的极小值．当，即时，此时在区间和上分别至多有1个零点，所以至多有2个零点．当，即时，此时在区间和上分别至多有1个零点，所以至多有2个零点．当且，即时，因为，所以分别在区间，和上恰有个零点.由于在区间和上单调，所以分别在区间和上恰有1个零点.综上可知，当过点存在条直线与曲线相切时，的取值范围是.（Ⅲ）过点存在条直线与曲线相切；过点存在条直线与曲线相切；过点存在条直线与曲线相切.：