2010年北京高考文科数学试题及答案

2010年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）第I卷选择题（共40分）本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的4个选项中，选出符合题目要求的一项。集合，则（A） （B） （C） （D）2，在等比数列中，，公比.若，则 （A）9 （B）10 （C）11 （D）12正（主）视图侧（左）视图3，一个长方体去掉一个小长方体，所得集合体的正（主）视图与侧（左）视图分别如右图所示，则该几何体的俯视图为（A）（B）（C）（D） 4，8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法总数为 （A） （B） （C） （D）5，极坐标方程表示的图形是 （A）两个圆 （B）两条直线 （C）一个圆和一条射线 （D）一条直线和一条射线6，为非零向量，“”是“函数为一次函数”的 （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件7，设不等式组表示的平面区域为D，若指数函数的图象上存在区域D上的点，则的取值范围是 （A） （B） （C） （D）8，如图，正方体的棱长为2，动点E，F在棱上，动点P，Q分别在棱上，若（大于零），则四面体的体积与都有关与有关，与无关与有关，与无关与有关，与无关第II卷 （共110分）填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分。9，在复平面内，复数对应的点的坐标为______10，在中，若，则11，从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图），由图中数据可知.若要从身高在三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在内的学生中选取的人数应为________.12，如图，的弦的延长线交于点A，若，则13，已知双曲线的离心率为2，焦点与椭圆的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为______；渐近线方程为_______.14，如图放置的边长为1的正方形沿x轴滚动，设顶点的轨迹方程是，则函数的最小正周期为_____；在其两个相邻零点间的图象与x轴所围区域的面积为_______.说明：“正方形沿x轴滚动”包括沿轴正方向和沿轴负方向滚动.沿轴正方向滚动指的是先以顶点A为中心顺时针旋转，当顶点落在轴上时，再以顶点B为中心顺时针旋转，如此继续.类似地，正方形沿x轴负方向滚动.解答题。本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。15，（本小题共13分）已知函数求的值；求的最大值和最小值. 16，（本小题共14分） 如图，正方形和四边形所在的平面互相垂直，，∥，(1)求证：∥平面；(2)求证：平面；(3)求二面角的大小.17，（本小题共13分）某同学参加3门课程的考试.假设该同学第一门课程取得的优秀成绩的概率为，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立，记为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为0123Pab(1)求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率；(2)求的值；(3)求数学期望. 18，（本小题共13分） 已知函数.(1)当，求曲线在点处的切线方程；(2)求的单调区间. 19，（本小题共14分） 在平面直角坐标系中，点B与点关于原点O对称，P是动点，且直线与的斜率之积等于.(1)求动点P的轨迹方程；(2)设直线和分别与直线交于点，问：是否存在点使得与的面积相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.20，（本小题共13分）已知集合.对于，定义与的差为：A与B之间的距离为.(1)证明：，有，且；(2)证明：，三个数中至少有一个是偶数；设，中有个元素，记中所有两元素间距离的平均值为.证明：参考答案选择题BC．C．A．C．B．A．D．二、填空题9，（-1，1）.10，1。11，0.030，312，5，13，，14，4，三、解答题15（I）（2）因为所以当时，取最大值6；当时，取最小值。16证明：（I）设AC与BD交于点G，因为EF∥AG，且EF=1，AG=AC=1，所以四边形AGEF为平行四边形。所以AF∥EG。因为EGP平面BDE，AF平面BDE，所以AF∥平面BDE。（II）因为正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，且CE⊥AC，所以CE⊥AC，所以CE⊥平面ABCD。如图，以C为原点，建立空间直角坐标系C-xyz。则C（0，0，0），A（，，0），D（，0，0），E（0，0，1），F（，，1）。所以=（，，1），=（0，－，１），＝（－，0，１）。所以·=0-1+1=0，·=－１＋０＋１＝０。所以CF⊥BE，CF⊥DE，所以CF⊥平面BDE（III）由（II）知，=（，，1），是平面BDE的一个法向量，设平面ABE的法向量=（x,y,z）,则·=0，·=0。即所以x=0，且z=y。令y=1，则z=。所以n=（），从而cos（，）=因为二面角A-BE-D为锐角，所以二面角A-BE-D为。17解：事件A，表示“该生第i门课程取得优异成绩”，i=1,2,3。由题意可知（I）由于事件“该生至少有一门课程取得优异成绩”与事件“”是对立的，所以该生至少有一门课程取得优秀成绩的概率是（II）由题意可知，整理得pq=。（III）由题意知，18解：（I）当时，由于所以曲线处的切线方程为。即（II）当时， 因此在区间上，；在区间上，； 所以的单调递增区间为，单调递减区间为； 当时，，得; 因此，在区间和上，；在区间上，； 即函数的单调递增区间为和，单调递减区间为； 当时，.的递增区间为 当时，由，得； 因此，在区间和上，，在区间上，； 即函数的单调递增区间为和，单调递减区间为。19，解：（1）因点B与（-1,1）关于原点对称，得B点坐标为（1，-1）。 设P点坐标为，则，由题意得， 化简得：。即P点轨迹为： （2）因，可得， 又， 若，则有， 即设P点坐标为，则有：解得：，又因，解得。 故存在点P使得与的面积相等，此时P点坐标为或20,解：（1）设 因，故， 即 又 当时，有； 当时，有 故 （2）设 记 记，由第一问可知： 即中1的个数为k，中1的个数为l， 设t是使成立的i的个数，则有，由此可知，不可能全为奇数，即三个数中至少有一个是偶数。 （3）显然P中会产生个距离，也就是说，其中表示P中每两个元素距离的总和。 分别考察第i个位置，不妨设P中第i个位置一共出现了个1，那么自然有个0，因此在这个位置上所产生的距离总和为， 那么n个位置的总和 即