2012年浙江省高考数学【理】（含解析版）

2012浙江省高考数学（理科）试卷word版(含答案)2012年普通高等学校招生全国统一考试数学（理科）选择题部分（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一个项是符合题目要求的。．设集合，集合2，则1Ax|1x4Bx|x2x30A(CRB)A．(1，4)B．(3，4)C．(1，3)D．(1，2)(3，4)3i2．已知i是虚数单位，则1iA．12iB．2iC．2iD．12i3．设aR，则“a1”是“直线l1：ax2y10与直线l2：x(a1)y40平行”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．把函数ycos2x1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图像是5．设a，b是两个非零向量A．若|ab||a||b|，则abB．若ab，则|ab||a||b|C．若|ab||a||b|，则存在实数，使得baD．若存在实数，使得ba，则|ab||a||b|6．若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有A．60种B．63种C．65种D．66种7．设Sn是公差为d（d0）的无穷等差数列an的前n项和，则下列命题错误的是A．若d0，则数列{Sn}有最大项B．若数列{Sn}有最大项，则d0C．若数列{Sn}是递增数列，则对任意nN*，均有Sn0D．若对任意nN*，均有Sn0，则数列{Sn}是递增数列x2y28．如图，F，F分别是双曲线C：1(a，b0)的12a2b2左、右两焦点，B是虚轴的端点，直线F1B与C的两条渐近线分别交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M．若|MF1||F1F2|，则C的离心率是236A．B．C．2D．3329．设a0，b0A．若2a2a2b3b，则abB．2a2a2b3b若，则abC．若2a2a2b3b，则abD．若2a2a2b3b，则ab10．已知矩形ABCD，AB1，BC2．将ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中，A．存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直B．存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直C．存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直D．对任意位置，三对直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直非选择题部分（共100分）二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。11．已知某三棱锥的三视图（单位：cm）如图所示，则该三棱锥的体积等于cm3．12．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是．13．设公比为q(q0)的等比数列an的前n项和为Sn．若S23a22，S43a42，则q．14．若将函数f(x)x5表示为2345f(x)a0a1(1x)a2(1x)a3(1x)a4(1x)a5(1x)，其中a0，a1，a2，…，a5为实数，则a3．15．在ABC中，M是BC的中点，AM3，BC10，则ABBC．16．定义：曲线C上的点到直线的距离的最小值称为曲线C到直线l2的距离．已知曲线C1：yxa到直线l：yx的距离等于曲线22C2：x(y4)2到直线l：yx的距离，则实数a．217．设aR，若x0时均有a1x1xax10，则a．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18．（本题满分14分）在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知2cosA，sinB5cosC．3（Ⅰ）求tanC的值；（Ⅱ）若a2，求ABC的面积．19．（本题满分14分）已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分．现从箱中任取（无放回，且每球取道的机会均等）3个球，记随机变量X为取出此3球所得分数之和．（Ⅰ）求X的分布列；（Ⅱ）求X的数学期望E(X)．20．（本题满分15分）如图，在四棱锥PABCD中，底面是边长为23的菱形，BAD120，且PA平面ABCD，PA26，M，N分别为PB，PD的中点．（Ⅰ）证明：MN平面ABCD；（Ⅱ）过点A作AQPC，垂足为点Q，求二面角AMNQ的平面角的余弦值．x2y221．（本题满分15分）如图，椭圆C：1(ab0)的a2b21离心率为，其左焦点到点P(2,1)的距离为10，不过原点O的2直线l与C相交于A，B两点，且线段AB被直线OP平分．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）求ABP面积取最大值时直线l的方程．22．（本题满分14分）已知a0，bR，函数f(x)4ax32bxab．（Ⅰ）证明：当0x1时，（i）函数f(x)的最大值为|2ab|a；（ii）f(x)|2ab|a0；（Ⅱ）若1f(x)1对x[0，1]恒成立，求ab的取值范围．数学（理科）试题参考答案一、选择题：本题考察基本知识和基本运算。每小题5分，满分50分。1．B2．D3．A4．A5．C6．D7．C8．B9．A10．B二、填空题：本题考察基本知识和基本运算。每小题4分，满分28分。1311．112．13．14．1012029315．-1616．17．42三、解答题：本题共小题，满分72分。18．本题主要考查三角恒等变换、正弦定理等知识，同时考查运算求解能力。满分14分。2（Ⅰ）因为0A，cosA，得35sinA1cos2A3又5cosCsinBsin(AC)sinAcosCcosAsinC52cosCsinC33所以tanC5（Ⅱ）由tanC5，得51sinC，cosC，66于是5sinB5cosC．6ac由a2及正弦定理，得sinAsinCc3．设ABC的面积为S，则15SacsinB．2219．本题主要考查随机事件的概率和随机变量的分布列、数学期望等概念，同时考查抽象概括、运算求解能力和应用意识。满分14分。（Ⅰ）由题意得X取3，4，5，6，且C35C1C2105，45，P(X3)3P(X4)3C942C921C2C25C4145，4．P(X5)3P(X6)3C914C921所以X的分布列为X3456P5105142211421（Ⅱ）由（Ⅰ）知13E(X)3P(X3)4P(X4)5P(X5)6P(X6)3．20．本题主要考察空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，空间向量的应用，同时考查空间想像能力和运算求解能力。满分15分。（Ⅰ）因为M，N分别是PB，PD的中点，所以MN是PBD的中位线，所以MM//BD又因为MN平面ABCD，所以MM//平面ABCD．（Ⅱ）方法一：连结AC交BD于O，以O为原点，OC，OD所在直线为x，y轴，建立空间直角坐标系Oxyz，如图所示在菱形ABCD中，BAD120，得ACAB23，BD3AB6．又因为PA平面ABCD，所以PAAC．在直角PAC中，AC23，PA26，AQPC，得QC2，PQ4．由此知各点坐标如下，A(3,0,0)，B(0,3,0)，C(3,0,0)，D(0,3,0)，33P(3,0,26)，M(,,6)，2233326N(,,6)，Q(,0,)．2233设m(x,y,z)为平面AMN的法向量．3333由AM(,,6)，AN(,,6)知222233xy6z02233xy6z022取x1，得m(22,0,1)设n(x,y,z)为平面QMN的法向量．53365336由QM(,,)，QN(,,)知6236235336xyz06235336xyz0623取z5，得n(22,0,5)于是mn33cosm,n．|m||n|3333所以二面角AMNQ的平面角的余弦值为．33方法二：在菱形ABCD中，BAD120，得ACABBCDA，BD3AB，有因为PA平面ABCD，所以PAAB，PAAC，PAAD，所以PBPCPD．所以PBCPDC．而M，N分别是PB，PD的中点，所以11MQNQ，且AMPBPDAN．22取线段MN的中点E，连结AE，EQ，则AEMN，QEMN，所以AEQ为二面角AMNQ的平面角．由AB23，PA26，故1在AMN中，AMAN3，MNBD3，得233AE．2在直角PAC中，AQPC，得AQ22，QG2，PQ4，PB2PC2BC25在PBC中，cosBPC，得2PBPC6MQPM2PQ22PMPQcosBPC5．在等腰MQN中，MQNQ5，MN3，得11QEMQ2ME2．23311在AEQ中，AE，QE，AQ22，得22AE2QE2AQ233cosAEQ．2AEQE3333所以二面角AMNQ的平面角的余弦值为．3321．本题主要考查椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解体能力。满分15分。（Ⅰ）设椭圆左焦点为F(c，0)，则由题意得(2c)110c1，a2c1得a2所以椭圆方程为x2y21．43（Ⅱ）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB的中点为M．当直线AB与x轴垂直时，直线AB的方程为x0，与不过原点的条件不符，舍去．故可设直线AB的方程为ykxm(m0)，ykxm由消去y，整理得223x4y12(34k2)x28kmx4m2120，（1）则8kmxx122222234k64km4(34k)(4m12)0，4m212xx1234k28km4m212所以AB线段的中点M(,)，34k234k2因为M在直线OP上，所以3m2km，34k234k2得3m0（舍去）或k，2此时方程（1）为3x23mxm20，则x1x2m23(12m)0，m23x1x23所以39|AB|1k2|xx|12m2，126设点P到直线AB距离为d，则|82m|2|m4|d，322213设ABP的面积为S，则13S|AB|d(m4)2(12m2)，26其中m(23,0)(0,23)，令u(m)(12m2)(m4)2，m[23,23]u'(m)4(m4)(m22m6)4(m4)(m17)(m17)，所以当且仅当m17，u(m)取到最大值，故当且仅当m17，S取到最大值．综上，所求直线l方程为3x2y2720．22．本题主要考查利用导函数研究函数的性质、线性规划等基础知识，同时考查推理论证能力，分类讨论等综合解题能力和创新意识。满分14分。b（Ⅰ）（i）f'(x)12ax22b12a(x2)6a当b0时，有f'(x)0，此时f(x)在[0,)上单调递增所以当0x1时，3ab,b2af(x)maxmax{f(0),f(1)}max{ab,3ab}|2ab|aab,b2a（ii）由于0x1，故当b2a时，f(x)|2ab|af(x)3ab4ax32bx2a4ax34ax2a2a(2x32x1)当b2a时，f(x)|2ab|af(x)ab4ax32b(1x)2a4ax3