2015年浙江省高考数学【理】（含解析版）

2015年浙江省高考数学试卷（理科） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分2015年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）21．（5分）（2015•浙江）已知集合P={x|x﹣2x≥0}，Q={x|1＜x≤2}，则（∁RP）∩Q=（ ） A[0，1）B（0，2]C（1，2）D[1，2] ABCD．．．．．．．． 2．（5分）（2015•浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（ ） 6．（5分）（2015•浙江）设A，B是有限集，定义：d（A，B）=card（A∪B）﹣card（A∩B），其中card（A）表示有限集A中的元素个数（ ）命题①：对任意有限集A，B，“A≠B”是“d（A，B）＞0”的充分必要条件；命题②：对任意有限集A，B，C，d（A，C）≤d（A，B）+d（B，C） A．命题①和命题②都成立B．命题①和命题②都不成立 C．命题①成立，命题②不成立D．命题①不成立，命题②成立 7．（5分）（2015•浙江）存在函数f（x）满足，对任意x∈R都有（ ） Af（sin2x）Bf（sin2x）Cf（x2+1）Df（x2+2x）．=sinx．=x2+x．=|x+1|．=|x+1| A8cm3B12cm3CD8．（5分）（2015•浙江）如图，已知△ABC，D是AB的中点，沿直线CD将△ACD折成△A′CD，所成二面角．．．．A′﹣CD﹣B的平面角为α，则（ ） 3．（5分）（2015•浙江）已知{an}是等差数列，公差d不为零，前n项和是Sn，若a3，a4，a8成等比数列，则（ ） Aa1d＞0，dS4Ba1d＜0，dS4Ca1d＞0，dS4Da1d＜0，dS4．＞0．＜0．＜0．＞0 4．（5分）（2015•浙江）命题“∀n∈N*，f（n）∈N*且f（n）≤n”的否定形式是（ ）A∠A′DB≤αB∠A′DB≥αC∠A′CB≤αD∠A′CB≥α A．∀n∈N*，f（n）∉N*且f（n）＞nB．∀n∈N*，f（n）∉N*或f（n）＞n．．．．**** C．∃n0∈N，f（n0）∉N且f（n0）＞D．∃n0∈N，f（n0）∉N或f（n0）＞ n0n0二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分． 5．（5分）（2015•浙江）如图，设抛物线y2=4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其9．（6分）（2015•浙江）双曲线=1的焦距是 ，渐近线方程是 ．中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则△BCF与△ACF的面积之比是（ ） 10．（6分）（2015•浙江）已知函数f（x）=，则f（f（﹣3））= ，f（x）的最小值是 ． 11．（6分）（2015•浙江）函数f（x）=sin2x+sinxcosx+1的最小正周期是 ，单调递减区间是 ． a﹣a212．（4分）（2015•浙江）若a=log43，则2+2= ．18．（15分）（2015•浙江）已知函数f（x）=x+ax+b（a，b∈R），记M（a，b）是|f（x）|在区间[﹣1，1]上的最 大值．13．（4分）（2015•浙江）如图，三棱锥A﹣BCD中，AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，点M，N分别是AD，（1）证明：当|a|≥2时，M（a，b）≥2；BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是 ．（2）当a，b满足M（a，b）≤2时，求|a|+|b|的最大值． 19．（15分）（2015•浙江）已知椭圆上两个不同的点A，B关于直线y=mx+对称．（1）求实数m的取值范围；（2）求△AOB面积的最大值（O为坐标原点）． 14．（4分）（2015•浙江）若实数x，y满足x2+y2≤1，则|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|的最小值是 ． 15．（6分）（2015•浙江）已知是空间单位向量，，若空间向量满足，且对于任意x，y∈R，，则x0= ，y0= ，|= ． 2*20．（15分）（2015•浙江）已知数列{an}满足a1=且an+1=an﹣an（n∈N） 三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（1）证明：1≤≤2（n∈N*）；16．（14分）（2015•浙江）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，b2﹣a2=c2．（1）求tanC的值；2*（2）若△ABC的面积为3，求b的值．（2）设数列{an}的前n项和为Sn，证明（n∈N）． 17．（15分）（2015•浙江）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，A1A=4，A1在底面ABC 的射影为BC的中点，D是B1C1的中点． （1）证明：A1D⊥平面A1BC；（2）求二面角A1﹣BD﹣B1的平面角的余弦值．：专等差数列与等比数列．2015年浙江省高考数学试卷（理科）题参考答案与试题解析： 分由a3，a4，a8成等比数列，得到首项和公差的关系，即可判断a1d和dS4的符号．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分2015年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学析（理科）：1．（5分）解解：设等差数列{an}的首项为a1，则a3=a1+2d，a4=a1+3d，a8=a1+7d，考点：交、并、补集的混合运算．菁优网版权所有答由a3，a4，a8成等比数列，得，整理得：专题：集合．：分析：求出P中不等式的解集确定出P，求出P补集与Q的交集即可．．解答：解：由P中不等式变形得：x（x﹣2）≥0，∵d≠0，∴，解得：x≤0或x≥2，即P=（﹣∞，0]∪[2，+∞），∴∁P=（0，2），R∴，∵Q=（1，2]，∴（∁RP）∩Q=（1，2），故选：．C=＜0．故选：B．点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．2．（5分）点本题考查了等差数列和等比数列的性质，考查了等差数列的前n项和，是基础题．考由三视图求面积、体积．菁优网版权所有评点：：4．（5分）专空间位置关系与距离．考命题的否定．菁优网版权所有题点：：专简易逻辑．分判断几何体的形状，利用三视图的数据，求几何体的体积即可．题：析分根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论．：析：解解：由三视图可知几何体是下部为棱长为2的正方体，上部是底面为边长2的正方形奥为解解：命题为全称命题，答2的正四棱锥，**答：则命题的否定为：∃n0∈N，f（n0）∉N或f（n0）＞n0，：3所求几何体的体积为：2+×2×2×2=．故选：D．故选：C．点本题考查三视图与直观图的关系的判断，几何体的体积的求法，考查计算能力．点本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．评评：： 5．（5分）3．（5分）考直线与圆锥曲线的关系．菁优网版权所有考等差数列与等比数列的综合．菁优网版权所有点点：专圆锥曲线的定义、性质与方程．故选：A题：分根据抛物线的定义，将三角形的面积关系转化为的关系进行求解即可．析：点本题考查了，元素和集合的关系，以及逻辑关系，分清集合之间的关系与各集合元素个数解解：如图所示，抛物线的准线DE的方程为x=﹣1，评：之间的关系，注意本题对充要条件的考查．集合的元素个数，体现两个集合的关系，但仅答过A，B分别作AE⊥DE于E，交y轴于N，BD⊥DE于E，交y轴于M，凭借元素个数不能判断集合间的关系，属于基础题．：由抛物线的定义知BF=BD，AF=AE， 则|BM|=|BD|﹣1=|BF|﹣1，7．（5分）|AN|=|AE|﹣1=|AF|﹣1，考函数解析式的求解及常用方法．菁优网版权所有点则===，：专函数的性质及应用．故选：A题：分利用x取特殊值，通过函数的定义判断正误即可．析：解解：A．取x=0，则sin2x=0，∴f（0）=0；答取x=，则sin2x=0，∴f（0）=1；：点本题主要考查三角形的面积关系，利用抛物线的定义进行转化是解决本题的关键．∴f（0）=0，和1，不符合函数的定义；评∴不存在函数f（x），对任意x∈R都有f（sin2x）=sinx；：B．取x=0，则f（0）=0； 取x=π，则f（0）=π2+π；6．（5分）∴f（0）有两个值，不符合函数的定义；考复合命题的真假．菁优网版权所有∴该选项错误；点：C．取x=1，则f（2）=2，取x=﹣1，则f（2）=0；专集合；简易逻辑．这样f（2）有两个值，不符合函数的定义；题：∴该选项错误；分命题①根据充要条件分充分性和必要性判断即可，D．令|x+1|=t，t≥0，则f（t2﹣1）=t；析：③借助新定义，根据集合的运算，判断即可．令t2﹣1=x，则t=；解解：命题①：对任意有限集A，B，若“A≠B”，则A∪B≠A∩B，则card（A∪B）＞card∴；答：（A∩B），故“d（A，B）＞0”成立，即存在函数f（x）=，对任意x∈R，都有f（x2+2x）=|x+1|；若d（A，B）＞0”，则card（A∪B）＞card（A∩B），则A∪B≠A∩B，故A≠B成立，故命题∴该选项正确．①成立，故选：D．命题②，d（A，B）=card（A∪B）﹣card（A∩B），d（B，C）=card（B∪C）﹣card点本题考查函数的定义的应用，基本知识的考查，但是思考问题解决问题的方法比较难．（B∩C），评∴d（A，B）+d（B，C）=card（A∪B）﹣card（A∩B）+card（B∪C）﹣card（B∩C）=[card：（A∪B）+card（B∪C）]﹣[card（A∩B）+card（B∩C）] ≥card（A∪C）﹣card（A∩C）=d（A，C），故命题②成立，8．（5分）考二面角的平面角及求法．菁优网版权所有故答案为：2；y=±x．点：专创新题型；空间角．题点本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础．：评：分解：画出图形，分AC=BC，AC≠BC两种情况讨论即可．10．（6分）析考函数的值．菁优网版权所有：点解解：①当AC=BC时，∠A′DB=α；：答②当AC≠BC时，如图，点A′投影在AE上，专计算题；函数的性质及应用．：α=∠A′OE，连结AA′，题易得∠ADA′＜∠AOA′，：∴∠A′DB＞∠A′OE，即∠A′DB＞α分根据已知函数可先求f（﹣3）=1，然后代入可求f（f（﹣3））；由于x≥1时，f（x）=综上所述，∠A′DB≥α，析，当x＜1时，f（x）=lg（x2+1），分别求出每段函数的取值范围，即可求解故选：B．：解答解：∵f（x）=，：∴f（﹣3）=lg10=1，则f（f（﹣3））=f（1）=0，当x≥1时，f（x）=，即最小值，当x＜1时，x2+1≥1，（x）=lg（x2+1）≥0最小值0，点本题考查空间角的大小比较，注意解题方法的积累，属于中档题．故f（x）的最小值是．评故答案为：0；．：点本题主要考查了分段函数的函数值的求解，属于基础试题． 评二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．：9．（6分）11．（6分）考双曲线的简单性质．菁优网版权所有考两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性．菁优网版权所有点：点专计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．：题：专三角函数的求值．分确定双曲线中的几何量，即可求出焦距、渐近线方程．题析：：解分解：双曲线=1中，a=，b=1，c=，由三角函数公式化简可得f（x）=sin（2x﹣）+，易得最小正周期，解不等答：析：∴焦距是2c=2，渐近线方程是y=±x．式2kπ+≤2x﹣≤2kπ+可得函数的单调递减区间．解解：化简可得f（x）=sin2x+sinxcosx+1答分连结ND，取ND的中点为：E，连结ME说明异面直线AN，CM所成的角就是∠EMC=（1﹣cos2x）+sin2x+1：析通过解三角形，求解即可．：=sin（2x﹣）+，解解：连结ND，取ND的中点为：E，连结ME，则ME∥AN，异面直线AN，CM所成的答角就是∠EMC，∴原