2021年北京市高考数学试题(原卷版)

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2021年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)数学第一部分(选择题共40分)一、选择题共10小题,每小题4分,共40分,在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.已知集合,,则()A. B. C. D.2.在复平面内,复数满足,则()A. B. C. D.3.已知是定义在上的函数,那么“函数在上单调递增”是“函数在上的最大值为”的()A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件4.某四面体的三视图如图所示,该四面体的表面积为()A B.4 C. D.25.双曲线过点,且离心率为,则该双曲线的标准方程为()A. B. C. D.6.和是两个等差数列,其中为常值,,,,则()A. B. C. D.7.函数,试判断函数奇偶性及最大值()A.奇函数,最大值为2 B.偶函数,最大值为2C.奇函数,最大值为 D.偶函数,最大值为8.定义:24小时内降水在平地上积水厚度()来判断降雨程度.其中小雨(),中雨(),大雨(),暴雨(),小明用一个圆锥形容器接了24小时雨水,如图,则这天降雨属于哪个等级()A.小雨 B.中雨 C.大雨 D.暴雨9.已知圆,直线,当变化时,截得圆弦长的最小值为2,则()A. B. C. D.10.数列是递增的整数数列,且,,则的最大值为()A.9 B.10 C.11 D.12第二部分(非选择题共110分)二、填空题5小题,每小题5分,共25分.11.展开式中常数项为__________.12.已知抛物线,焦点为,点为抛物线上的点,且,则的横坐标是_______;作轴于,则_______.13.,,,则_______;_______.14.若点与点关于轴对称,写出一个符合题意的___.15.已知函数,给出下列四个结论:①若,则有两个零点;②,使得有一个零点;③,使得有三个零点;④,使得有三个零点.以上正确结论得序号_______.三、解答题共6小题,共85分,解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.16.已知中,,.(1)求的大小;(2)在下列三个条件中选择一个作为已知,使存在且唯一确定,并求出边上的中线的长度.①;②周长为;③面积为;17.已知正方体,点为中点,直线交平面于点.(1)证明:点为的中点;(2)若点为棱上一点,且二面角的余弦值为,求的值.18.为加快新冠肺炎检测效率,某检测机构采取“k合1检测法”,即将k个人的拭子样本合并检测,若为阴性,则可以确定所有样本都是阴性的;若为阳性,则还需要对本组的每个人再做检测.现有100人,已知其中2人感染病毒.(1)①若采用“10合1检测法”,且两名患者在同一组,求总检测次数;②已知10人分成一组,分10组,两名感染患者在同一组的概率为,定义随机变量X为总检测次数,求检测次数X的分布列和数学期望E(X);(2)若采用“5合1检测法”,检测次数Y的期望为E(Y),试比较E(X)和E(Y)的大小(直接写出结果).19.已知函数.(1)若,求在处切线方程;(2)若函数在处取得极值,求的单调区间,以及最大值和最小值.20.已知椭圆过点,以四个顶点围成的四边形面积为.(1)求椭圆E的标准方程;(2)过点P(0,-3)的直线l斜率为k,交椭圆E于不同的两点B,C,直线AB,AC交y=-3于点M、N,直线AC交y=-3于点N,若|PM|+|PN|≤15,求k的取值范围.21.定义数列:对实数p,满足:①,;②;③,.(1)对于前4项2,-2,0,1的数列,可以是数列吗?说明理由;(2)若是数列,求的值;(3)是否存在p,使得存在数列,对?若存在,求出所有这样的p;若不存在,说明理由.

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