2008年北京高考理科数学试题及答案

2008年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）（北京卷）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至9页，共150分．考试时间120分钟．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（选择题共40分）注意事项： 1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上． 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．不能答在试卷上．一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知全集，集合，，那么集合等于（）A． B．C． D．2．若，，，则（）A． B． C． D．3．“函数存在反函数”是“函数在上为增函数”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件4．若点到直线的距离比它到点的距离小1，则点的轨迹为（）A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线5．若实数满足则的最小值是（）A．0 B．1 C． D．96．已知数列对任意的满足，且，那么等于（）A． B． C． D．7．过直线上的一点作圆的两条切线，当直线关于对称时，它们之间的夹角为（）A． B． C． D．yxA．OyxB．OyxC．OyxD．O8．如图，动点在正方体的对角线上．过点作垂直于平面的直线，与正方体表面相交于．设，，则函数的图象大致是（）A1A2008年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）（北京卷）第Ⅱ卷（共110分）注意事项：1．用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上．2．答卷前将密封线内的项目填写清楚．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．9．已知，其中是虚数单位，那么实数．10．已知向量与的夹角为，且，那么的值为．11．若展开式的各项系数之和为32，则，其展开式中的常数项为．（用数字作答）2BCAyx1O3456123412．如图，函数的图象是折线段，其中的坐标分别为，则；．（用数字作答）13．已知函数，对于上的任意，有如下条件：①； ②； ③．其中能使恒成立的条件序号是．14．某校数学课外小组在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树方案如下：第棵树种植在点处，其中，，当时，表示非负实数的整数部分，例如，．按此方案，第6棵树种植点的坐标应为；第2008棵树种植点的坐标应为．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（本小题共13分）已知函数（）的最小正周期为．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函数在区间上的取值范围．16．（本小题共14分）ACBP如图，在三棱锥中，，，，．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求二面角的大小；（Ⅲ）求点到平面的距离．17．（本小题共13分）甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．（Ⅰ）求甲、乙两人同时参加岗位服务的概率；（Ⅱ）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；（Ⅲ）设随机变量为这五名志愿者中参加岗位服务的人数，求的分布列．18．（本小题共13分）已知函数，求导函数，并确定的单调区间．19．（本小题共14分）已知菱形的顶点在椭圆上，对角线所在直线的斜率为1．（Ⅰ）当直线过点时，求直线的方程；（Ⅱ）当时，求菱形面积的最大值．20．（本小题共13分）对于每项均是正整数的数列，定义变换，将数列变换成数列．对于每项均是非负整数的数列，定义变换，将数列各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列；又定义．设是每项均为正整数的有穷数列，令．（Ⅰ）如果数列为5，3，2，写出数列；（Ⅱ）对于每项均是正整数的有穷数列，证明；（Ⅲ）证明：对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列，存在正整数，当时，．2008年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）（北京卷）参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．D 2．A 3．B 4．D 5．B 6．C 7．C 8．B二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9． 10． 11．5 10 12． 13．② 14．三、解答题（本大题共6小题，共80分）15．（共13分）解：（Ⅰ）．因为函数的最小正周期为，且，所以，解得．（Ⅱ）由（Ⅰ）得．因为，所以，所以，因此，即的取值范围为．16．（共14分）ACBDP解法一：（Ⅰ）取中点，连结．，．，．ACBEP，平面．平面，．（Ⅱ），，．又，．又，即，且，平面．取中点．连结．，．是在平面内的射影，．是二面角的平面角．在中，，，，．ACBDPH二面角的大小为．（Ⅲ）由（Ⅰ）知平面，平面平面．过作，垂足为．平面平面，平面．的长即为点到平面的距离．由（Ⅰ）知，又，且，平面．平面，．在中，，，．．点到平面的距离为．解法二：（Ⅰ），，．又，．，平面．平面，．（Ⅱ）如图，以为原点建立空间直角坐标系．ACBPzxyHE则．设．，，．取中点，连结．，，，．是二面角的平面角．，，，．二面角的大小为．（Ⅲ），在平面内的射影为正的中心，且的长为点到平面的距离．如（Ⅱ）建立空间直角坐标系．，点的坐标为．．点到平面的距离为．17．（共13分）解：（Ⅰ）记甲、乙两人同时参加岗位服务为事件，那么，即甲、乙两人同时参加岗位服务的概率是．（Ⅱ）记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件，那么，所以，甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是．（Ⅲ）随机变量可能取的值为1，2．事件“”是指有两人同时参加岗位服务，则．所以，的分布列是1318．（共13分）解：．令，得．当，即时，的变化情况如下表：0当，即时，的变化情况如下表：0所以，当时，函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减．当时，函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减．当，即时，，所以函数在上单调递减，在上单调递减．19．（共14分）解：（Ⅰ）由题意得直线的方程为．因为四边形为菱形，所以．于是可设直线的方程为．由得．因为在椭圆上，所以，解得．设两点坐标分别为，则，，，．所以．所以的中点坐标为．由四边形为菱形可知，点在直线上，所以，解得．所以直线的方程为，即．（Ⅱ）因为四边形为菱形，且，所以．所以菱形的面积．由（Ⅰ）可得，所以．所以当时，菱形的面积取得最大值．20．（共13分）（Ⅰ）解：，，；，．（Ⅱ）证明：设每项均是正整数的有穷数列为，则为，，，，，从而．又，所以，故．（Ⅲ）证明：设是每项均为非负整数的数列．当存在，使得时，交换数列的第项与第项得到数列，则．当存在，使得时，若记数列为，则．所以．从而对于任意给定的数列，由可知．又由（Ⅱ）可知，所以．即对于，要么有，要么有．因为是大于2的整数，所以经过有限步后，必有．即存在正整数，当时，．