2014年北京高考理科数学试题及答案

绝密★启封并使用完毕前2014年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）本试卷共5页，150分。考试时长120分钟，考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回。第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。(1)已知集合，，若(A)(B)(C)(D)(2)下列函数中，在区间上为增函数的是(A)(B)(C)(D)否开始输出S结束是输入m,n的值(3)曲线，（为参数）的对称中心(A)在直线上(B)在直线上(C)在直线上(D)在直线上(4)当,时，执行如图所示的程序框图，输出的值为(A)7(B)42(C)210(D)840(5)设是公比为q的等比数列，则“”是“”为递增数列的(A)充分且不必要条件(B)必要且不充分条件(C)充分且必要条件(D)既非充分也非必要条件(6)若满足且的最小值为，则的值是(A)(B)(C)(D)(7)在空间坐标系中，已知，，，，若，，分别表示三棱锥在，，则坐标平面上的正投影图形的面积，则(A)==(B)=且(C)=且(D)=且(8)有语文、数学两学科，成绩评定为“优秀”“合格”“不合格”三种．若A同学每科成绩不低于B同学，且至少有一颗成绩比B高，则称“A同学比B同学成绩好，”现在若干同学，他们之中没有一个人比另一个人成绩好，且没有任意两个人语文成绩一样，数学成绩也一样的。问满足条件的多少学生(A)1(B)3(C)4(D)5第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。(9)复数_____．(10)已知向量、满足，、且，则_____．(11)在设曲线C经过点，且具有相同渐近线，则C的方程是．(12)若等差数列满足，，则当______时，的前n项和最大．(13)把5件不同的产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有_____种．(14)设函数（是常数，），若在区间上具有单调性，且，则的最小正周期为．三、解答题共6小题，共80分。解答应写出必要的文字说明，演算步骤。(15)（本小题13分）如图，在中，，，点D在BC边上，且CD=2，（Ⅰ）求．（Ⅱ）求，的长．(16)（本小题13分）李明在10场篮球比赛中的投篮情况如下（假设各场比赛相互独立）场次投篮次数命中次数场次投篮次数命中次数主场12212客场1188主场21512客场21312主场3128客场3217主场4238客场41815主场52420客场52512（Ⅰ）从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率；（Ⅱ）从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过0.6，另一场不超过0.6的概率；（Ⅲ）记是表中10个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记X为李明在这场比赛中的命中次数，比和的大小。(17)（本小题14分）如图，正方形的边长为2，B，C分别为和的中点，在五棱锥中，为的中点，平面与棱，分别相较于点、．（Ⅰ）求证：；EDCMFBAPHG（Ⅱ）若平面，且A为垂足，求直线BC与平面ABF所成的角，并求线段P的长(18)（本小题13分）已知函数，（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若在上恒成立，求的最大值与的最小值．(19)（本小题14分）已知椭圆：．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设O为原点，若点A在椭圆G上，点B在直线上，且，求直线AB与圆的位置关系，并证明你的结论．(20)（本小题13分）对于数对序列，，…，，记,，其中表示和两个数中最大的数．（Ⅰ）对于数对序列，，求，；（Ⅱ）记m为四个数、、、的最小值，对于两个数对，组成的数对序列，和，，试分别对和时的情况比较和的大小；（Ⅲ）在由5个数对，，，，组成的有序数对序列中，写出一个数对序列P使最小，并写出的值（只需写出结论）。绝密★考试结束前2014年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）参考答案一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）（1）C（2）A（3）B（4）C（5）D（6）D（7）D（8）B二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）（9）1（10）（11）（12）8（13）36（14）三、解答题（共6小题，共80分）（15）（共13分）解：（I）在中，因为，所以。所以（Ⅱ）在中，由正弦定理得，在中，由余弦定理得所以（16）（共13分）解：（I）根据投篮统计数据，在10场比赛中，李明投篮命中率超过0.6的场次有5场，分别是主场2，主场3，主场5，客场2，客场4.所以在随机选择的一场比赛中，李明的投篮命中率超过0.6的概率是0.5.（Ⅱ）设事件A为“在随机选择的一场主场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”，事件B为“在随机选择的一场客场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”，事件C为“在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6”。则C=，A,B独立。根据投篮统计数据，.所以，在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率为.（Ⅲ）.（17）（共14分）解：（I）在正方形中，因为B是AM的中点，所以∥。又因为平面PDE，所以∥平面PDE，因为平面ABF，且平面平面，所以∥。（Ⅱ）因为底面ABCDE,所以，.如图建立空间直角坐标系,则,,,,, .设平面ABF的法向量为，则即令，则。所以，设直线BC与平面ABF所成角为a,则。设点H的坐标为。因为点H在棱PC上，所以可设，即。所以。因为是平面ABF的法向量，所以，即。解得，所以点H的坐标为。所以（18）（共13分）解：（I）由得。因为在区间上，所以在区间上单调递减。从而。（Ⅱ）当时，“”等价于“”“”等价于“”。令，则，当时，对任意恒成立。当时，因为对任意，，所以在区间上单调递减。从而对任意恒成立。当时，存在唯一的使得。与在区间上的情况如下：+0-↗↘因为在区间上是增函数，所以。进一步，“对任意恒成立”当且仅当，即，综上所述，当且仅当时，对任意恒成立；当且仅当时，对任意恒成立。所以，若对任意恒成立，则a最大值为，b的最小值为1.（19）（共14分）解：（I）由题意，椭圆C的标准方程为。所以，从而。因此。故椭圆C的离心率。（Ⅱ）直线AB与圆相切。证明如下：设点A,B的坐标分别为，，其中。因为，所以，即，解得。当时，，代入椭圆C的方程，得，故直线AB的方程为。圆心O到直线AB的距离。此时直线AB与圆相切。当时，直线AB的方程为，即，圆心0到直线AB的距离又，故此时直线AB与圆相切。（20）（共13分）解：（I）=8（Ⅱ）.当m=a时，==因为，且，所以≤当m=d时，因为≤，且所以≤。所以无论m=a还是m=d，≤都成立。（Ⅲ）数对序列（4,6），（11,11），（16,11），（11,8），（5,2）的值最小，=10，=26，=42，=50，=52