2011年北京高考理科数学试题及答案

绝密★使用完毕前2011年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知集合，.若,则的取值范围是（A）（B）（C）（D）（2）复数（A）（B）（C）（D）（3）在极坐标系中，圆的圆心的极坐标是（A）（B）（C）（D）开始（4）执行如图所示的程序框图，输出的值为（A）（B）（C）是（D）否输出结束数学（理）（北京卷）第1页（共5页）（5）如图，分别与圆切于点，延长与圆交于另一点。给出下列三个结论：；；其中，正确结论的序号是（A）①②（B）②③（C）①③（D）①②③（6）根据统计，一名工人组装第件某产品所用的时间（单位：分钟）为（为常数）。已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第件产品用时15分钟，那么和的值分别是（A）（B）（C）（D）（7）某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中最大的是4834侧（左）视图正（主）视图（B）（C）10俯视图（D）（8）设，，，（），记为平行四边形内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数的值域为（A）（B）（C）（D）数学（理）（北京卷）第2页（共5页）第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。（9）在中，若，，则；。（10）已知向量，，，若与共线，则。（11）在等比数列中，若，，则公比；。（12）用数字2，3组成四位数，且数字2，3至少都出现一次，这样的四位数共有个。（用数字作答）（13）已知函数过关于的方程有两个不同的实根，则实数的取值范围是。（14）曲线是平面内与两个定点和的距离的积等于常数的点的轨迹，给出下列三个结论：曲线过坐标原点；曲线关于坐标原点对称；若点在曲线上，则的面积不大于；其中，所有正确结论的序号是。数学（理）（北京卷）第3页（共5页）三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（15）（本小题共13分）已知函数，（I）求的最小正周期；（Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值；（16）（本小题共14分）如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，。（I）求证：平面（Ⅱ）若，求与所成角的余弦值；（Ⅲ）当平面与平面垂直时，求的长；（17）（本小题共13分）以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学植树的棵数，乙组记录中有一个数据记录模糊无法确认，在图中以表示。乙组甲组990891110（I）如果，求乙组同学植树棵树的平均数和方差；（Ⅱ）如果，分别从甲、乙两组中随机选取一名学生，求这两名同学的植树总棵数的分布列和数学期望；注：方差，其中为的平均数数学（理）（北京卷）第4页（共5页）（18）（本小题共13分）已知函数。（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）若对于任意的，都有，求的取值范围；（19）（本小题共14分）已知椭圆，过点作圆的切线交椭圆于两点，（Ⅰ）求椭圆的焦点坐标及离心率；（Ⅱ）将表示为的函数，并求的最大值；（20）（本小题共13分）若数列（）满足，则称为数列，记。（Ⅰ）写出一个满足，且的数列；（Ⅱ）若，证明数列是递增数列的充要条件是；（Ⅲ）对任意给定的整数，是否存在首项为0的数列，使得，如果存在，写出一个满足条件的数列；如果不存在，说明理由。（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）数学（理）（北京卷）第5页（共5页）2011年北京市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析 一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．（5分）（2011•北京）已知集合P={x|x2≤1}，M={a}．若P∪M=P，则a的取值范围是（ ）A．（﹣∞，﹣1] B．[1，+∞） C．[﹣1，1] D．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）【考点】集合关系中的参数取值问题．菁优网版权所有【专题】集合．【分析】通过解不等式化简集合P；利用P∪M=P⇔M⊆P；求出a的范围．【解答】解：∵P={x|x2≤1}，∴P={x|﹣1≤x≤1}∵P∪M=P∴M⊆P∴a∈P﹣1≤a≤1故选：C．【点评】本题考查不等式的解法、考查集合的包含关系：根据条件P∪M=P⇔M⊆P是解题关键． 2．（5分）（2011•北京）复数=（ ）A．i B．﹣i C． D．【考点】复数代数形式的混合运算．菁优网版权所有【专题】数系的扩充和复数．【分析】将分子、分母同乘以1﹣2i，再按多项式的乘法法则展开，将i2用﹣1代替即可．【解答】解：==i故选A【点评】本题考查复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数；再按多项式的乘法法则展开即可． 3．（5分）（2011•北京）在极坐标系中，圆ρ=﹣2sinθ的圆心的极坐标系是（ ）A． B． C．（1，0） D．（1，π）【考点】简单曲线的极坐标方程．菁优网版权所有【专题】直线与圆；坐标系和参数方程．【分析】先在极坐标方程ρ=﹣2sinθ的两边同乘以ρ，再利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得直角坐标系，再利用直角坐标方程求解即可．【解答】解：将方程ρ=﹣2sinθ两边都乘以p得：ρ2=﹣2ρsinθ，化成直角坐标方程为x2+y2+2y=0．圆心的坐标（0，﹣1）．∴圆心的极坐标故选B．【点评】本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置． 4．（5分）（2011•北京）执行如图所示的程序框图，输出的s值为（ ）A．﹣3 B．﹣ C． D．2【考点】循环结构．菁优网版权所有【专题】算法和程序框图．【分析】i=0，满足条件i＜4，执行循环体，依此类推，当i=4，s=2，此时不满足条件i＜4，退出循环体，从而得到所求．【解答】解：i=0，满足条件i＜4，执行循环体，i=1，s=满足条件i＜4，执行循环体，i=2，s=﹣满足条件i＜4，执行循环体，i=3，s=﹣3满足条件i＜4，执行循环体，i=4，s=2不满足条件i＜4，退出循环体，此时s=2故选：D【点评】根据流程图计算运行结果是算法这一模块的重要题型，处理的步骤一般为：分析流程图，从流程图中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型解模．算法和程序框图是新课标新增的内容，在近两年的新课标地区高考都考查到了，这启示我们要给予高度重视，属于基础题． 5．（5分）（2011•北京）如图，AD，AE，BC分别与圆O切于点D，E，F，延长AF与圆O交于另一点G．给出下列三个结论：①AD+AE=AB+BC+CA；②AF•AG=AD•AE③△AFB～△ADG其中正确结论的序号是（ ）A．①② B．②③ C．①③ D．①②③【考点】与圆有关的比例线段．菁优网版权所有【专题】直线与圆．【分析】根据从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，得到第一个说法是正确的，根据切割线定理知道第二个说法是正确的，根据切割线定理知，两个三角形△ADF～△ADG，得到第三个说法错误．【解答】解：根据从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，有CE=CF，BF=BD，∴AD+AE=AB+BC+CA，故①正确，∵AD=AE，AE2=AF•AG，∴AF•AG=AD•AE，故②正确，根据切割线定理知△ADF～△ADG故③不正确，综上所述①②两个说法是正确的，故选A．【点评】本题考查与圆有关的比例线段，考查圆的切线长定理，考查圆的切割线定理，考查切割线构成的两个相似的三角形，本题是一个综合题目． 6．（5分）（2011•北京）根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间（单位：分钟）为（A，C为常数）．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么c和A的值分别是（ ）A．75，25 B．75，16 C．60，25 D．60，16【考点】函数解析式的求解及常用方法．菁优网版权所有【专题】函数的性质及应用．【分析】首先，x=A的函数值可由表达式直接得出，再根据x=4与x=A的函数值不相等，说明求f（4）要用x＜A对应的表达式，将方程组联解，可以求出C、A的值．【解答】解：由题意可得：f（A）==15，所以c=15而f（4）==30，可得出=30故=4，可得A=16从而c=15=60故答案为D【点评】分段函数是函数的一种常见类型，解决的关键是寻找不同自变量所对应的范围，在相应区间内运用表达式加以解决． 7．（5分）（2011•北京）某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是（ ）A．8 B． C．10 D．【考点】由三视图求面积、体积．菁优网版权所有【专题】立体几何．【分析】三视图复原的几何体是一个三棱锥，根据三视图的图形特征，判断三棱锥的形状，三视图的数据，求出四面体四个面的面积中，最大的值．【解答】解：三视图复原的几何体是一个三棱锥，如图，四个面的面积分别为：8，6，，10，显然面积的最大值，10．故选C．【点评】本题是基础题，考查三视图复原几何体的知识，考查几何体的面积，空间想象能力，计算能力，常考题型． 8．（5分）（2011•北京）设A（0，0），B（4，0），C（t+4，4），D（t，4）（t∈R）．记N（t）为平行四边形ABCD内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数N（t）的值域为（ ）A．{9，10，11} B．{9，10，12} C．{9，11，12} D．{10，11，12}【考点】集合的含义．菁优网版权所有【专题】集合．【分析】分别由t=0，1，2求出N（t），排除错误选项A，B，D，从而得到正确选项．【解答】解：当t=0时，▱ABCD的四个顶点是A（0，0），B（4，0），C（4，4），D（0，4），符合条件的点有（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3），共九个，N（t）=9，故选项D不正确．当t=1时，▱ABCD的四个顶点是A（0，0），B（4，0），C（5，4），D（1，4），同理知N（t）=12，故选项A不正确．当t=2时，▱ABCD的四个顶点是A（0，0），B（4，0），C（6，4），D（2，4），同理知N（t）=11，故选项B不正确．故选C．【点评】本题考查集合的性质和应用，解题时要注意排除法的合理运用．本题中取整点是个难点，常用的方法是，先定横（或纵）坐标，在定纵（横）坐标，以确定点的个数，如果从图形上看，就是看直线x=r（r是整数）上有几个整点在四边形内． 二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．（5分）（2011•北京）在△ABC中．若b=5，，tanA=2，则sinA= ；a= 2 ．【考点】正弦定理；同角三角函数间的基本关系．菁优网版权所有【专题】解三角形．【分析】由tanA的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cosA的平方，然后由A的范围，再利用同角三角函数的基本关系求出sinA的值，然后再利用正弦定理，由sinA，sinB及b的值即可求出a的值．【解答】解：由tanA=2，得到cos2A==，由A∈（0，π），得到sinA==，根据正弦定理得：=，得到a===2．故答案为：；2【点评】此题考查学生灵活运用同角三角函数间的基本关系以及正弦定理化简求值，是一道中档题． 10．（5分）（2011•北京）已知向量=（，1），=（0，﹣1），=（k，）．若与共线，则k= 1 ．【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．菁优网版权所有【专题】平面向量及应用．【分析】利用向量的坐标运算求出的坐标；利用向量共线的坐标形式的充要条件列出方程，求出k的值．【解答】解：∵与共线，∴解得k=1．故答案为1．【点评】本题考查向量的坐标运算、考查向量共线的坐标形式的充要条件：坐标交叉相乘相等． 11．（5分）（2011•北京）在等比数列{an}中，a1