2024届湖南省常德市高三下学期3月模拟考试数学试题

科目：数学(试题卷)注意事项：1．答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，不留痕迹。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．本试卷共4页，如缺页，考生须及时报告监考老师，否则后果自负。4．考试结束后，将本答题卷和答题卡一并交回。姓名准考证号祝你考试顺利！2024年常德市高三年级模拟考试数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则A.B.C.D.2.已知等差数列的前项和为，，，则A.B.C.D.3.已知奇函数是定义域为R的连续函数，且在区间上单调递增，则下列说法正确的是A.函数在R上单调递增B.函数在上单调递增C.函数在上单调递增D.函数在上单调递增4.如图，现有棱长为6cm的正方体玉石缺失了一个角，缺失部分为正三棱锥，且分别为棱靠近的四等分点，若将该玉石打磨成一个球形饰品，则该球形饰品的体积的最大值为A.B.C.D.5.已知，，则A.B.C.D.6.已知平面向量均为单位向量，且夹角为，若向量与共面，且满足，则A.B.C.D.7.已知，则=A．9B．10C．18D．198.设有甲、乙两箱数量相同的产品，甲箱中产品的合格率为90%，乙箱中产品的合格率为80%.从两箱产品中任取一件,经检验不合格,放回原箱后在该箱中再随机取一件产品,则该件产品合格的概率为A.B.C.D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列说法正确的是A.数据6，5，3，4，2，7，8，9的上四分位数(75%分位数)为7B.样本数据与样本数据满足，则两组样本数据的方差相同C.若随机事件，满足：，则，相互独立D.若，且函数为偶函数，则10.过点的直线交抛物线于A，B两点，线段AB的中点为，抛物线的焦点为，下列说法正确的是A.以AB为直径的圆过坐标原点B.C.若直线的斜率存在，则斜率为D.若，则1211.若函数的零点为，函数的零点为，则A.B.C.D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知曲线在处的切线与圆相交于A、B两点，则____________．13.若复数满足：，则________.14.已知双曲线C：的左、右焦点分别为，过的直线与双曲线的左、右两支分别相交于两点，直线与双曲线的另一交点为，若为等腰三角形，且的面积是的面积的2倍，则双曲线C的离心率为_________.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．(本小题满分13分)在中，内角,,的对边分别为,,，且．(1)求角；(2)若,,成等差数列，且的面积为，求的周长．16．(本小题满分15分)某市组织宣传小分队进行法律法规宣传，某宣传小分队记录了前9天每天普及的人数，得到下表：时间（天）123456789每天普及的人数y8098129150203190258292310(1)从这9天的数据中任选4天的数据，以X表示4天中每天普及人数不少于240人的天数，求X的分布列和数学期望；(2)由于统计人员的疏忽，第5天的数据统计有误，如果去掉第5天的数据，试用剩下的数据求出每天普及的人数y关于天数的线性回归方程.（参考数据：附：对于一组数据，，……，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：）.17．(本小题满分15分)如图，在四棱锥中，平面平面，，，，.(1)证明：平面；(2)已知三棱锥的体积为，点为线段的中点，设平面与平面的交线为，求直线与平面所成角的正弦值.18．(本小题满分17分)已知O为坐标原点，椭圆C：的上、下顶点为A、B，椭圆上的点P位于第二象限，直线PA、PB、PO的斜率分别为，且.(1)求椭圆C的标准方程；(2)过原点O分别作直线PA、PB的平行线与椭圆相交，得到四个交点，将这四个交点依次连接构成一个四边形，则此四边形的面积是否为定值？若为定值，请求出该定值；否则，请求出其取值范围.19．(本小题满分17分)已知函数.(1)判断函数在区间上极值点的个数并证明；(2)函数在区间上的极值点从小到大分别为，设为数列的前项和.①证明：；②试问是否存在使得？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.