江苏省南京市六校2024届高三下学期期初联合调研数学答案

2023-2024学年第二学期期初联合调研试题高三数学答案2024.21-8.ACABCADD9.AD10.ABD11.BCD12.13.514.15.(1)；(2)（1）当时，，，则，而，所以曲线在点处的切线方程为；…………………………6分（2），由，得，设，则，令，得，则时，，函数单调递增，时，，函数单调递减，故，故,即实数a的取值范围为.…………………………13分16.(1)；(2)①0.008；②（1），，所以，，所以关于的经验回归方程为.………………5分（2）设事件表示“随机取一件药品来自设备生产”，事件表示“随机取一件药品来自设备生产”，事件表示“所抽药品为不合格品”，①因为设备的生产效率是设备的2倍，所以，，，，所以，………………12分②，所以三件不合格品中至少有两件是设备生产的概率为…15分17.(1)证明见解析；(2).（1）如图，在上取一点G，使得，连接，，因为，且是平行四边形，所以，故，又因为平面，平面，所以平面，因为是平行四边形，且，所以是平行四边形，故，又因为平面，平面，所以平面，因为，且平面，平面，所以平面平面，因为平面，所以平面.………………………………………………………………7分（2）方法1：当E为中点，，时，易知，F为中点，又因为平面，所以，，两两互相垂直，则以D为坐标原点，为x轴，为y轴，为z轴建立坐标系，则，，，，所以，，.设平面与平面的法向量分别为，，则，，不妨取，，则，，所以，故二面角的正弦值为，正切值为.………………15分方法2：过作，垂足为M，分别连接，，，  因为平面，平面，所以，因为，是平面内两相交直线，所以平面，因为平面，平面，所以，，即就是二面角的平面角，设，，，因为E为的中点，，底面是平行四边形，所以F是中点，设，因为，易知，且，所以，所以，所以，所以，，所以，即二面角的正切值为.18.（1）x24+y23=1；（2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析.（1）因为所以Z点的轨迹是以为焦点的椭圆，其长轴长2a=4,焦距为2c=2，b=a2−c2=3，所以曲线E的标准方程为：x24+y23=1.…………………………………………………3分（2）（i）设点G(x,y)，因为y=k1(x−2)，所以k1=yx−2，因为y=k2x+3，所以k2=y−3x，因为k1k2=34，所以yx−2⋅y−3x=34，整理得(2y−3x)(2y+3x−23)=0，因为ABCD为四边形，所以2y+3x−23≠0，所以点G在定直线3x−2y=0上；…………………………………………………10分（ii）由题知A(2,0),B(0,1)，直线AB:y=−32x+3，设C(x1,y1),D(x2,y2)，直线CD:y=kx+m，将y=kx+m代入x24+y23=1得(3+4k2)x2+8kmx+4m2−12=0，所以x1+x2=−8km3+4k2,x1x2=4m2−123+4k2，所以k1k2=y1x1−2×y2−3x2=y1y2−3y1(x1−2)x2=k2x1x2+km(x1+x2)+m2−3(kx1+m)x1x2−2x2=k2(4m2−123+4k2)+km(−8km3+4k2)+m2−3k(−8km3+4k2−x2)−3m4m2−123+4k2−2x2，所以3m2−12k2+43k2m−33m+3(3k+4k3)x24m2−12−2(3+4k2)x2=34，所以(163k3+24k2+123k+18)x2+43m(4k2−3)+36−48k2=0，所以163k3+24k2+123k+18=043m(4k2−3)+36−48k2=0，解得k=−32，所以AB//CD.…………………………………………………17分19.（1）λ=1；（2）1128；（3）3（1）由题意，可得an2=(an+d)(an−d)+λd2，化简得(λ−1)d2=0，又d≠0，所以λ=1.      ………………………………3分                        （2）将a1=1,a2=2,a3=4代入条件，可得4=1×4+λ，解得λ=0，所以an2=an+1an−1，所以数列an是首项为1，公比q=2的等比数列，所以an=2n−1.   欲存在r∈[3,7]，使得m⋅2n−1⩾n−r，即r⩾n−m⋅2n−1对任意n∈N∗都成立，则7⩾n−m⋅2n−1，所以m⩾n−72n−1对任意n∈N∗都成立.                      令bn=n−72n−1，则bn+1−bn=n−62n−n−72n−1=8−n2n，所以当n>8时，bn+1bn．所以bn的最大值为b9=b8=1128，所以m的最小值为1128.   ……………………9分               （3）因为数列an不是常数列，所以T⩾2．①若T=2，则an+2=an恒成立，从而a3=a1，a4=a2，所以a22=a12+λ(a2−a1)2a12=a22+λ(a2−a1)2，所以λ(a2−a1)2=0，又λ≠0，所以a2=a1，可得an是常数列．矛盾．所以T=2不合题意.                                                    ②若T=3，取an=1,2,−3,n=3k−2n=3k−1n=3k(k∈N∗)（*），满足an+3=an恒成立．    由a22=a1a3+λ(a2−a1)2，得λ=7．则条件式变为an2=an+1an−1+7．由22=1×(−3)+7，知a3k−12=a3k−2a3k+λ(a2−a1)2；由(−3)2=2×1+7，知a3k2=a3k−1a3k+1+λ(a2−a1)2；由12=(−3)×2+7，知a3k+12=a3ka3k+2+λ(a2−a1)2．所以，数列（*）适合题意．所以T的最小值为3.…………………………………………………17分