数学-江苏省如皋市2024届高三1月诊断测试

2024-02-14 · U1 上传 · 8页 · 467.9 K

如皋市2024高三1月诊断测试数学试题2024.1注意事项(请考生作答前认真阅读以下内容):1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号、座位号填写在答题卡上,并用2B铅笔填涂准考证号.2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑:如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上。4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,将试卷和答题卡一并交回.5.试卷共4页,共19小题;答题卡共2页.满分150分.考试用时120分钟.命题:马超一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.11.抛物线yx2的焦点坐标为(▲).21111A.,0B.,0C.0,D.0,82822.在等比数列an中,a1ax82,a3ax281,且前x项和Sx121,x(▲).A.4B.5C.6D.73.已知m,n表示两条不同直线,表示平面,则(▲).A.若m//,n//,则m//nB.若m,n,则mnC.若m,mn,则n//D.若m//,mn,则n4.有5辆车停放6个并排车位,货车甲车体较宽,停靠时需要占两个车位,并且乙车不与货车甲相邻停放,则共有(▲)种停放方法.A.72B.144C.108D.965.已知△ABC的边BC的中点为D,点E在△ABC所在平面内,且CD3CE2CA,若ACxAByBE,则xy(▲).A.5B.7C.9D.11x2y26.函数yfx的图象为椭圆C:1ab0x轴上方的部分,若fst,fs,fst成a2b2等比数列,则点s,t的轨迹是(▲).A.线段(不包含端点)B.椭圆一部分C.双曲线一部分D.线段(不包含端点)和双曲线一部分高三1月诊断数学试题第1页(共4页)学科网(北京)股份有限公司{#{QQABSQQQgggIAAJAAAgCAw1YCAGQkAAAAKoOhAAAIAAAiAFABAA=}#}π353π7.已知x0,,sinxcosx,则tanx(▲).454A.3B.3C.5D.222双曲线:xy的左、右焦点分别是,,离心率为6,点是的8.C1(a0,b0)F1F2P(x1,y1)Ca2b22右支上异于顶点的一点,过作的平分线的垂线,垂足是,,若上一点满F2F1PF2M|MO|2CT足,则到的两条渐近线距离之和为()F1TF2T5TC▲.A.22B.23C.25D.26二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.29.已知复数z1,z2是关于x的方程xbx102b2,bR的两根,则(▲).z1RA.z1z2B.z2若,则33C.z1z21D.b1z1z212210.若函数fx2sinxlog2sinx2cosxlog2cosx,则(▲).πA.fx的最小正周期为πB.fx的图象关于直线x对称4πC.fx的最小值为1D.fx的单调递减区间为2kπ,2kπ,kZ4111.设a为常数,f(0),f(xy)f(x)f(ay)f(y)f(ax),则(▲).211A.f(a)B.f(x)恒成立22C.f(xy)2f(x)f(y)D.满足条件的fx不止一个三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.集合AxR|ax23x20,aR,若A中元素至多有1个,则a的取值范围是▲.13.已知圆锥的母线长为2,则当圆锥的母线与底面所成角的余弦值为▲时,圆锥的体积最大,最大值为▲.3814.函数f(x)xR的最小值▲.2sin2x13cos2x2高三1月诊断数学试题第2页(共4页)学科网(北京)股份有限公司{#{QQABSQQQgggIAAJAAAgCAw1YCAGQkAAAAKoOhAAAIAAAiAFABAA=}#}四、解答题:本题共5小题,共77分.请在答.题.卡.指.定.区.域.内.作.答.,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本小题满分13分)13设f(x)alnxx1,曲线yf(x)在点(1,f(1))处取得极值.2x2(1)求a;(2)求函数f(x)的单调区间和极值.16.(本小题满分15分)袋中装有5个乒乓球,其中2个旧球,现在无放回地每次取一球检验.(1)若直到取到新球为止,求抽取次数X的概率分布及其均值;(2)若将题设中的“无放回”改为“有放回”,求检验5次取到新球个数X的均值.17.(本小题满分15分)π如图,在三棱柱ABCABC中,ACBB2BC2,CBB2CAB,且平面ABC平面111113B1C1CB.(1)证明:平面ABC平面ACB1;(2)设点P为直线BC的中点,求直线A1P与平面ACB1所成角的正弦值.18.(本小题满分17分)2已知抛物线E:y4x的焦点为F,若△ABC的三个顶点都在抛物线E上,且满足FAFBFC0,则称该三角形为“核心三角形”.(1)设“核心三角形ABC”的一边AB所在直线的斜率为2,求直线AB的方程;(2)已知△ABC是“核心三角形”,证明:△ABC三个顶点的横坐标都小于2.高三1月诊断数学试题第3页(共4页)学科网(北京)股份有限公司{#{QQABSQQQgggIAAJAAAgCAw1YCAGQkAAAAKoOhAAAIAAAiAFABAA=}#}19.(本小题满分17分)n对于给定的正整数n,记集合R{|(x1,x2,x3,,xn),xjR,j1,2,3,,n},其中元素称为一个n维向量.特别地,0(0,0,,0)称为零向量.设,n,n,定义加法和数乘:kR(a1,a2,,an)R(b1,b2,,bn)Rk(ka1,ka2,,kan),(a1b1,a2b2,,anbn).对一组向量,,,,若存在一组不全为零的实数,,,k,使得12…s(sN,s…2)k1k2…s,则称这组向量线性相关.否则,称为线性无关.k11k22kss0(1)对n3,判断下列各组向量是线性相关还是线性无关,并说明理由.①(1,1,1),(2,2,2);②(1,1,1),(2,2,2),(5,1,4);③(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1),(1,1,1).(2)已知,,线性无关,判断,,是线性相关还是线性无关,并说明理由.()已知m(m2)个向量,,,线性相关,但其中任意个都线性无关,证明:3…12…mm1①如果存在等式,则这些系数,,,或者k11k22kmm0(kiR,i1,2,3,,m)k1k2…km全为零,或者全不为零;②如果两个等式,同k11k22kmm0l11l22lmm0(kiR,liR,i1,2,3,,m)kkk12m时成立,其中l10,则.l1l2lm高三1月诊断数学试题第4页(共4页)学科网(北京)股份有限公司{#{QQABSQQQgggIAAJAAAgCAw1YCAGQkAAAAKoOhAAAIAAAiAFABAA=}#}如皋市2024届高三1月诊断测试数学参考答案2024.01一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.题号12345678答案DBBADAAA二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.全部选对得6分,部分选对得3分,有选错得0分.题号91011答案ACDBCDABC三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.题号1213①13②14答案9616349a0或a…832713四、解答题:本题共5小题,共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)13a13(1)f(x)alnxx1,则f(x),2x2x2x22又f(1)0,故可得a20,解得a2;13(3x1)(x1)(2)由(1)可知,f(x)2lnxx1,f(x),2x22x21令f(x)0,解得x,x1,13211又函数定义域为(0,),故可得f(x)在区间(0,)和(1,)单调递减,在区间(,1)单调递增.331故f(x)的极大值为f(1)0,f(x)的极小值为f()22ln3.316.(15分)32332131(1)X的可能取值为1,2,3,P(X1),P(X2),P(X3),5541054310故抽取次数X的概率分布为:X123331P510103313E(X)123.510102333(2)每次检验取到新球的概率均为,故X~B5,,所以E(X)53.555高三1月诊断测试数学参考答案第1页共4页{#{QQABSQQQgggIAAJAAAgCAw1YCAGQkAAAAKoOhAAAIAAAiAFABAA=}#}17.(15分)(1)证明:因为AC2BC2,所以BC1,因为2CAB,所以CAB.3612BCAC在ABC中,,即sinB,sinAsinBsin6所以sinB1,即ABBC.又因为平面ABC平面B1C1CB,平面ABC平面B1C1CBBC,AB平面ABC,所以AB平面B1C1CB.又B1C平面B1C1CB,所以ABB1C,在BBC中,BB2,BC1,CBB,1113222所以B1CB1BBC2B1BBCcos3,即BC3,31所以B1CBC.而ABB1C,AB平面ABC,BC平面ABC,ABBCB,所以B1C平面ABC.又平面,所以平面平面B1CACB1ABCACB1.(2)在平面ABC中过点C作AC的垂线CE,以C为坐标原点,分别以CA,CE,CB1所在直线为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,13则C(0,0,0),B(,,0),A(2,0,0),B(0,0,3),2211333所以P(,,0),A(,,3),44122533所以AP(,,3),144平面ACB1的一个法向量为n(0,1,0),设直线A1P与平面ACB1所成的角为,则直线A1P与平面ACB1所成角的正弦值为:高三1月诊断测试数学参考答案第2页共4页{#{QQABSQQQgggIAAJAAAgCAw1YCAGQkAAAAKoOhAAAIAAAiAFABAA=}#}33|A1Pn|433sin|cosAP,n|.1|AP||n|25271013161618.(17分)1(1)解:设直线AB的方程为y2xt,与y24x联立得y22y2t0,48t0,得t,2设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),则y1y22,y1y22t,1所以xx(yy2t)1t,12212由题意知F(1,0),因为,,,,FAFBFC0FA(x11,y1)FB(x
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