数学-江苏省四校联合2024 届高三新题型适应性考试

2024-02-14 · U1 上传 · 8页 · 480.6 K

江苏省四校联合2024届高三新题型适应性考试数学注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.使用斜二测画法作一个五边形的直观图,则直观图的面积是原来五边形面积的1212A.倍B.倍C.倍D.倍22442.已知a,b是两个不共线的单位向量,向量cab=+∈λµ(,λµR),则“λ>0且µ>0”是“cab⋅+()0>”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件.已知等差数列的前项和为,,,则3{}annSnS4=1S8=4aaaa17+++181920=A.7B.8C.9D.101i−a4.设i为虚数单位,若复数为纯虚数,则a=1i+A.−1B.1C.0D.25.甲、乙、丙、丁四人参加书法比赛,四人对于成绩排名的说法如下.甲说:“乙在丙之前”,乙说:“我在第三名”,丙说:“丁不在第二名,也不在第四名”,丁说:“乙在第四名”.若四人中只有一个人的说法是错误的,则甲的成绩排名为A.第一名B.第二名C.第三名D.第四名6.已知P为抛物线xy2=4上一点,过P作圆xy22+−(3)=1的两条切线,切点分别为A,B,则cos∠APB的最小值为1237A.B.C.D.2348学科网(北京)股份有限公司数学试题第页(共页)147.若全集为U,定义集合A与B的运算:AB⊗={|xxAB∈且xAB∉},则()AB⊗⊗=B....AABBCABUDBAU111558.设a=,b=2ln(sin+cos),c=ln,则48844A.abc<>1,则A3A.CC35=B.C3=78874!.mm−1.mmm−1CmnCnn=(−1)C−1DAAAnnn+=m+110.设函数fx()=−+2sin2x3sin|x|1,则πA.fx()是偶函数B.fx()在(−,0)上单调递增41C.fx()的最小值为−D.fx()在[−π,π]上有4个零点811.已知圆M:(xy−+=1)2216,点A是M所在平面内一定点,点P是M上的动点,若线段PA的中垂线交直线PM于点Q,则Q的轨迹可能为A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.圆三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。12.有一组从小到大排列的数据:3,5,x,8,9,10,若其极差与平均数相等,则这组数据的中位数为__________.13.围棋起源于中国,至今已有4000多年的历史.在围棋中,对于一些复杂的死活问题,比如在判断自己单个眼内的气数是否满足需求时,可利用数列通项的递推方法来计算.假设大小为的眼有口气,大小为的眼有口气,则与满足的关系是nann+1an+1anan+1*,,≥a1=1a2=2ann+1−=na−1(n2,n∈N)则的通项公式为.an__________2π14.若A,B,C,D四点均在同一球面上,∠=BAC,∆BCD是边长为2的等边三角形,3则∆ABC面积的最大值为__________,四面体ABCD体积取最大值时,球的表面积为__________.学科网(北京)股份有限公司数学试题第页(共页)24四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.(13分)在四棱锥P−ABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形,PC⊥PD,二面角A−−CDP为直二面角.(1)证明:PB⊥PD;(2)若PC=PD,求直线PC与平面PAB所成角的正弦值.16.(15分)在游戏中,玩家可通过祈愿池获取新角色和新武器.某游戏的角色活动祈愿池的祈愿规则为:①每次祈愿获取五星角色的概率;②若连续次祈愿都没有获取五星角色,那p0=0.00689么第90次祈愿必定通过“保底机制”获取五星角色;③除触发“保底机制”外,每次祈愿相互独立.设X表示在该祈愿池中连续祈愿直至获取五星角色为止的祈愿次数.(1)求X的概率分布;(2)求X的数学期望.90参考数据:0.994≈0.582.17.(15分)已知函数x,其中.fx()=−−aelogaxea>1(1)若a=e,证明fx()≥0;(2)讨论fx()的极值点的个数.学科网(北京)股份有限公司数学试题第页(共页)3418.(17分)xy22已知等轴双曲线C的顶点分别为椭圆Γ:+=1的焦点F,F.6212(1)求C的方程;()若为上异于顶点的任意一点,直线,与椭圆的交点分别为,与,2QCQF1QF2ΓPRMN,求|PR|+4|MN|的最小值.19.(17分)交比是射影几何中最基本的不变量,在欧氏几何中亦有应用.设A,B,C,D是直线l上ACBD互异且非无穷远的四点,则称⋅(分式中各项均为有向线段长度,例如AB=−BA)为A,BCADB,C,D四点的交比,记为(,;,ABCD).1(1)证明:1(,;,)−=DBCA;(,;,BACD)()若,,,为平面上过定点且互异的四条直线,,为不过点且互异的2l1l2l3l4PL1L2P两条直线,与,,,的交点分别为,,,,与,,,的交点分L1l1l2l3l4A1B1C1D1L2l1l2l3l4别为,,,,证明:;A2B2C2D2(,;,ABCD1111)(,=ABC22;2,D2)(3)已知第(2)问的逆命题成立,证明:若∆EFG与∆EFG′′′的对应边不平行,对应顶点的连线交于同一点,则∆EFG与∆EFG′′′对应边的交点在一条直线上.学科网(北京)股份有限公司数学试题第页(共页)44江苏省四校联合2024届新题型适应性考试数学参考答案一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.D2.A3.C4.B5.B6.C7.A8.D二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。9.AD10.ABC11.ABD三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。nn2−+36,≥320π12.7.513.n214.an=2;331,n=1四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.解:(1)在四棱锥P−ABCD中,因为二面角A−−CDP为直二面角,所以平面PCD⊥平面ABCD,因为底面ABCD为正方形,所以BC⊥DC,而BC⊂平面ABCD,DC=平面PCD平面ABCD,所以BC⊥平面PCD,而PD⊂平面PCD,所以BC⊥PD,又因为PC⊥PD,BC,PC⊂平面PBC,BCPC=C,所以PD⊥平面PBC,又因为PB⊂平面PBC,所以PB⊥PD;(2)分别取CD,AB中点为O,E,连接OP,OE,因为PC=PD,所以OP⊥DC,又因为平面PCD⊥平面ABCD,DC=平面PCD平面ABCD,OP⊂平面PCD,所以OP⊥平面ABCD,以O为坐标原点,OD,OE,OP所在直线分别为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系O−xyz,则O(0,0,0),C(−1,0,0),B(−1,2,0),P(0,0,1),E(0,2,0),A(1,2,0),AP=−−(1,2,1),AB=(−2,0,0),n⋅=AP0−−x20yz+=PC=−−(1,0,1),设n=(,xyz,)是平面PAB的一个法向量,则,即,n⋅=AB0−=20x不妨取y=1,z=2,则n=(0,1,2)是平面PAB的一个法向量.|n⋅PC|10设直线PC与平面PAB的夹角为θ,则sinθ=|cos=|=.所以直线PC与|n||PC|510平面PAB所成的角的正弦值为.5学科网(北京)股份有限公司数学参考答案第页(共页)1416.解:()将每次祈愿获取五星角色的概率记为,的所有可能取值为,,,…,.1p0X12390从而,,2,…,88,PX(=1)=p0PX(=2)=(1−p00)pPX(=3)=(1−p00)pPX(=89)=(1−p00)pk−1(1−pp),1≤k≤89PX(=90)=(1−p)89.所以X的概率分布为PX()=k=00,k∈N*.089(1−=pk0),90(2)X的数学期望EX()=×=+×=+×=+⋅⋅⋅+×=1PX(1)2PX(2)3PX(3)90PX(90)289,=×+×−1p02(1pp00)+×−3(1p0)p0+⋅⋅⋅+×−90(1p0)2390,(1−p0)EX()=×−1(1p00)p+×−2(1p0)p0+×−3(1p0)p0+⋅⋅⋅+×−90(1p0)2888989pEXppppp0()=00000+−(1)+−(1)+⋅⋅⋅+−(1pp00)+90×−(1p0)−89×−(1pp00)90,−90×−(1p0)899028890×−(1pp00)8990×−(1)EX()=+−1(1p00)+−(1p)+⋅⋅⋅+−(1p0)+−89×−(1p0)−pp008928890×−(1p0)89=+−1(1pp00)+−(1)+⋅⋅⋅+−(1p0)+[1−−(1p0)]−89×−(1p0)p0−−90288891(1p0),=+−1(1pp00)+−(1)+⋅⋅⋅+−(1p0)+−(1p0)=p0−−90−−90因为,所以1(1p0)10.99410.582.p0=0.006EX()==≈≈69.67p00.0060.00617.解:e(1)当a=e时,fx()=−−exelnxe,fx′()=ex−,f′(1)=0,f(1)=0,当x<1时,xfx′()<0,fx()单调递减;当x>1时,fx′()>0,fx()单调递增,从而fx()≥f(1)=0;exaxln2a−e(2)由题意知,函数fx()的定义域为(0,+∞),fx′()=aaxln−=,设xalnxalng(x)=xaxln2a−e,a>1,显然函数gx()在(0,+∞)上单调递增,gx()与fx′()同号,①当a>e时,g(0)=−e0,所以函数gx()在(0,1)内有一个零点,所以函数fx()在(0,+∞)上有且仅有一个极值点;②当a=e时,由第(1)问知,函数fx()在(0,+∞)上有且仅有一个极值点;111122lna11③当时,>,lna,因为lna,所以1e<12,lnaln2aln2aalnalna>e11g(0)>,又g(1)=aaln2−

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