数学-江苏省四校联合2024 届高三新题型适应性考试

江苏省四校联合2024届高三新题型适应性考试数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．使用斜二测画法作一个五边形的直观图，则直观图的面积是原来五边形面积的1212A．倍B．倍C．倍D．倍22442．已知a，b是两个不共线的单位向量，向量cab=+∈λµ(,λµR)，则“λ>0且µ>0”是“cab⋅+()0>”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件．已知等差数列的前项和为，，，则3{}annSnS4=1S8=4aaaa17+++181920=A．7B．8C．9D．101i−a4．设i为虚数单位，若复数为纯虚数，则a=1i+A．−1B．1C．0D．25．甲、乙、丙、丁四人参加书法比赛，四人对于成绩排名的说法如下．甲说：“乙在丙之前”，乙说：“我在第三名”，丙说：“丁不在第二名，也不在第四名”，丁说：“乙在第四名”．若四人中只有一个人的说法是错误的，则甲的成绩排名为A．第一名B．第二名C．第三名D．第四名6．已知P为抛物线xy2=4上一点，过P作圆xy22+−(3)=1的两条切线，切点分别为A，B，则cos∠APB的最小值为1237A．B．C．D．2348学科网（北京）股份有限公司数学试题第页（共页）147．若全集为U，定义集合A与B的运算：AB⊗={|xxAB∈且xAB∉}，则()AB⊗⊗=B．．．．AABBCABUDBAU111558．设a=，b=2ln(sin+cos)，c=ln，则48844A．abc<>1，则A3A．CC35=B．C3=78874!．mm−1．mmm−1CmnCnn=(−1)C−1DAAAnnn+=m+110．设函数fx()=−+2sin2x3sin|x|1，则πA．fx()是偶函数B．fx()在(−,0)上单调递增41C．fx()的最小值为−D．fx()在[−π,π]上有4个零点811．已知圆M：(xy−+=1)2216，点A是M所在平面内一定点，点P是M上的动点，若线段PA的中垂线交直线PM于点Q，则Q的轨迹可能为A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．圆三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．有一组从小到大排列的数据：3，5，x，8，9，10，若其极差与平均数相等，则这组数据的中位数为__________．13．围棋起源于中国，至今已有4000多年的历史．在围棋中，对于一些复杂的死活问题，比如在判断自己单个眼内的气数是否满足需求时，可利用数列通项的递推方法来计算．假设大小为的眼有口气，大小为的眼有口气，则与满足的关系是nann+1an+1anan+1*，，≥a1=1a2=2ann+1−=na−1(n2,n∈N)则的通项公式为．an__________2π14．若A，B，C，D四点均在同一球面上，∠=BAC，∆BCD是边长为2的等边三角形，3则∆ABC面积的最大值为__________，四面体ABCD体积取最大值时，球的表面积为__________．学科网（北京）股份有限公司数学试题第页（共页）24四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PC⊥PD，二面角A−−CDP为直二面角．（1）证明：PB⊥PD；（2）若PC=PD，求直线PC与平面PAB所成角的正弦值．16．（15分）在游戏中，玩家可通过祈愿池获取新角色和新武器．某游戏的角色活动祈愿池的祈愿规则为：①每次祈愿获取五星角色的概率；②若连续次祈愿都没有获取五星角色，那p0=0.00689么第90次祈愿必定通过“保底机制”获取五星角色；③除触发“保底机制”外，每次祈愿相互独立．设X表示在该祈愿池中连续祈愿直至获取五星角色为止的祈愿次数．（1）求X的概率分布；（2）求X的数学期望．90参考数据：0.994≈0.582．17．（15分）已知函数x，其中．fx()=−−aelogaxea>1（1）若a=e，证明fx()≥0；（2）讨论fx()的极值点的个数．学科网（北京）股份有限公司数学试题第页（共页）3418．（17分）xy22已知等轴双曲线C的顶点分别为椭圆Γ：+=1的焦点F，F．6212（1）求C的方程；（）若为上异于顶点的任意一点，直线，与椭圆的交点分别为，与，2QCQF1QF2ΓPRMN，求|PR|+4|MN|的最小值．19．（17分）交比是射影几何中最基本的不变量，在欧氏几何中亦有应用．设A，B，C，D是直线l上ACBD互异且非无穷远的四点，则称⋅（分式中各项均为有向线段长度，例如AB=−BA）为A，BCADB，C，D四点的交比，记为(,;,ABCD)．1（1）证明：1(,;,)−=DBCA；(,;,BACD)（）若，，，为平面上过定点且互异的四条直线，，为不过点且互异的2l1l2l3l4PL1L2P两条直线，与，，，的交点分别为，，，，与，，，的交点分L1l1l2l3l4A1B1C1D1L2l1l2l3l4别为，，，，证明：；A2B2C2D2(,;,ABCD1111)(,=ABC22;2,D2)（3）已知第（2）问的逆命题成立，证明：若∆EFG与∆EFG′′′的对应边不平行，对应顶点的连线交于同一点，则∆EFG与∆EFG′′′对应边的交点在一条直线上．学科网（北京）股份有限公司数学试题第页（共页）44江苏省四校联合2024届新题型适应性考试数学参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．D2．A3．C4．B5．B6．C7．A8．D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9．AD10．ABC11．ABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。nn2−+36，≥320π12．7.513．n214．an=2；331，n=1四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．解：（1）在四棱锥P−ABCD中，因为二面角A−−CDP为直二面角，所以平面PCD⊥平面ABCD，因为底面ABCD为正方形，所以BC⊥DC，而BC⊂平面ABCD，DC=平面PCD平面ABCD，所以BC⊥平面PCD，而PD⊂平面PCD，所以BC⊥PD，又因为PC⊥PD，BC，PC⊂平面PBC，BCPC=C，所以PD⊥平面PBC，又因为PB⊂平面PBC，所以PB⊥PD；（2）分别取CD，AB中点为O，E，连接OP，OE，因为PC=PD，所以OP⊥DC，又因为平面PCD⊥平面ABCD，DC=平面PCD平面ABCD，OP⊂平面PCD，所以OP⊥平面ABCD，以O为坐标原点，OD，OE，OP所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系O−xyz，则O(0,0,0)，C(−1,0,0)，B(−1,2,0)，P(0,0,1)，E(0,2,0)，A(1,2,0)，AP=−−(1,2,1)，AB=(−2,0,0)，n⋅=AP0−−x20yz+=PC=−−(1,0,1)，设n=(,xyz,)是平面PAB的一个法向量，则，即，n⋅=AB0−=20x不妨取y=1，z=2，则n=(0,1,2)是平面PAB的一个法向量．|n⋅PC|10设直线PC与平面PAB的夹角为θ，则sinθ=|cos=|=．所以直线PC与|n||PC|510平面PAB所成的角的正弦值为．5学科网（北京）股份有限公司数学参考答案第页（共页）1416．解：（）将每次祈愿获取五星角色的概率记为，的所有可能取值为，，，…，．1p0X12390从而，，2，…，88，PX(=1)=p0PX(=2)=(1−p00)pPX(=3)=(1−p00)pPX(=89)=(1−p00)pk−1(1−pp),1≤k≤89PX(=90)=(1−p)89．所以X的概率分布为PX()=k=00,k∈N*．089(1−=pk0),90（2）X的数学期望EX()=×=+×=+×=+⋅⋅⋅+×=1PX(1)2PX(2)3PX(3)90PX(90)289，=×+×−1p02(1pp00)+×−3(1p0)p0+⋅⋅⋅+×−90(1p0)2390，(1−p0)EX()=×−1(1p00)p+×−2(1p0)p0+×−3(1p0)p0+⋅⋅⋅+×−90(1p0)2888989pEXppppp0()=00000+−(1)+−(1)+⋅⋅⋅+−(1pp00)+90×−(1p0)−89×−(1pp00)90，−90×−(1p0)899028890×−(1pp00)8990×−(1)EX()=+−1(1p00)+−(1p)+⋅⋅⋅+−(1p0)+−89×−(1p0)−pp008928890×−(1p0)89=+−1(1pp00)+−(1)+⋅⋅⋅+−(1p0)+[1−−(1p0)]−89×−(1p0)p0−−90288891(1p0)，=+−1(1pp00)+−(1)+⋅⋅⋅+−(1p0)+−(1p0)=p0−−90−−90因为，所以1(1p0)10.99410.582．p0=0.006EX()==≈≈69.67p00.0060.00617．解：e（1）当a=e时，fx()=−−exelnxe，fx′()=ex−，f′(1)=0，f(1)=0，当x<1时，xfx′()<0，fx()单调递减；当x>1时，fx′()>0，fx()单调递增，从而fx()≥f(1)=0；exaxln2a−e（2）由题意知，函数fx()的定义域为(0,+∞)，fx′()=aaxln−=，设xalnxalng(x)=xaxln2a−e，a>1，显然函数gx()在(0,+∞)上单调递增，gx()与fx′()同号，①当a>e时，g(0)=−e0，所以函数gx()在(0,1)内有一个零点，所以函数fx()在(0,+∞)上有且仅有一个极值点；②当a=e时，由第（1）问知，函数fx()在(0,+∞)上有且仅有一个极值点；111122lna11③当时，>，lna，因为lna，所以1e<12，lnaln2aln2aalnalna>e11g(0)>，又g(1)=aaln2−