文数-名校教研联盟2023-2024学年高三上学期12月联考（全国卷）

文科数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.2izaiaR1.已知复数1i是实数，则a（）A.0B.－1C.2D.－22.设全集U1,2,3,4,5，集合A，B满足AB1,3,5，ABU，则（）A.2AB.4BC.1ðUAD.2ðUB3.如图，已知一个三棱锥的主视图、左视图和俯视图均为斜边长为4的等腰直角三角形，则该三棱锥的体积为（）3282A.32B.22C.D.332π4.已知非零向量a，b满足a2，且a,b，则a2b的最小值为（）3A.2B.3C.2D.1ππ5.已知fx是定义域为R的偶函数，且其图像关于点1,0对称，当x0,2时，fxcosx，362023则f（）21133A.B.C.D.2222xy26.已知平面直角坐标系内的动点Px,y满足x2y0，则P满足xy0的概率为（）y14599A.B.C.D.9121625第1页/共7页学科网（北京）股份有限公司227.已知抛物线C1：y4x，C2：y2pxp0，若直线l：yx1与C1交于点A，B，且与C2交于点P，Q，且ABPQ，则p（）A.1B.2C.4D.68.在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a2，b1且cosB2cosA，则ABC的面积S（）321A.1B.C.D.222x129.已知函数fxexax在0,的最小值为－1，则a（）A.2eB.3C.eD.110.如图，已知圆柱的斜截面是一个椭圆，该椭圆的长轴AC为圆柱的轴截面对角线，短轴长等于圆柱的底面直径.将圆柱侧面沿母线AB展开，则椭圆曲线在展开图中恰好为一个周期的正弦曲线.若该段正弦曲线是函数y2sinx0图像的一部分，且其对应的椭圆曲线的离心率为1，则的值为（）233A.B.C.3D.263211.已知A，B是圆C：x3y33的两点，且ABO是正三角形，则直线AB的方程为（）A.3xy430B.3xy530C.3xy330D.3xy330a12.已知函数fxexlnxaaR，过坐标原点O作曲线yfx的切线l，切点为A，过A且与l垂直的直线l1交x轴于点B，则OAB面积的取值范围是（）22Ae1,B.2e,C.e,D.e1,.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知数据15，14，14，a，16的平均数为15，则其方差为______.14.已知某圆台的上底面圆心为O1，半径为r，下底面圆心为O2，半径为2r，高为h.若该圆台的外接球球h心为O，且OO2OO，则______.12r第2页/共7页学科网（北京）股份有限公司x2y215.若双曲线C：1a0,b0的左、右焦点分别为F1，F2，点P是其右支上的动点，PF1与a2b2其左支交于点Q.若存在P，使得PF2QF1PQ，则C的离心率的取值范围为______.216.已知O为坐标原点，点A10,0，P为圆x2y124上一点，则POPA的最大值为______.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.某酒店为了调查入住宾客对该酒店服务的满意率，对一个月来曾入住过的顾客进行电话回访，回访结果显示，顾客的满意率为80%.在不满意的顾客中，对住宿环境不满意的占60%，对服务员的服务态度不满意的占40%.（1）若在电话回访的所有顾客中，对住宿环境不满意的顾客共有240人，求此次电话回访的顾客总数；（2）若在一同住宿的甲、乙等五名顾客中，随机选择两名进行回访，求甲、乙两人中至少一人被选中的概率.18.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是等腰梯形，AB//CD，PCD是正三角形，已知AB4，ADBCCD2，PB10.（1）证明：平面PCD平面ABCD；（2）求点B到平面PAD的距离.19.已知等比数列an的公比q0，且q1，首项a11，前n项和为Sn.Sn（1）若q¹2，且为定值，求q的值；an2*（2）若Sn1an12annN对任意n2恒成立，求q的取值范围.x2y220.已知椭圆C：1ab0的右焦点为F1,0，左顶点为A.过点F且不与x轴重合的直线la2b2215与C交于P，Q两点（P在x轴上方），直线AP交直线l：x4于点M.当P的横坐标为时，PF.177（1）求C的标准方程；第3页/共7页学科网（北京）股份有限公司PM（2）若PQFM12PFQF，求的值.PF121.已知fxxa1exx2ax2aaR.2（1）讨论fx的单调性；（2）若fx有两个极值点x1，x2，设gafx1fx2，且不等式gatt0的解集为a1,a2，证明：a1a20.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]π22.在极坐标系中，圆C的极坐标方程为2sin.3（1）以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系，求圆C的直角坐标方程；π（2）求圆C上的点到直线sin4距离的最小值.6[选修4-5：不等式选讲]21123.已知正数a,b,c满足2.abc（1）若a2，求bc的最小值；1113（2）证明：.a2ba2cbc4第4页/共7页学科网（北京）股份有限公司文科数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【1题答案】【答案】B【2题答案】【答案】C【3题答案】【答案】D【4题答案】【答案】B【5题答案】【答案】A【6题答案】【答案】D【7题答案】【答案】C【8题答案】【答案】A【9题答案】【答案】B【10题答案】【答案】A【11题答案】【答案】C【12题答案】【答案】D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.【13题答案】4【答案】##0.85第5页/共7页学科网（北京）股份有限公司【14题答案】【答案】3【15题答案】【答案】1,2【16题答案】【答案】200三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.【17题答案】【答案】（1）2000人7（2）10【18题答案】【答案】（1）证明见解析415（2）5【19题答案】1【答案】（1）2（2）0,1【20题答案】x2y2【答案】（1）143PM（2）23PF【21题答案】【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.第6页/共7页学科网（北京）股份有限公司[选修4-4：坐标系与参数方程]【22题答案】22【答案】（）311xy1223（2）32[选修4-5：不等式选讲]【23题答案】【答案】（1）4（2）证明见解析第7页/共7页学科网（北京）股份有限公司