数学-甘肃省兰州第一中学2022-2023学年高二上学期期末

2023-12-21 · U1 上传 · 8页 · 458.2 K

兰州一中2022-2023-1学期期末考试试题高二数学说明:本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(解答题)两部分,满分150分,考试时间120分钟.答案写在答题卡上,交卷时只交答题卡.第Ⅰ卷(选择题)一.单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)11111.数列,,,,...的一个通项公式是()26122011111A.anB.anC.aD.a1n(n1)2(2n1)nnn1nnx2y22.双曲线1的渐近线方程是()3223A.yxB.yx3266C.yxD.yx23S2n3an53.已知等差数列an,bn的前n项和分别为Sn,Tn,且,则()Tn4nb51758A.B.C.D.2128134.若直线2xy20截取圆(xa)2y21所得弦长为2,则a()11A.B.C.1D.12225.已知圆x2y21与抛物线y2pxp0交于A,B两点,与抛物线的准线交于C,D两点,若四边形ABCD是矩形,则p等于()525225A.B.C.D.2525x2y26.已知椭圆1ab0上存在点P,使得PF13PF2,其中F1,F2分别为a2b2椭圆的左、右焦点,则该椭圆的离心率的取值范围是()1111A.0,B.,1C.,1D.,14422x2y27.已知F1,F2分别是双曲线C1的左、右焦点,P是C上位于第一象限的一点,44△且PF1PF20,则PF1F2的面积为()A.2B.4C.22D.23兰州一中高二年级期末数学试卷第1页,共4页x2y28.已知双曲线C:1(a0,b0)的右焦点为F,关于原点对称的两点A、B分别在a2b2双曲线的左、右两支上,AFFB0,FC2BF,且点C在双曲线上,则双曲线的离心率为()171023A.B.C.5D.3223二.多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.全部选对得5分,有漏选得3分,有错选得0分)22229.已知圆O1:xy2x30和圆O2:xy2y10的交点为A,B,则()A.两圆的圆心距O1O22B.直线AB的方程为xy10C.圆O2上存在两点P和Q使得PQABD.圆O1上的点到直线AB的最大距离为22x2y210.已知M是椭圆C:1上一点,F,F2是其左右焦点,则下列选项中正确是841()2A.椭圆的焦距为2B.椭圆的离心率e2△C.椭圆的短轴长为4D.MF1F2的面积的最大值是4202111.关于x1及其二项展开式,下列说法正确的是()A.该二项展开式中偶数项的二项式系数之和为2202171007B.该二项展开式中第8项为C2021x2021C.当x100时,x1除以100的余数是9D.该二项展开式中不含有理项x2y212.设C:1(a0,b0)的左右焦点为F1,F2.过右焦点F2向双曲线的一条渐a2b2近线引垂线,垂足为A,交另一条渐近线于点B,若2AF2F2B,则下列判断正确的是()A.双曲线渐近线方程为y3x23B.离心率为3C.它和双曲线3y2x23共用一对渐近线兰州一中高二年级期末数学试卷第2页,共4页D.过点0,1且和双曲线C只有一个公共点的直线,共有两条第Ⅱ卷(非选择题)三.填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.若直线l1:2xmy10与l2:y3x1垂直,则实数m=.14.如图,正方形内的图形来自中国古代的太极图.勤劳而充满智慧的我国古代劳动人民曾用太极图解释宇宙现象.太极图由正方形的内切圆(简称大圆)和两个互相外切且半径相等的圆(简称小圆)的半圆弧组成,两个小圆与大圆均内切.若正方形的边长为8,则以两个小圆的圆心(图中两个黑白点视为小圆的圆心)为焦点,正方形对角线所在直线为渐近线的双曲线实轴长是_______.15.第5届中国国际进口博览会在上海举行,某高校派出了包括甲同学在内的4名同学参加了连续5天的志愿者活动.已知甲同学参加了2天的活动,其余同学各参加了1天的活动,则甲同学参加连续两天活动的概率为______.(结果用分数表示)x2y216.已知椭圆C:1的左、右焦点分别为F1、F2,M为椭圆C上任意一点,N为4222圆:上任意一点,则的取值范围为Ex32y221MNMF1___________.四.解答题(本大题共6小题,共计70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知数列an为等差数列,bn是公比为2的等比数列,且满足a1b11,b2a25,(1)求数列an和bn的通项公式;(2)令cnanbn求数列cn的前n项和Sn.18.(12分)已知圆C经过坐标原点O和点(4,0),且圆心在x轴上,(1)求圆C的方程;(2)已知直线l:3x4y110与圆C相交于A、B两点,求所得弦长AB的值.兰州一中高二年级期末数学试卷第3页,共4页19.(12分)已知M(4,2)是直线l被椭圆x24y236所截得的线段AB的中点,求直线l的方程.22.(分)已知椭圆xy的左、右焦点分别为,,动点满足20121F1F2M123,MF1MF24(1)求动点M的轨迹C的方程;(2)已知点A(2,0),B(2,0),当点M与A,B不重合时,设直线MA,MB的斜率分别为,,证明为定值k1k2:k1k2.x2y2y2x221.(12分)已知双曲线C:1a0,b0与双曲线1的渐近线相同,a2b262且经过点2,3,(1)求双曲线C的方程;已知双曲线的左、右焦点分别为,,直线经过,倾斜角为3π,与双曲线(2)CF1F2lF2l4交于两点,求的面积CA,BΔF1AB.522.(12分)已知抛物线C:y22pxp1上的点Px,1到其焦点F的距离为,04(1)求抛物线C的方程;(2)点Et,4在抛物线C上,直线l与抛物线交于Ax1,y1、Bx2,y2y10,y20两点,点H与点A关于x轴对称,直线AH分别与直线OE、OB交于点M、N(O为坐标原点),且AMMN.求证:直线l过定点.兰州一中高二年级期末数学试卷第4页,共4页兰州一中2022-2023-1学期期末考试试题高二数学(答案)一、单选题12345678CDBCDDBA二、多选题9101112BDBCDBCBC三、填空题13.614.2221,210115.516.四、解答题17.(10分)(1)设an的公差为d,由已知,有21d5解得d2,n1所以an的通项公式为an2n1,nN,bn的通项公式为bn2,nN.n1(2)cnanbn22n1,分组求和,分别根据等比数列求和公式与等差数列求和公式12nn(12n1)得到:Sn22n1.n122218.(12分)(1)由题意可得,圆心为(2,0),半径为2.则圆的方程为x2y24;611(2)由(1)可知:圆C半径为r2,设圆心(2,0)到l的距离为d,则d1,5由垂径定理得:AB2r2d223.19.(12分)由题意可知l斜率必存在,设l斜率为k,则直线l的方程为y2kx4,代入椭圆的方程化简得14k2x216k32k2x64k264k200,32k216k1设Ax1,y1,Bx2,y2,∵0,∴xx8,解得k,1214k22故直线l的方程为:x2y80.另解:由题知M在椭圆内,设直线l与椭圆相交于点Ax1,y1,Bx2,y2,易知直线l斜率存在,设斜率为k,∵A、B在椭圆上,x24y236①xx4yy11,①-②得x2x24y2y20,即12120,即22②1212x24y236y1y2x1x2814k0,解得k.421∴直线l的方程为y2x4,整理得x2y80.2x2y2120.(12分)(1)由椭圆123知:a212,b23c2a2b21239所以左、右焦点分别为F1(3,0),F2(3,0)因为动点M满足||MF₁|-|MF₂||=4F1F2所以动点M在以F1,F2为焦点的双曲线上,x2y2设动点M设方程为:221a1b1由双曲线的定义得:2a14,2c12c6222所以b1c1a1945x2y2所以动点M设方程为:145(2)设M(x0,y0)(x02)222x0y02x0则1y051454y00y0由k1kMAx0(2)x02y00y0k2kMBx02x02y0y0所以k1k2x02x02x20251y0422x04x0452x0442x04545所以kk.124y2x221.(12分)(1)依题意,设所求双曲线C方程为,6232221代入点2,3得,即,622y2x21y2所以双曲线C方程为,即x21.62232(2)由(1)得c134,则c2,F12,0,F22,0,33π又直线l倾斜角为π,则ktan1,故直线AB的方程为yx2,44设Ax1,y1,Bx2,y2,yx2联立2,消去y,得2,2y2x4x70x137则164270,xx2,xx,1212222由弦长公式得27,AB1kx1x2112423262202又点F12,0到直线AB:xy20的距离d22,211所以SABd62262.F1AB222122.(12分)(1)解:由点Px,1在抛物线上可得,12px,解得x0.002pp1p5由抛物线的定义可得PFx,022p241整理得2p25p20,解得p2或p(舍去).2故抛物线C的方程为y24x.Et,42(2)证明:由在抛物线C上可得44t,解得t4,所以E4,4,则直线OE的方程为yx.易知Hx1,y1且x1、x2均不为0,易知y1y2,yyyy4k12120因为,y0,AB22,y102x1x2y1y2y1y24所以,直线l的斜率存在且大于0,设直线l的方程为ykxmk0,ykxm2联立得2化为ky4y4m0,y4x44m则1616km0,且yy,yy,12k12k由直线OE的方程为yx,得Mx1,x1.y2x1y2易知直线OB的方程为yx,故Nx1,.x2x2由AMMN,则M为AN的中点,xy12所以,2yMy1yN,即2x1y1,即2x1x2x2y1x1y2,x22222y1y2y1y2y1y2y1y2y1y2所以,,化为y1y22y1y2,则4m8得m2,844所以直线l的方程为ykx2,故直线l过定点0,2.

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