2024届广州市高三年级调研测试数学本试卷共5页,22小题,满分150分.考试用时120分钟.注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.用2B铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号.2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回.一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知复数满足,,则()A.1 B.2 C. D.【答案】C【解析】【分析】由条件求得,即可计算模长.【详解】∵,,∴,,∴.故选:C.2.已知集合,,则()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据对数函数的定义域、指数函数的值域求得,进而求得.【详解】由,解得,所以,而,所以,所以.故选:A3.已知向量,,若与共线,则向量在向量上的投影向量为()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据与共线,可得,求得,再利用向量在向量上的投影向量为,计算即可得解.【详解】由向量,,若与共线,则,所以,,所以向量在向量上的投影向量为:,故选:C4.已知函数是奇函数,则()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据函数的奇偶性列方程,从而求得正确答案.【详解】的定义域为,由于是奇函数,所以,所以.故选:B5.如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中,后人称为“三角垛”.“三角垛”的最上层有1个球,第二层有3个球,第三层有6个球,…….记各层球数构成数列,且为等差数列,则数列的前项和为()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据累加法求得,利用裂项求和法求得正确答案.【详解】,,由于为等差数列,所以,所以,也符合,所以,所以数列的前项和为.故选:D6.直线与圆交于A,B两点,则的取值范围为()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求得直线恒过的定点,找出弦长取得最值的状态,即可求出的取值范围.【详解】由题易知直线恒过,圆化为标准方程得,即圆心为,半径,圆心到距离,所以在圆内,则直线与圆交点弦最大值为直径即8,最小时即为圆心到直线距离最大,即时,此时,所以的取值范围为.故选:D7.已知,,,则的值为()A. B. C. D.2【答案】B【解析】【分析】根据同角三角函数的基本关系式、两角和与差的余弦、正弦公式求得正确答案.【详解】,,,分子分母同时除以得:①,由于,所以,所以,所以,所以,即,代入①得:,解得.故选:B8.若函数在区间上存在极小值点,则a的取值范围为()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据的零点、的极值点的情况列不等式,由此求得的取值范围.【详解】,,的开口向上,对称轴为,与轴的交点为,当时,在区间上,,单调递增,没有极值点,所以,要使在区间上存在极小值点,则在有两个不等的正根,则需,解得,所以的取值范围是.故选:A【点睛】求解函数极值点的步骤:(1)确定的定义域;(2)计算导数;(3)求出的根;(4)用的根将的定义域分成若干个区间,考查这若干个区间内的符号,进而确定的单调区间;(5)根据单调区间求得的极值点.二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分.9.某市实行居民阶梯电价收费政策后有效促进了节能减排.现从某小区随机调查了200户家庭十月份的用电量(单位:kW·h),将数据进行适当分组后(每组为左闭右开的区间),画出如图所示的频率分布直方图,则()A.图中a的值为0.015B.样本的第25百分位数约为217C.样本平均数约为198.4D.在被调查的用户中,用电量落在内的户数为108【答案】AC【解析】【分析】根据频率直方图,结合各个统计量的含义,逐项分析判断即可.【详解】对A,,所以,故A正确;对B设样本的第25百分位数约为,,则,所以,故B错误;对C,样本平均数为:,故C正确;对D,用电量落在内的户数为:,故D错误.故选:AC10.已知双曲线的左、右焦点别为,,过点的直线l与双曲线的右支相交于两点,则()A.若的两条渐近线相互垂直,则B.若的离心率为,则的实轴长为C.若,则D.当变化时,周长的最小值为【答案】ACD【解析】【分析】根据双曲线的渐近线、离心率、定义、三角形的周长等知识对选项进行分析,从而确定正确答案.【详解】依题意,,A选项,若双曲线的两条渐近线相互垂直,所以,故A正确;B选项,若的离心率为,解得,所以实轴长,故B错误;C选项,若,则,整理得,故C正确;D选项,根据双曲线的定义可知,,两式相加得,所以周长为,当时,取得最小值,所以,当且仅当,即时,等号成立,所以周长的最小值为,故D正确.故选:ACD11.已知点是函数的图象的一个对称中心,则()A.奇函数B.,C.若在区间上有且仅有条对称轴,则D.若在区间上单调递减,则或【答案】BC【解析】【分析】根据的对称中心求得,根据奇偶性、对称性、单调性等知识确定正确答案.【详解】依题意,点是函数的图象的一个对称中心,所以,且①,B选项正确.则,所以,由于是奇数,所以是偶函数,A选项错误.C选项,,将代入得:,整理得,由于在区间上有且仅有条对称轴,所以,解得,由于,所以,对应,所以C选项正确.D选项,在区间上单调递减,,将代入得:,整理得,则,解得,而,所以或,时,,符合单调性,时,,不符合单调性,所以舍去所以,所以D选项错误.故选:BC12.如图,在棱长为2的正方体中,已知M,N,P分别是棱,,的中点,Q为平面上的动点,且直线与直线的夹角为,则()A.平面B.平面截正方体所得的截面面积为C.点Q的轨迹长度为D.能放入由平面PMN分割该正方体所成的两个空间几何体内部(厚度忽略不计)的球的半径的最大值为【答案】ABD【解析】【分析】A选项,建立空间直角坐标系,求出平面的法向量,得到线面垂直;B选项,作出辅助线,找到平面截正方体所得的截面,求出面积;C选项,作出辅助线,得到点Q的轨迹,并求出轨迹长度;D选项,由对称性得到平面分割该正方体所成的两个空间几何体对称,由对称性可知,球心在上,设球心为,由得到方程,求出半径的最大值.【详解】A选项,以为坐标原点,所在直线分别为轴,建立空间直角坐标系,,故.设平面的法向量为,则,令得,,故,因为,故平面,A正确;B选项,取的中点,连接,因为M,N,P分别是棱,,的中点,所以,又,所以,所以平面截正方体所得的截面为正六边形,其中边长为,故面积为,B正确;C选项,Q为平面上的动点,直线与直线的夹角为,又平面,设垂足为,以为圆心,为半径作圆,即为点Q的轨迹,其中,由对称性可知,,故半径,故点Q的轨迹长度为,C错误;D选项,因为M,N,P分别是棱,,的中点,所以平面分割该正方体所成的两个空间几何体对称,不妨求能放入含有顶点的空间几何体的球的半径最大值,该球与平面切与点,与平面,平面,平面相切,由对称性可知,球心在上,设球心为,则半径为,,故,即,解得,故球的半径的最大值为,D正确.故选:ABD【点睛】立体几何中截面的处理思路:(1)直接连接法:有两点在几何体的同一个平面上,连接该两点即为几何体与截面的交线,找截面就是找交线的过程;(2)作平行线法:过直线与直线外一点作截面,若直线所在的平面与点所在的平面平行,可以通过过点找直线的平行线找到几何体与截面的交线;(3)作延长线找交点法:若直线相交但在立体几何中未体现,可通过作延长线的方法先找到交点,然后借助交点找到截面形成的交线;(4)辅助平面法:若三个点两两都不在一个侧面或者底面中,则在作截面时需要作一个辅助平面.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知抛物线的焦点为F,点M在C上,轴,若(O为坐标原点)的面积为2,则______.【答案】【解析】【分析】根据所给条件,可得,再令得,带入面积公式,计算即可得解.【详解】由,令得,所以,所以,.故答案为:14.的展开式中的系数为______(用数字作答).【答案】【解析】【分析】根据二项式展开式有关知识求得正确答案.【详解】由于,所以的展开式中含的项为,所以的展开式中的系数为.故答案为:15.已知三棱锥的四个顶点均在同一球面上,平面,,,且与平面所成角的正弦值为,则该球的表面积为______.【答案】【解析】【分析】求出三角形外接圆圆心,过作平面,且,则为三棱锥的外接球球心,求出半径即可求得球的表面积.【详解】如图根据题意,平面,所以即与平面所成角,则,又因为,,所以,则,又,即三角形为直角三角形,取中点,则为三角形外接圆圆心,取中点,则,且,所以,即为三棱锥的外接球球心,其半径,所以三棱锥的外接球的表面积为.故答案为:16.已知函数恰有两个零点,则______.【答案】【解析】【分析】利用导数,求出的单调区间,由函数恰有两个零点即函数与x轴有两个不同的交点,从而建立等量关系求解可得.【详解】因为,所以令,则,令,故当时,函数为增函数,当时,函数为减函数,即当时函数有最小值,若,即时,此时函数在R上为增函数,与题意不符;若,即时,此时函数与x轴有两个不同交点,设交点为,且,即,所以当或时,即,此时函数为增函数,当时,即,此时函数为减函数,依题意,函数恰有两个零点即函数与x轴有两个不同的交点,即或,所以或,化简得或,所以,故答案为:.【点睛】根据函数零点个数求解参数范围的问题的一般方法:设方法一:转化为函数与x轴交点个数问题,通过求解单调性构造不等式求解;方法二:转化为函数的交点个数问题求解.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.设数列的前n项和为,且.(1)求数列的通项公式;(2)若数列满足,求数列的前2n项和.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)根据求得.(2)根据分组求和法求得正确答案.【小问1详解】依题意,,当时,,当时,,所以,所以数列是首项为,公比为的等比数列,所以,也符合.所以.【小问2详解】由(1)得,所以.18.如图,在四棱锥中,,,,三棱锥的体积为.(1)求点到平面的距离;(2)若,平面平面,点在线段上,,求平面与平面夹角的余弦值.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)根据等体积法求得点到平面的距离;(2)建立空间直角坐标系,利用向量法求得平面与平面夹角的余弦值.【小问1详解】设点到平面距离为,则,由题可知,所以,所以点到平面的距离为.【小问2详解】取的中点,连接,因为,又平面平面且交线为,平面,,所以平面,由(1)知.由题意可得,所以,所以.以点为坐标原点,为轴,为轴,过点作的平行线为轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则,依题意,所以.设平面的法向量为,则,故可设,平面的一个法向量为,设平面与平面的夹角为,则,所以平面与平面夹角的余弦值为.19.记的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知且.(1)求证:;(2)求的取值范围.【答案】(1)证明见解析(2)【解析】【分析】(1)根据正弦定理和余弦定理可把题设中的边角关系化简为,结合诱导公式及可证.(2)根据及,结合诱导公式和二倍角余弦公式将化为,先求出角A的范围,然后利用余弦函数和二次函数的性质求解即可.【小问1详解】因为,由正弦定理得,,由余弦定理得,所以,又,所以.又,,所以或,所以或,又,所以,所以,得证.【小问2详解】由(1)知,所以,又,所以,因为,所以,所以,因为函数在单调递增,所以,所以的取值范围为.20.已知函数.(1)当时,求曲线在点处的切线方程;(2)当时,,求a的取值范围.【答案】(1);(2).【解析】【分析】(1)利用,求出切线的斜率,然后求解所以曲线在处的切线方程.(2)由
数学B-广东省广州市2024届高三上学期12月调研测试(教科院出题)
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