2013年湖南省郴州市中考数学试卷（含解析版）

2013年湖南省郴州市中考数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．（3分）5的倒数是（ ）A．﹣5 B．5 C． D．﹣2．（3分）函数y＝中自变量x的取值范围是（ ）A．x＞3 B．x＜3 C．x≠3 D．x≠﹣33．（3分）下列图案中，不是中心对称图形的是（ ）A． B． C． D．4．（3分）下列运算正确的是（ ）A．x•x4＝x5 B．x6÷x3＝x2 C．3x2﹣x2＝3 D．（2x2）3＝6x65．（3分）化简的结果为（ ）A．﹣1 B．1 C． D．6．（3分）数据1，2，3，3，5，5，5的众数和中位数分别是（ ）A．5，4 B．3，5 C．5，5 D．5，37．（3分）在一年一度的“安仁春分药王节”市场上，小明的妈妈用280元买了甲、乙两种药材．甲种药材每斤20元，乙种药材每斤60元，且甲种药材比乙种药材多买了2斤．设买了甲种药材x斤，乙种药材y斤，你认为小明应该列出哪一个方程组求两种药材各买了多少斤？（ ）A． B． C． D．8．（3分）如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝25°，D是AB上一点．将Rt△ABC沿CD折叠，使B点落在AC边上的B′处，则∠ADB′等于（ ）A．25° B．30° C．35° D．40°二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）9．（3分）据统计，我国今年夏粮的播种面积大约为415000000亩，415000000用科学记数法表示为 ．10．（3分）已知a+b＝4，a﹣b＝3，则a2﹣b2＝ ．11．（3分）已知一个多边形的内角和是1080°，这个多边形的边数是 ．12．（3分）已知关于x的一元二次方程x2+bx+b﹣1＝0有两个相等的实数根，则b的值是 ．13．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上一点，∠BAC＝70°，则∠OCB＝ °．14．（3分）如图，点D、E分别在线段AB，AC上，AE＝AD，不添加新的线段和字母，要使△ABE≌△ACD，需添加的一个条件是 （只写一个条件即可）．15．（3分）掷一枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别标有数字1～6，掷得朝上的一面的数字为奇数的概率是 ．16．（3分）圆锥的侧面积为6πcm2，底面圆的半径为2cm，则这个圆锥的母线长为 cm．三、解答题（本大题共6小题，每小题6分，共36分）17．（6分）计算：|﹣|+（2013﹣）0﹣（）﹣1﹣2sin60°．18．（6分）解不等式4（x﹣1）+3≥3x，并把解集在数轴上表示出来．19．（6分）在图示的方格纸中（1）作出△ABC关于MN对称的图形△A1B1C1；（2）说明△A2B2C2是由△A1B1C1经过怎样的平移得到的？20．（6分）已知：如图，一次函数的图象与y轴交于C（0，3），且与反比例函数y＝的图象在第一象限内交于A，B两点，其中A（1，a），求这个一次函数的解析式．21．（6分）游泳是一项深受青少年喜爱的体育活动，学校为了加强学生的安全意识，组织学生观看了纪实片“孩子，请不要私自下水”，并于观看后在本校的2000名学生中作了抽样调查．请根据下面两个不完整的统计图回答以下问题：（1）这次抽样调查中，共调查了 名学生；（2）补全两个统计图；（3）根据抽样调查的结果，估算该校2000名学生中大约有多少人“一定会下河游泳”？22．（6分）我国为了维护队钓鱼岛P的主权，决定对钓鱼岛进行常态化的立体巡航．在一次巡航中，轮船和飞机的航向相同（AP∥BD），当轮船航行到距钓鱼岛20km的A处时，飞机在B处测得轮船的俯角是45°；当轮船航行到C处时，飞机在轮船正上方的E处，此时EC＝5km．轮船到达钓鱼岛P时，测得D处的飞机的仰角为30°．试求飞机的飞行距离BD（结果保留根号）．四、证明题（本题8分）23．（8分）如图，已知BE∥DF，∠ADF＝∠CBE，AF＝CE，求证：四边形DEBF是平行四边形．五、应用题（本题8分）24．（8分）乌梅是郴州的特色时令水果．乌梅一上市，水果店的小李就用3000元购进了一批乌梅，前两天以高于进价40%的价格共卖出150kg，第三天她发现市场上乌梅数量陡增，而自己的乌梅卖相已不大好，于是果断地将剩余乌梅以低于进价20%的价格全部售出，前后一共获利750元，求小李所进乌梅的数量．六、综合题（本大共2小题，每小题10分，共20分）25．（10分）如图，△ABC中，AB＝BC，AC＝8，tanA＝k，P为AC边上一动点，设PC＝x，作PE∥AB交BC于E，PF∥BC交AB于F．（1）证明：△PCE是等腰三角形；（2）EM、FN、BH分别是△PEC、△AFP、△ABC的高，用含x和k的代数式表示EM、FN，并探究EM、FN、BH之间的数量关系；（3）当k＝4时，求四边形PEBF的面积S与x的函数关系式．x为何值时，S有最大值？并求出S的最大值．26．（10分）如图，在直角梯形AOCB中，AB∥OC，∠AOC＝90°，AB＝1，AO＝2，OC＝3，以O为原点，OC、OA所在直线为轴建立坐标系．抛物线顶点为A，且经过点C．点P在线段AO上由A向点O运动，点Q在线段OC上由C向点O运动，QD⊥OC交BC于点D，OD所在直线与抛物线在第一象限交于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）点E′是E关于y轴的对称点，点Q运动到何处时，四边形OEAE′是菱形？（3）点P、Q分别以每秒2个单位和3个单位的速度同时出发，运动的时间为t秒，当t为何值时，PB∥OD？2013年湖南省郴州市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．（3分）5的倒数是（ ）A．﹣5 B．5 C． D．﹣【考点】17：倒数．【分析】根据倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．【解答】解：∵5×＝1，∴5的倒数是．故选：C．【点评】本题主要考查倒数的定义，要求熟练掌握．需要注意的是：倒数的性质：负数的倒数还是负数，正数的倒数是正数，0没有倒数．倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．2．（3分）函数y＝中自变量x的取值范围是（ ）A．x＞3 B．x＜3 C．x≠3 D．x≠﹣3【考点】E4：函数自变量的取值范围．【分析】根据分母不等于0列式计算即可得解．【解答】解：根据题意得，3﹣x≠0，解得x≠3．故选：C．【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．3．（3分）下列图案中，不是中心对称图形的是（ ）A． B． C． D．【考点】R5：中心对称图形．【分析】根据中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、是中心对称图形，故A选项错误；B、不是中心对称图形，故B选项正确；C、是中心对称图形，故C选项错误；D、是中心对称图形，故D选项错误；故选：B．【点评】本题考查了中心对称图形的知识，解题的关键是掌握中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180°后重合．4．（3分）下列运算正确的是（ ）A．x•x4＝x5 B．x6÷x3＝x2 C．3x2﹣x2＝3 D．（2x2）3＝6x6【考点】35：合并同类项；46：同底数幂的乘法；47：幂的乘方与积的乘方；48：同底数幂的除法．【分析】结合各选项分别进行同底数幂的乘法、同底数幂的除法、合并同类项、幂的乘方等运算，然后选出正确选项即可．【解答】解：A、x•x4＝x5，原式计算正确，故本选项正确；B、x6÷x3＝x3，原式计算错误，故本选项错误；C、3x2﹣x2＝2x2，原式计算错误，故本选项错误；D、（2x2）3＝8x，原式计算错误，故本选项错误；故选：A．【点评】本题考查了同底数幂的除法、同底数幂的乘法、幂的乘方等运算，属于基础题，掌握各运算法则是解题的关键．5．（3分）化简的结果为（ ）A．﹣1 B．1 C． D．【考点】6B：分式的加减法．【分析】先把分式进行通分，把异分母分式化为同分母分式，再把分子相加，即可求出答案．【解答】解：＝﹣＝＝1；故选：B．【点评】此题考查了分式的加减，根据在分式的加减运算中，如果是同分母分式，那么分母不变，把分子直接相加减即可；如果是异分母分式，则必须先通分，把异分母分式化为同分母分式，然后再相加减即可．6．（3分）数据1，2，3，3，5，5，5的众数和中位数分别是（ ）A．5，4 B．3，5 C．5，5 D．5，3【考点】W4：中位数；W5：众数．【分析】根据众数的定义即众数是一组数据中出现次数最多的数和中位数的定义即中位数是将一组数据从小到大重新排列后，最中间的那个数即可求出答案．【解答】解：数据1，2，3，3，5，5，5中，5出现了3次，出现的次数最多，则众数是5；最中间的数是3，则中位数是3；故选：D．【点评】此题考查了众数和中位数，掌握众数和中位数的定义是解题的关键，众数是一组数据中出现次数最多的数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数）．7．（3分）在一年一度的“安仁春分药王节”市场上，小明的妈妈用280元买了甲、乙两种药材．甲种药材每斤20元，乙种药材每斤60元，且甲种药材比乙种药材多买了2斤．设买了甲种药材x斤，乙种药材y斤，你认为小明应该列出哪一个方程组求两种药材各买了多少斤？（ ）A． B． C． D．【考点】99：由实际问题抽象出二元一次方程组．【专题】16：压轴题．【分析】设买了甲种药材x斤，乙种药材y斤，根据甲种药材比乙种药材多买了2斤，两种药材共花费280元，可列出方程．【解答】解：设买了甲种药材x斤，乙种药材y斤，由题意得：．故选：A．【点评】本题考查了有实际问题抽象出二元一次方程组，难度一般，关键是读懂题意设出未知数找出等量关系．8．（3分）如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝25°，D是AB上一点．将Rt△ABC沿CD折叠，使B点落在AC边上的B′处，则∠ADB′等于（ ）A．25° B．30° C．35° D．40°【考点】PB：翻折变换（折叠问题）．【专题】16：压轴题．【分析】先根据三角形内角和定理求出∠B的度数，再由图形翻折变换的性质得出∠CB′D的度数，再由三角形外角的性质即可得出结论．【解答】解：∵在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝25°，∴∠B＝90°﹣25°＝65°，∵△CDB′由△CDB反折而成，∴∠CB′D＝∠B＝65°，∵∠CB′D是△AB′D的外角，∴∠ADB′＝∠CB′D﹣∠A＝65°﹣25°＝40°．故选：D．【点评】本题考查的是图形的翻折变换及三角形外角的性质，熟知图形反折不变性的性质是解答此题的关键．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）9．（3分）据统计，我国今年夏粮的播种面积大约为415000000亩，415000000用科学记数法表示为 4.15×108 ．【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：将415000000用科学记数法表示为4.15×108．故答案为4.15×108．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．10．（3分）已知a+b＝4，a﹣b＝3，则a2﹣b2＝ 12 ．【考点】4F：平方差公式．【专题】11：计算题．【分析】根据a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），然后代入求解．【解答】解：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝4×3＝12．故答案是：12．【点评】本题重点考查了用平方差公式．平方差公式为（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．本题是一道较简单的题目．11．（3分）已