2015年湖南省郴州市中考数学试卷（含解析版）

2015年湖南省郴州市中考数学试卷一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）1．（3分）2的相反数是（ ）A． B． C．﹣2 D．22．（3分）计算（﹣3）2的结果是（ ）A．﹣6 B．6 C．﹣9 D．93．（3分）下列计算正确的是（ ）A．x3+x＝x4 B．x2•x3＝x5 C．（x2）3＝x5 D．x9÷x3＝x34．（3分）下列四个几何体中，它们的主视图、左视图、俯视图都是正方形的是（ ）A．B．C．D．5．（3分）下列图案是轴对称图形的是（ ）A． B． C． D．6．（3分）某同学在一次期末测试中，七科的成绩分别是92，100，96，93，96，98，95，则这位同学成绩的中位数和众数分别是（ ）A．93，96 B．96，96 C．96，100 D．93，1007．（3分）如图为一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象，则下列正确的是（ ）A．k＞0，b＞0 B．k＞0，b＜0 C．k＜0，b＞0 D．k＜0，b＜08．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，将△ABD沿对角线BD对折，得到△EBD，DE与BC交于点F，∠ADB＝30°，则EF＝（ ）A． B．2 C．3 D．3二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）9．（3分）2015年5月在郴州举行的第三届中国（湖南）国际矿物宝石博览会中，成交额高达32亿元，3200000000用科学记数法表示为 ．10．（3分）已知圆锥的底面半径是1cm，母线长为3cm，则该圆锥的侧面积为 cm2．11．（3分）分解因式：2a2﹣2＝ ．12．（3分）函数y＝中，自变量x的取值范围是 ．13．（3分）如图，已知直线m∥n，∠1＝100°，则∠2的度数为 ．14．（3分）如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠CAB＝40°，则∠ABC的度数为 ．15．（3分）在m2□6m□9的“□”中任意填上“+”或“﹣”号，所得的代数式为完全平方式的概率为 ．16．（3分）请观察下列等式的规律：＝（1﹣），＝（﹣），＝（﹣），＝（﹣），…则+++…+＝ ．三、解答题（17-19每题6分，20-23每题8分，24-25每题10分，26题12分，共82分）17．（6分）计算：（）﹣1﹣20150+|﹣|﹣2sin60°．18．（6分）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．19．（6分）如图，已知点A（1，2）是正比例函数y1＝kx（k≠0）与反比例函数y2＝（m≠0）的一个交点．（1）求正比例函数及反比例函数的表达式；（2）根据图象直接回答：在第一象限内，当x取何值时，y1＜y2？20．（8分）郴州市某中学校团委开展“关爱残疾儿童”爱心捐书活动，全校师生踊跃捐赠各类书籍共3000本．为了解各类书籍的分布情况，从中随机抽取了部分书籍分四类进行统计：A．艺术类；B．文学类；C．科普类；D．其他，并将统计结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．（1）这次统计共抽取了 本书籍，扇形统计图中的m＝ ，∠α的度数是 ；（2）请将条形统计图补充完整；（3）估计全校师生共捐赠了多少本文学类书籍．21．（8分）自2014年12月启动“绿茵行动，青春聚力”郴州共青林植树活动以来，某单位筹集7000元购买了桂花树和樱花树共30棵，其中购买桂花树花费3000元．已知桂花树比樱花树的单价高50%，求樱花树的单价及棵树．22．（8分）如图，要测量A点到河岸BC的距离，在B点测得A点在B点的北偏东30°方向上，在C点测得A点在C点的北偏西45°方向上，又测得BC＝150m．求A点到河岸BC的距离．（结果保留整数）（参考数据：≈1.41，≈1.73）23．（8分）如图，AC是▱ABCD的一条对角线，过AC中点O的直线分别交AD，BC于点E，F．（1）求证：△AOE≌△COF；（2）当EF与AC满足什么条件时，四边形AFCE是菱形？并说明理由．24．（10分）阅读下面的材料：如果函数y＝f（x）满足：对于自变量x的取值范围内的任意x1，x2，（1）若x1＜x2，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是增函数；（2）若x1＜x2，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是减函数．例题：证明函数f（x）＝（x＞0）是减函数．证明：假设x1＜x2，且x1＞0，x2＞0f（x1）﹣f（x2）＝﹣＝＝∵x1＜x2，且x1＞0，x2＞0∴x2﹣x1＞0，x1x2＞0∴＞0，即f（x1）﹣f（x2）＞0∴f（x1）＞f（x2）∴函数f（x）＝（x＞0）是减函数．根据以上材料，解答下面的问题：（1）函数f（x）＝（x＞0），f（1）＝＝1，f（2）＝＝．计算：f（3）＝ ，f（4）＝ ，猜想f（x）＝（x＞0）是 函数（填“增”或“减”）；（2）请仿照材料中的例题证明你的猜想．25．（10分）如图，已知抛物线经过点A（4，0），B（0，4），C（6，6）．（1）求抛物线的表达式；（2）证明：四边形AOBC的两条对角线互相垂直；（3）在四边形AOBC的内部能否截出面积最大的▱DEFG？（顶点D，E，F，G分别在线段AO，OB，BC，CA上，且不与四边形AOBC的顶点重合）若能，求出▱DEFG的最大面积，并求出此时点D的坐标；若不能，请说明理由．26．（12分）如图，在四边形ABCD中，DC∥AB，DA⊥AB，AD＝4cm，DC＝5cm，AB＝8cm．如果点P由B点出发沿BC方向向点C匀速运动，同时点Q由A点出发沿AB方向向点B匀速运动，它们的速度均为1cm/s，当P点到达C点时，两点同时停止运动，连接PQ，设运动时间为ts，解答下列问题：（1）当t为何值时，P，Q两点同时停止运动？（2）设△PQB的面积为S，当t为何值时，S取得最大值，并求出最大值；（3）当△PQB为等腰三角形时，求t的值．2015年湖南省郴州市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）1．（3分）2的相反数是（ ）A． B． C．﹣2 D．2【考点】14：相反数．【分析】根据相反数的概念解答即可．【解答】解：2的相反数是﹣2，故选：C．【点评】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．2．（3分）计算（﹣3）2的结果是（ ）A．﹣6 B．6 C．﹣9 D．9【考点】1E：有理数的乘方．【分析】根据有理数的乘方运算，乘方的运算可以利用乘法的运算来进行．【解答】解：（﹣3）2＝（﹣3）×（﹣3）＝9．故选：D．【点评】本题考查有理数的乘方运算，乘方的运算可以利用乘法的运算来进行．负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数．3．（3分）下列计算正确的是（ ）A．x3+x＝x4 B．x2•x3＝x5 C．（x2）3＝x5 D．x9÷x3＝x3【考点】35：合并同类项；46：同底数幂的乘法；47：幂的乘方与积的乘方；48：同底数幂的除法．【分析】根据同底数幂的除法，底数不变指数相减；合并同类项，系数相加字母和字母的指数不变；同底数幂的乘法，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘，对各选项计算后利用排除法求解．【解答】解：A、x3•x＝x4，故错误；B、正确；C、（x2）3＝x6，故错误；D、x9÷x3＝x6，故错误；故选：B．【点评】本题考查同底数幂的除法，合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方很容易混淆，一定要记准法则才能做题．4．（3分）下列四个几何体中，它们的主视图、左视图、俯视图都是正方形的是（ ）A． B． C． D．【考点】U1：简单几何体的三视图．【分析】分别分析四个选项的主视图、左视图、俯视图，从而得出都是正方体的几何体．【解答】解：A、正方体的主视图、左视图、俯视图都正方形，符合题意；B、圆柱的主视图、左视图都是矩形、俯视图是圆，不符合题意；C、圆锥主视图、左视图都是等腰三角形，俯视图是圆和圆中间一点，不符合题意；D、球的主视图、左视图、俯视图都是圆，不符合题意．故选：A．【点评】本题考查了简单几何体的三视图、学生的思考能力，关键是掌握几何体三种视图的空间想象能力．5．（3分）下列图案是轴对称图形的是（ ）A． B． C． D．【考点】P3：轴对称图形．【分析】根据轴对称图形的概念对个图形分析判断即可得解．【解答】解：A、是轴对称图形，B、不是轴对称图形，C、不是轴对称图形，D、不是轴对称图形，故选：A．【点评】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．6．（3分）某同学在一次期末测试中，七科的成绩分别是92，100，96，93，96，98，95，则这位同学成绩的中位数和众数分别是（ ）A．93，96 B．96，96 C．96，100 D．93，100【考点】W4：中位数；W5：众数．【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．【解答】解：把数据从小到大排列：92，93，95，96，96，98，100，位置处于中间的数是：96，故中位数是96；次数最多的数是96，故众数是96，故选：B．【点评】此题主要考查了中位数和众数．一些学生往往对概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．7．（3分）如图为一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象，则下列正确的是（ ）A．k＞0，b＞0 B．k＞0，b＜0 C．k＜0，b＞0 D．k＜0，b＜0【考点】F7：一次函数图象与系数的关系．【专题】31：数形结合．【分析】根据一次函数经过的象限可得k和b的取值．【解答】解：∵一次函数经过二、四象限，∴k＜0，∵一次函数与y轴的交于正半轴，∴b＞0．故选：C．【点评】考查一次函数的图象与系数的关系的知识；用到的知识点为：一次函数经过一三象限或二四象限，k＞0或＜0；与y轴交于正半轴，b＞0，交于负半轴，b＜0．8．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，将△ABD沿对角线BD对折，得到△EBD，DE与BC交于点F，∠ADB＝30°，则EF＝（ ）A． B．2 C．3 D．3【考点】PB：翻折变换（折叠问题）．【专题】16：压轴题．【分析】利用翻折变换的性质得出：∠1＝∠2＝30°，进而结合锐角三角函数关系求出FE的长．【解答】解：如图所示：由题意可得：∠1＝∠2＝30°，则∠3＝30°，可得∠4＝∠5＝60°，∵AB＝DC＝BE＝3，∴tan60°＝＝＝，解得：EF＝．故选：A．【点评】此题主要考查了翻折变换的性质以及锐角三角函数关系，得出∠4＝∠5＝60°是解题关键．二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）9．（3分）2015年5月在郴州举行的第三届中国（湖南）国际矿物宝石博览会中，成交额高达32亿元，3200000000用科学记数法表示为 3.2×109 ．【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．【分析】用科学记数法表示，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：3200000000＝3.2×109，故答案为：3.2×109【点评】此题主要考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．10．（3分）已知圆锥的底面半径是1cm，母线长为3cm，则该圆锥的侧面积为 3π cm2．【考点】MP：圆锥的计算．【分析】圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2，把相应数值代入即可求解．【解答】解：圆锥的侧面积＝2π×3×1÷2＝3π．故答案为：3π．【点评】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是弄清