辽宁省丹东市2021年中考数学试题（解析版）

辽宁省丹东市2021中考数学试卷一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个是正确的，每小题3分，共24分）1.的相反数是（）A.5 B. C. D.0.5【答案】A【解析】【分析】由相反数的定义可得答案．【详解】A：-5的相反数是5，正确，B：-5的相反数是5，错误，C：-5的相反数是5，错误，D：-5的相反数是5，错误．故选：A．【点睛】本题考查的是相反数的定义，掌握相反数的定义是解题的关键．2.下列运算正确的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据同底数幂相乘､积的乘方､完全平方公式及平方差公式的知识,分别进行各选项的判断,继而可得出答案．【详解】A．,故A选项错误,B．,故B选项错误,C．,故C选项错误,D．，故D选项正确．故选D．【点睛】此题考查了同底数幂相乘､积的乘方､平方差公式､完全平方公式,解答本题的关键是熟练掌握幂的运算､平方差公式､完全平方公式的运算法则．3.如图是由几个完全相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据从上面向下看得到的图形是俯视图，可得答案．【详解】从上面向下看是两列，每列有1个小正方形，如图所示：故选：B．【点睛】本题考查了简单小立方体堆砌立体图形的三视图，解题时注意从上面向下看，得到的图形是俯视图．4.若一组数据1，3，4，6，m的平均数为4，则这组数据的中位数和众数分别是（）A.4，6 B.4，4 C.3，6 D.3，4【答案】A【解析】【分析】根据平均数的定义求出m的值，故可得到这组数据的中位数和众数．【详解】解：依题意可得1+3+4+6+m=5×4，解得m=6，故数据为1，3，4，6，6，中位数和众数分别为4、6；故选A．【点睛】此题主要考查统计调查的应用，解题的关键是熟知中位数和众数的定义．5.若实数k、b是一元二次方程的两个根，且，则一次函数的图象不经过（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】【分析】根据一元二次方程的解法求出k、b的值，由一次函数的图像即可求得．【详解】∵实数k、b是一元二次方程的两个根，且，∴,∴一次函数表达式为，有图像可知，一次函数不经过第三象限．故选：C．【点睛】此题考查了一元二次方程的解法，一次函数图像，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的解法和一次函数图像．6.如图，在矩形中，连接，将沿对角线折叠得到交于点O，恰好平分，若，则点O到的距离为（）A B.2 C. D.3【答案】B【解析】【分析】如图，过点O作OF⊥BD于F，可得OF为点O到的距离，根据矩形的性质可得∠A=∠ABC=90°，根据折叠性质可得∠EBD=∠CBD，根据角平分线的定义可得∠ABO=∠EBD，即可得出∠ABO=30°，根据角平分线的性质可得OA=OF，利用∠ABO的正切值求出OA的值即可得答案．【详解】如图，过点O作OF⊥BD于F，∴OF为点O到的距离，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠ABC=90°，∵将沿对角线折叠得到△BDE，∴∠EBD=∠CBD，∵恰好平分，∴∠ABO=∠EBD，OA=OF，∴∠EBD=∠CBD=∠ABO，∴∠ABO=30°，∵，∴OF=OA=AB·tan30°=2，故选：B．【点睛】本题考查矩形性质、折叠性质、角平分线的性质及解直角三角形，熟练掌握相关性质，熟记特殊角的三角函数值是解题关键．7.如图，点A在曲线到上，点B在双曲线上，轴，点C是x轴上一点，连接、，若的面积是6，则k的值（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据轴可以得到，转换成反比例函数面积问题即可解题．【详解】连接OA、OB，设AB与y轴交点为M，∵轴∴AB⊥y轴，∴，∵∴解得∵点B在双曲线上，且B在第二象限∴∴故选C【点睛】本题考查反比例函数问题，熟记反比例函数面积与k的关系是解题的关键．8.已知抛物线，且．判断下列结论：①；②；③抛物线与x轴正半轴必有一个交点；④当时，；⑤该抛物线与直线有两个交点，其中正确结论的个数（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】D【解析】【分析】由题意易得，则有，进而可判定①②，当x=1时，则，当x=-1时，则有，然后可判定③，由题意可知抛物线的对称轴为直线，则有当时，y随x的增大而增大，故可得④；联立抛物线及直线解析式即可判断⑤．【详解】解：∵，∴两式相减得，两式相加得，∴，∵，∴，故①正确；∴，故②正确；∵当x=1时，则，当x=-1时，则有，∴当时，则方程的两个根一个小于-1，一个根大于1，∴抛物线与x轴正半轴必有一个交点，故③正确；由题意可知抛物线的对称轴为直线，∴当时，y随x的增大而增大，∴当时，有最小值，即为，故④正确；联立抛物线及直线可得：，整理得：，∴，∴该抛物线与直线有两个交点，故⑤正确；∴正确的个数有5个；故选D．【点睛】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．第二部分主观题二、填空题（每小题3分，共24分）9.按照现行贫困标准计算，中国770000000村贫困人口摆脱贫困，将数据770000000用科学记数法表示为_________．【答案】【解析】【分析】根据科学记数法的形式，其中，n为整数，直接表示即可．【详解】数字770000000用科学记数法表示为故答案为：【点睛】本题主要考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为，其中，n为整数，确定a的值以及n的值是解题的关键．10.在函数中，自变量x的取值范围_________．【答案】【解析】【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．【详解】根据题意得：，解得∴自变量x的取值范围是．故答案为：．【点睛】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．11.分解因式：＝________．【答案】【解析】【分析】【详解】解：.故答案为：12.关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是________．【答案】且．【解析】【分析】根据根的判别式及一元二次方程的定义解题即可.【详解】∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，，解得．又∵该方程为一元二次方程，，且．故答案为：且．【点睛】本题主要考查根的判别式及一元二次方程的定义，属于基础题，掌握根的判别式及一元二次方程的定义是解题的关键．13.不等式组无解，则m的取值范围_________．【答案】【解析】【分析】先求出每个不等式的解集，再根据已知得出关于m的不等式，求出不等式的解集即可．【详解】解：解不等式①得：由②式知：∵不等式组无解∴故答案为：【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，能够根据不等式的解集和已知得出关于m的不等式是解题的关键．14.如图，在中，的垂直平分线交于点D，交于点，点F是的中点，连接、，若，则的周长为_________．【答案】8【解析】【分析】根据垂直平分线的性质求得∠BEA的度数，然后根据勾股定理求出EC长度，即可求出的周长．【详解】解：∵DE是AB的垂直平分线，∴，BE=AE，∴，∵∴∴又∵AC=5，∴在中，，解得：CE=3，又∵点F是的中点，∴，∴的周长=CF+CE+FE=．故答案为：8．【点睛】此题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，解题的关键是熟练掌握勾股定理，等腰直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质．15.如图，在矩形中，连接，过点C作平分线的垂线，垂足为点E，且交于点F；过点C作平分线的垂线，垂足为点H，且交于点G，连接，若，，则线段的长度为_________．【答案】【解析】【分析】先证明，可得CE=FE，BF=，同理：CH=GH，DG=，从而得HE=，再利用勾股定理得BD=，进而即可求解．【详解】解：∵BE平分∠DBC，∴∠CBE=∠FBE，∵CF⊥BE，∴∠BEC=∠BEF=90°，又∵BE=BE，∴，∴CE=FE，BF=同理：CH=GH，DG=，∴HE是的中位线，∴HE=，∵在矩形中，，，∴BD=，∴GF=BF+DG-BD=，∴=．【点睛】本题主要考查矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，中位线的性质，推出HE是的中位线，是解题的关键．16.已知：到三角形3个顶点距离之和最小的点称为该三角形的费马点．如果是锐角（或直角）三角形，则其费马点P是三角形内一点，且满足．（例如：等边三角形的费马点是其三条高的交点）．若，P为的费马点，则_________；若，P为的费马点，则_________．【答案】①.5②.【解析】【分析】①作出图形，过分别作,勾股定理解直角三角形即可②作出图形，将绕点逆时针旋转60，P为的费马点则四点共线，即，再用勾股定理求得即可【详解】①如图,过作，垂足为,过分别作,则,P为的费马点5②如图：.将绕点逆时针旋转60由旋转可得：是等边三角形，P为的费马点即四点共线时候，=故答案为：①5，②【点睛】本题考查了勾股定理，旋转的性质，锐角三角函数，等腰三角形性质，作出旋转的图形是解题的关键．本题旋转也可，但必须绕顶点旋转．三、（每小题8分，共16分）17.先化简，再求代数式的值：，其中．【答案】；【解析】【分析】先通分，然后进行分式的加减运算，化简整理，最后代入求值即可．【详解】原式∵∴将代入原式【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，熟练运用分式运算法则化简是解题的关键，注意代入计算要仔细，属于常考题型．18.如图，在中，点O是中点，连接并延长交的延长线于点E，连接、．（1）求证：四边形是平行四边形；（2）若，判断四边形的形状，并说明理由．【答案】（1）证明见详解；（2）四边形ACDE是菱形，理由见详解．【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质，即可判定，即可得到，再根据CD∥AE，即可证得四边形ACDE是平行四边形；（2）利用（1）的结论和平行四边形的性质可得AC=CD，由此即可判定是菱形．【详解】（1）证明：在ABCD中，AB∥CD，∴，∵点O为AD的中点，∴，在与中，∵，，，∴，∴，又∵BE∥CD，∴四边形ACDE是平行四边形；（2）解：由（1）知四边形ACDE是平行四边形，，∵，∴，∴四边形ACDE是菱形．【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定、三角形全等、菱形的判定等，熟练掌握判定定理并融会贯通是解题的关键．四、（每小题10分，共20分）19.某中学为了增强学生体质，计划开设A：跳绳，B：毽球，C：篮球，D：足球四种体育活动，为了解学生对这四种体育活动的喜欢情况，对部分学生进行抽样调查（每人只能选择一种体育活动），并绘制成如图所示的两幅不完全的统计图，根据图中所给信息解答下列问题：（1）求这次抽样调查的学生有多少人？（2）求出B所在扇形圆心角的度数，并将条形统计图补充完整；（3）若该校有800名学生，请根据抽样调查结果估计喜欢B的人数．【答案】（1）120人；（2）126°，补全条形统计图见解析；（3）280人【解析】【分析】（1）根据A的人数和所占的百分数求解即可；（2）根据B占圆周角的的百分数求解即可；求出C的人数即可补全条形统计图；（3）由该校人数乘以B所占的百分数即可求解．【详解】解：（1）由统计图可知，36÷30%=120（人），答：这次抽样调查的学生有120人；（2）360°×=126°，120×20%=24（人），答：B所在扇形圆心角的度数为126°，补全条形统计图如图所示：（3）800×=280（人），答：估计喜欢B的人数为280人．【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体等知识，能从统计图中获取有效信息是解答的关键．20.一个不透明的袋子中装有4个只有颜色不同的小球，其中2个红球，2个白球，摇匀后从中一次性摸出两个小球．（1）请用列表格或画树状图的方法列出所有可能性；（2）若摸到两个小球的颜色相同，甲获胜；摸到两个小球颜色不同，乙获胜．这个游戏对甲、乙双方公平吗？请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）这个游戏对甲、乙双方不公