黑龙江省龙东地区2021年中考数学真题（解析版）

黑龙江省龙东地区2021年初中毕业学业统一考试数学试题考生注意：1.考试时间120分钟2.全卷共三道大题，总分120分一、选择题（每题3分，满分30分）1.下列运算中，计算正确的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据积的乘方、完全平方公式及二次根式的除法可直接进行排除选项．【详解】解：A、与不是同类项，所以不能合并，错误，故不符合题意；B、，错误，故不符合题意；C、，错误，故不符合题意；D、，正确，故符合题意；故选D．【点睛】本题主要考查积的乘方、完全平方公式及二次根式的除法，熟练掌握积的乘方、完全平方公式及二次根式的除法是解题的关键．2.下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据轴对称图形及中心对称图形的概念可直接进行排除选项．【详解】解：A、是轴对称图形但不是中心对称图形，故不符合题意；B、是轴对称图形但不是中心对称图形，故不符合题意；C、既是轴对称图形不是中心对称图形，故不符合题意；D、是轴对称图形也是中心对称图形，故符合题意；故选．【点睛】本题主要考查轴对称图形及中心对称图形，熟练掌握轴对称图形及中心对称图形的概念是解题的关键．3.如图是由5个小正方体组合成的几何体，则该几何体的主视图是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据几何体的三视图可直接进行排除选项．【详解】解：由题意得：该几何体的主视图是；故选C．【点睛】本题主要考查三视图，熟练掌握几何体的三视图是解题的关键．4.一组数据：2，4，4，4，6，若去掉一个数据4，则下列统计量中发生变化的是（）A.众数 B.中位数 C.平均数 D.方差【答案】D【解析】【分析】根据众数、中位数、平均数及方差可直接进行排除选项．【详解】解：由题意得：原中位数为4，原众数为4，原平均数为，原方差为；去掉一个数据4后的中位数为，众数为4，平均数为，方差为；∴统计量发生变化的是方差；故选D．【点睛】本题主要考查平均数、众数、众数及方差，熟练掌握求一组数据的平均数、众数及方差是解题的关键．5.有一个人患了流行性感冒，经过两轮传染后共有144人患了流行性感冒，则每轮传染中平均一个人传染的人数是（）A.14 B.11 C.10 D.9【答案】B【解析】【分析】设每轮传染中平均一个人传染了x个人，由题意可得，然后求解即可．【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，由题意可得：，解得：（舍去），故选B．【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键．6.已知关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围是（）A. B.且 C. D.且【答案】B【解析】【分析】根据题意先求出分式方程的解，然后根据方程的解为非负数可进行求解．【详解】解：由关于的分式方程可得：，且，∵方程的解为非负数，∴，且，解得：且，故选B．【点睛】本题主要考查分式方程的解法及一元一次不等式的解法，熟练掌握分式方程的解法及一元一次不等式的解法是解题的关键．7.为迎接2022年北京冬奥会，某校开展了以迎冬奥为主题的演讲活动，计划拿出180元钱全部用于购买甲、乙两种奖品（两种奖品都购买），奖励表现突出的学生，已知甲种奖品每件15元，乙种奖品每件10元，则购买方案有（）A.5种 B.6种 C.7种 D.8种【答案】A【解析】【分析】设购买甲种奖品为x件，乙种奖品为y件，由题意可得，进而求解即可．【详解】解：设购买甲种奖品为x件，乙种奖品为y件，由题意可得：，∴，∵，且x、y都为正整数，∴当时，则；当时，则；当时，则；当时，则；当时，则；∴购买方案有5种；故选A．【点睛】本题主要考查二元一次方程的应用，正确理解题意、掌握求解的方法是解题的关键．8.如图，在平面直角坐标系中，菱形的边轴，垂足为，顶点在第二象限，顶点在轴正半轴上，反比例函数的图象同时经过顶点．若点的横坐标为5，，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意易得，则设DE=x，BE=2x，然后可由勾股定理得，求解x，进而可得点，则，最后根据反比例函数的性质可求解．【详解】解：∵四边形是菱形，∴，∵轴，∴，∴，∵点的横坐标为5，∴点，，∵，∴设DE=x，BE=2x，则，∴在Rt△AEB中，由勾股定理得：，解得：（舍去），∴，∴点，∴，解得：；故选A．【点睛】本题主要考查菱形的性质及反比例函数与几何的综合，熟练掌握菱形的性质及反比例函数与几何的综合是解题的关键．9.如图，平行四边形的对角线、相交于点E，点O为的中点，连接并延长，交的延长线于点D，交于点G，连接、，若平行四边形的面积为48，则的面积为（）A.5.5 B.5 C.4 D.3【答案】C【解析】【分析】由题意易得，进而可得，则有，然后根据相似比与面积比的关系可求解．【详解】解：∵四边形是平行四边形，∴，AE=EF，，∵平行四边形的面积为48，∴，∵点为中点，∴，∴，，∴，，∴，∴，∵和同高不同底，∴，故选C．【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定、平行四边形的性质及三角形中位线，熟练掌握相似三角形的性质与判定、平行四边形的性质及三角形中位线是解题的关键．10.如图，在正方形中，对角线与相交于点，点在的延长线上，连接，点是的中点，连接交于点，连接，若，．则下列结论：①；②；③；④；⑤点D到CF的距离为．其中正确的结论是（）A.①②③④ B.①③④⑤ C.①②③⑤ D.①②④⑤【答案】C【解析】【分析】由题意易得，①由三角形中位线可进行判断；②由△DOC是等腰直角三角形可进行判断；③根据三角函数可进行求解；④根据题意可直接进行求解；⑤过点D作DH⊥CF，交CF的延长线于点H，然后根据三角函数可进行求解．【详解】解：∵四边形是正方形，∴，，∵点是的中点，∴，∵，，∴，则，∵OF∥BE，∴△DGF∽△DCE，∴，∴，故①正确；∴点G是CD的中点，∴OG⊥CD，∵∠ODC=45°，∴△DOC是等腰直角三角形，∴，故②正确；∵CE=4，CD=8，∠DCE=90°，∴，故③正确；∵，∴，∴，故④错误；过点D作DH⊥CF，交CF的延长线于点H，如图所示：∵点F是CD的中点，∴CF=DF，∴∠CDE=∠DCF，∴，设，则，在Rt△DHC中，，解得：，∴，故⑤正确；∴正确的结论是①②③⑤；故选C．【点睛】本题主要考查正方形的性质、相似三角形的性质与判定及三角函数，熟练掌握正方形的性质、相似三角形的性质与判定及三角函数是解题的关键．二、填空题（每题3分，满分30分）11.截止到2020年7月底，中国铁路营业里程达到万公里，位居世界第二．将数据万用科学记数法表示为_______．【答案】【解析】【分析】由题意易得万=141400，然后根据科学记数法可进行求解．【详解】解：由题意得：万=141400，∴将数据万用科学记数法表示为；故答案为．【点睛】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键．12.函数中，自变量x的取值范围是____．【答案】．【解析】【详解】试题分析：由已知：x-2≠0，解得x≠2；考点：自变量的取值范围．13.如图，在平行四边形中，对角线、相交于点O，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件______________，使平行四边形是矩形．．【答案】【解析】【分析】根据矩形的判定方法即可得出答案．【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴当时，四边形ABCD为矩形．故答案为：．【点睛】本题考查了矩形的判定，熟记矩形的判定方法是解题的关键．14.一个不透明的口袋中装有标号为1、2、3的三个小球，这些小球除标号外完全相同，随机摸出1个小球，然后把小球重新放回口袋并摇匀，再随机摸出1个小球，那么两次摸出小球上的数字之和是偶数的概率是___________．【答案】【解析】【分析】画树状图，共有9种等可能的结果，两次摸出小球上的数字之和是奇数的结果有5种，再由概率公式求解即可．【详解】解：画树状图如图：共有9种等可能的结果，两次摸出小球上的数字之和是奇数的结果有5种，∴两次摸出小球上的数字之和是偶数的概率为，故答案为：．【点睛】此题考查的是列表法或树状图法求概率以及概率公式．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．15.关于的一元一次不等式组有解，则的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】先求出一元一次不等式组的解集，然后再根据题意列出含参数的不等式即可求解．【详解】解：由关于的一元一次不等式组可得：，∵不等式组有解，∴，解得：；故答案为．【点睛】本题主要考查一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键．16.如图，在中，是直径，弦的长为5cm，点在圆上，且，则的半径为_____．【答案】5cm【解析】【分析】连接BC，由题意易得，进而问题可求解．【详解】解：连接BC，如图所示：∵，∴，∵是直径，∴，∵，∴，∴的半径为5cm；故答案为5cm．【点睛】本题主要考查圆周角定理及含30°直角三角形的性质，熟练掌握圆周角定理及含30°直角三角形的性质是解题的关键．17.若一个圆锥的底面半径为1cm，它的侧面展开图的圆心角为，则这个圆锥的母线长为____cm．【答案】4【解析】【分析】根据圆锥侧面展开图可知圆锥底面圆的周长即为侧面展开图的弧长，然后由题意可进行求解．【详解】解：设母线长为R，由题意得：，∴，解得：，∴这个圆锥的母线长为4cm，故答案为4．【点睛】本题主要考查圆锥侧面展开图及弧长计算，熟练掌握圆锥侧面展开图及弧长计算是解题的关键．18.如图，在中，，，，以点为圆心，3为半径的，与交于点，过点作交于点，点是边上的点，则的最小值为_____．【答案】【解析】【分析】延长CO，交于一点E，连接PE，由题意易得，，则有，CP=PE，然后可得，，要使的值为最小，即的值为最小，进而可得当D、P、E三点共线时最小，最后求解即可．【详解】解：延长CO，交于一点E，连接PE，如图所示：∵，以点为圆心，3为半径的，∴，∵，，∴，∴，CP=PE，∴，∴，∵，∴，∵CP=PE，∴，则要使的值为最小，即的值为最小，∴当D、P、E三点共线时最小，即，如图所示：∴在Rt△DCE中，，∴最小值为；故答案为．【点睛】本题主要考查线段垂直平分线的性质、勾股定理、圆的基本性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握线段垂直平分线的性质、勾股定理、圆的基本性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键．19.在矩形中，2cm，将矩形沿某直线折叠，使点与点重合，折痕与直线交于点，且3cm，则矩形的面积为______cm2．【答案】或【解析】【分析】根据题意可分当折痕与直线AD的交点落在线段AD上和AD外，然后根据折叠的性质及勾股定理可求解．【详解】解：∵四边形是矩形，∴，①当点E在线段AD上时，如图所示：由折叠的性质可得，∵3cm，∴在中，，∴，∴；②当点E在线段AD外时，如图所示：由轴对称的性质可得，∴在Rt△EAB中，，∴，∴；综上所述：矩形ABCD面积为或；故答案为或．【点睛】本题主要考查折叠的性质、勾股定理及矩形的性质，熟练掌握折叠的性质、勾股定理及矩形的性质是解题的关键．20.如图，菱形中，，，延长至，使，以为一边，在的延长线上作菱形，连接，得到；再延长至，使，以为一边，在的延长线上作菱形，连接，得到……按此规律，得到，记的面积为，的面积为……的面积为，则_____．【答案】【解析】【分析】由题意易得，则有为等边三角形，同理可得…….都为等边三角形，进而根据等边三角形的面积公式可得，，……由此规律可得，然后问题可求解．【详解】解：∵四边形是菱形，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∴为等边三角形，同理可得…….都为等边三角形，过点B作BE⊥CD于点E，如图所示：∴，∴，同理可得：，，……；∴由此规律可得：，∴；故答案为．【点睛】本题主要考查菱形的性质、等边三角形的性质与判定及三角函数，熟练掌握菱形的性质、等边三角形的性质与判定及三角函数是解题的关键．三、解答题（满分60分）2