高中数学通用两周搞定圆锥曲线题型透析第一讲 直线的方程（教师版）

第一节直线的方程知识框架知识点归纳1.直线的倾斜角(1)定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到直线重合时，所转过的最小正角α也能刻画直线的倾斜程度，我们把这个角α称为这条直线的倾斜角.(2)范围：直线的倾斜角α的取值范围是{α|0≤α<π}.2.直线的斜率(1)我们把一条直线的倾斜角α的正切值叫作这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan__αeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠\f(π,2))).(2)过两点的直线的斜率公式经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率k＝eq\f(y2－y1,x2－x1).3.直线方程的五种形式名称几何条件方程适用条件斜截式纵截距、斜率y＝kx＋b与x轴不垂直的直线点斜式过一点、斜率y－y0＝k(x－x0)两点式过两点eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)与两坐标轴均不垂直的直线截距式纵、横截距eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线一般式Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)所有直线[常用结论]1.直线的倾斜角α和斜率k之间的对应关系：α00<α<eq\f(π,2)eq\f(π,2)eq\f(π,2)<α<πk0k>0不存在k<02.截距和距离的不同之处“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可是零，而“距离”是一个非负数.3.直线的方向向量设A(x1，y1)，B(x2，y2)(其中x1≠x2)是直线l上的两点，则向量eq\o(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)以及与它平行的向量都是直线的方向向量.若直线l的斜率为k，它的一个方向向量的坐标为(x，y)，则k＝eq\f(y,x).4.直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的一个法向量ν＝(A，B)，一个方向向量a＝(－B，A).题型归类题型一直线的倾斜角与斜率例1直线l过点P(1，0)，且与以A(2，1)，B(0，eq\r(3))为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为________________.答案 (－∞，－eq\r(3)]∪[1，＋∞)解析 设PA与PB的倾斜角分别为α，β，直线PA的斜率是kAP＝1，直线PB的斜率是kBP＝－eq\r(3)，当直线l由PA变化到与y轴平行的位置PC时，它的倾斜角由α增至90°，斜率的取值范围为[1，＋∞).当直线l由PC变化到PB的位置时，它的倾斜角由90°增至β，斜率的变化范围是(－∞，－eq\r(3)].故斜率的取值范围是(－∞，－eq\r(3)]∪[1，＋∞).感悟提升 (1)斜率的两种求法：定义法、斜率公式法.(2)倾斜角和斜率范围求法：①图形观察(数形结合)；②充分利用函数k＝tanα的单调性.题型二求直线的方程例2已知△ABC的三个顶点坐标为A(1，2)，B(3，6)，C(5，2)，M为AB的中点，N为AC的中点，则中位线MN所在直线的方程为________.答案 2x＋y－8＝0解析 由题知M(2，4)，N(3，2)，故中位线MN所在直线的方程为eq\f(y－4,2－4)＝eq\f(x－2,3－2)，整理得2x＋y－8＝0.感悟提升 (1)在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件.(2)对于点斜式、截距式方程，要注意分类讨论思想的运用(若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应判断截距是否为零).题型三直线方程的综合应用例3已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R).(1)证明：直线l过定点；(2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围；(3)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程.(1)证明 直线l的方程可化为k(x＋2)＋(1－y)＝0，令eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋2＝0，,1－y＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y＝1.))∴无论k取何值，直线总经过定点(－2，1).(2)解 由方程知，当k≠0时，直线在x轴上的截距为－eq\f(1＋2k,k)，在y轴上的截距为1＋2k，要使直线不经过第四象限，则必须有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(1＋2k,k)≤－2，,1＋2k≥1，))解得k>0；当k＝0时，直线为y＝1，符合题意，故k的取值范围是[0，＋∞).(3)解 由题意可知k≠0，再由l的方程，得Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1＋2k,k)，0))，B(0，1＋2k).依题意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(1＋2k,k)<0，,1＋2k>0，))解得k>0.∵S＝eq\f(1,2)·|OA|·|OB|＝eq\f(1,2)·eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1＋2k,k)))·|1＋2k|＝eq\f(1,2)·eq\f(（1＋2k）2,k)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4k＋\f(1,k)＋4))≥eq\f(1,2)×(2×2＋4)＝4，等号成立的条件是k>0，且4k＝eq\f(1,k)，即k＝eq\f(1,2)，∴Smin＝4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0.感悟提升 (1)求解与直线方程有关的最值问题：先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值；(2)求直线方程：弄清确定直线的两个条件，由直线方程的几种特殊形式直接写出方程；(3)求参数值或范围：注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解.课后检测一、单选题1．经过两点的直线的倾斜角为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根据两点的斜率公式求出斜率,结合斜率与倾斜角的关系可得倾斜角.【详解】因为,所以过两点的直线斜率为,所以倾斜角为.故选：A.2．直线l经过两条直线3x+4y﹣5＝0和3x﹣4y﹣13＝0的交点，且与直线x+2y+1＝0垂直，则l的方程是（ ）A．2x+y﹣7＝0 B．2x﹣y﹣7＝0C．2x+y+7＝0 D．2x﹣y+7＝0【答案】B【分析】联立方程可得l过的定点，由垂直可得直线的斜率，由点斜式可写直线的方程，化为一般式即可．【详解】联立方程，解得x＝3，y＝﹣1，故所求直线l过点（3，﹣1），由直线x+2y+1＝0的斜率为，可知l的斜率为2，由点斜式方程可得：y+1＝2（x﹣3），即2x﹣y﹣7＝0，故选：B3．已知，则“直线与平行”是“”的（    ）条件A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分又不必要【答案】A【分析】根据直线的平行，斜率相等，截距不等即可解决.【详解】若直线与平行，则，即，当，时，两直线方程为，，此时两直线重合，故“直线与平行”是“”的充分不必要条件，故选：A．【点睛】本题考查充分必要条件，考查直线的位置关系，是基础题.4．已知直线与圆交于两点，是坐标原点，且，则实数的值为（ ）A． B．或 C．或 D．或【答案】C【分析】根据向量关系可得，由此可得圆心到直线距离为，建立方程求得结果.【详解】由可得：又为圆的圆心，则则到直线的距离为：即    本题正确选项：【点睛】本题考查直线与圆的相关问题，关键是能够利用向量的关系得到向量垂直的关系，从而能将问题转化为点到直线的距离问题.5．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心､重心､垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线称之为三角形的欧拉线.已知的顶点，，若其欧拉线方程为，则顶点的坐标是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】设的坐标，由重心坐标公式求重心，代入欧拉线得方程，求出的垂直平分线，联立欧拉线方程得三角形外心，外心到三角形两顶点距离相等可得另一方程，两方程联立求得点的坐标.【详解】设，因为，，由重心坐标公式得重心为，代入欧拉线方程得：①的中点为，，所以的中垂线方程为，  联立，解得所以的外心为，则，化简得：②联立①②得：或，当时，、重合，舍去，所以顶点的坐标是故选：A.【点睛】本题主要考查了直线方程的各种形式，重心坐标公式，属于中档题.6．已知圆，过的直线与圆交于两点，若，则直线的斜率为（    ）A． B． C．或 D．或【答案】C【解析】根据得圆心到直线的距离，再根据点到直线距离公式求直线的斜率.【详解】因为，所以圆心到直线的距离为，因为圆心到距离等于，所以直线的斜率必存在，设为，则直线，因此或故选：C【点睛】本题考查直线与圆位置关系，考查基本分析求解能力，属基础题.二、多选题7．已知直线，，当满足一定的条件时，它们的图形可以是（    ）A． B．C． D．【答案】AC【解析】首先将直线的一般式方程化为斜截式，根据斜率和截距之间的关系即可判断．【详解】解：直线可化为的斜率为，在轴上的截距为．直线可化为，斜率为，在轴上的截距为．当时，直线与平行，故正确．选项中，由直线在轴上的截距可得，．而由直线的斜率为，可得，故不正确．在选项中，由直线的斜率为，而直线在轴上的截距．直线在轴上的截距为，直线的斜率为，故正确．选项中，两直线斜率，．再由直线在轴上的截距，故不正确．故选：．8．已知直线：，动直线：，则下列结论正确的是（    ）A．存在，使得的倾斜角为 B．对任意的，与都有公共点C．对任意的，与都不重合 D．对任意的，与都不垂直【答案】ABD【分析】当时可判断A；直线与均过点可判断B；当时可判断C，由两直线垂直斜率乘积等于可判断D，进而可得正确选项.【详解】对于A：当时，直线：，此时直线的倾斜角为，故选项A正确；对于B，直线与均过点，所以对任意的，与都有公共点，故选项B正确；对于C，当时，直线为，即与重合，故选项C错误；对于D，直线的斜率为，若的斜率存在，则斜率为，所以与不可能垂直，所以对任意的，与都不垂直，故选项D不正确；故选：ABD.三、填空题9．经过点，且与直线平行的直线方程是__________.【答案】【解析】设直线方程为，代入求得，从而得到结果.【详解】设与直线平行的直线方程为，代入得：    ，故答案为：.10．关于直线：，：，若，则__________.【答案】【分析】根据两直线垂直系数关系列式解决即可求解.【详解】若，则，解得.故答案为：.11．当m变化时，平行线和间的距离的最小值等于______.【答案】【分析】直接利用平行直线的距离公式得到答案.【详解】平行线和间的距离.当时有最小值故答案为【点睛】本题考查了平行直线间的距离，意在考查学生的计算能力.12．设，则过线段的中点，且与垂直的直线方程为__________.【答案】【分析】求出线段的中点坐标和斜率，利用点斜式写出直线方程.【详解】因为，所以线段的中点，且.所以与垂直的直线的斜率为，所以过线段的中点，与垂直的直线方程为，即.故答案为：四、解答题13．已知直线与垂直．(1)求;(2)求直线与直线之间的距离．【答案】(1)1或3(2)时,距离为;时,距离为．【分析】(1)若两直线垂直,则,代入即可求得;(2)根据(1)中结果,分或两种情况分别带入平行直线的距离公式求出即可.【详解】（1）解:由题知与垂直,故有,解得或;（2）由(1)知或,当时,,则两直线的距离为:,当时,,则两直线的距离为:,综上:时,距离为;时,距离为．14．已知集合，，若．求的值．【答案】或或.【分析】对集合分类讨论，当时显然成立，当时，根据集合表示直线上的点，利用直线的位置关系求解即可.【详解】当，即时，，显然