高中数学通用两周搞定圆锥曲线题型透析第一讲 直线的方程（原卷版）

第一节直线的方程知识框架知识点归纳1.直线的倾斜角(1)定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到直线重合时，所转过的最小正角α也能刻画直线的倾斜程度，我们把这个角α称为这条直线的倾斜角.(2)范围：直线的倾斜角α的取值范围是.2.直线的斜率(1)我们把一条直线的倾斜角α的正切值叫作这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝.(2)过两点的直线的斜率公式经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率k＝.3.直线方程的五种形式名称几何条件方程适用条件斜截式纵截距、斜率与x轴不垂直的直线点斜式过一点、斜率两点式过两点与两坐标轴均不垂直的直线截距式纵、横截距不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线一般式所有直线[常用结论]1.直线的倾斜角α和斜率k之间的对应关系：α00<α<eq\f(π,2)eq\f(π,2)eq\f(π,2)<α<πk0k>0不存在k<02.截距和距离的不同之处“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可是零，而“距离”是一个非负数.3.直线的方向向量设A(x1，y1)，B(x2，y2)(其中x1≠x2)是直线l上的两点，则向量eq\o(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)以及与它平行的向量都是直线的方向向量.若直线l的斜率为k，它的一个方向向量的坐标为(x，y)，则k＝eq\f(y,x).4.直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的一个法向量ν＝(A，B)，一个方向向量a＝(－B，A).题型归类题型一直线的倾斜角与斜率例1直线l过点P(1，0)，且与以A(2，1)，B(0，eq\r(3))为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为________________.感悟提升 (1)斜率的两种求法：定义法、斜率公式法.(2)倾斜角和斜率范围求法：①图形观察(数形结合)；②充分利用函数k＝tanα的单调性.题型二求直线的方程例2已知△ABC的三个顶点坐标为A(1，2)，B(3，6)，C(5，2)，M为AB的中点，N为AC的中点，则中位线MN所在直线的方程为________.感悟提升 (1)在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件.(2)对于点斜式、截距式方程，要注意分类讨论思想的运用(若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应判断截距是否为零).题型三直线方程的综合应用例3已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R).(1)证明：直线l过定点；(2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围；(3)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程.感悟提升 (1)求解与直线方程有关的最值问题：先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值；(2)求直线方程：弄清确定直线的两个条件，由直线方程的几种特殊形式直接写出方程；(3)求参数值或范围：注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解.课后检测一、单选题1．经过两点的直线的倾斜角为（    ）A． B． C． D．2．直线l经过两条直线3x+4y﹣5＝0和3x﹣4y﹣13＝0的交点，且与直线x+2y+1＝0垂直，则l的方程是（ ）A．2x+y﹣7＝0 B．2x﹣y﹣7＝0C．2x+y+7＝0 D．2x﹣y+7＝03．已知，则“直线与平行”是“”的（    ）条件A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分又不必要4．已知直线与圆交于两点，是坐标原点，且，则实数的值为（ ）A． B．或 C．或 D．或5．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心､重心､垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线称之为三角形的欧拉线.已知的顶点，，若其欧拉线方程为，则顶点的坐标是（    ）A． B． C． D．6．已知圆，过的直线与圆交于两点，若，则直线的斜率为（    ）A． B． C．或 D．或二、多选题7．已知直线，，当满足一定的条件时，它们的图形可以是（    ）A． B．C． D．8．已知直线：，动直线：，则下列结论正确的是（    ）A．存在，使得的倾斜角为 B．对任意的，与都有公共点C．对任意的，与都不重合 D．对任意的，与都不垂直三、填空题9．经过点，且与直线平行的直线方程是__________.10．关于直线：，：，若，则__________.11．当m变化时，平行线和间的距离的最小值等于______.12．设，则过线段的中点，且与垂直的直线方程为__________.四、解答题13．已知直线与垂直．(1)求;(2)求直线与直线之间的距离．已知集合，，若．求的值．15．如图，在平面直角坐标系中，已知平行四边形的顶点和，所在直线的方程为，.（1）求对角线所在直线的方程；（2）求所在直线的方程.16．已知直线经过两条直线和的交点，直线.（1）若，求的直线方程；（2）若，求的直线方程.