高中数学通用两周搞定圆锥曲线题型透析第一讲 直线的方程(原卷版)

2023-11-27 · U1 上传 · 7页 · 819.8 K

第一节直线方程知识框架知识点归纳1.直线的倾斜角(1)定义:在平面直角坐标系中,对于一条与x轴相交的直线,把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到直线重合时,所转过的最小正角α也能刻画直线的倾斜程度,我们把这个角α称为这条直线的倾斜角.(2)范围:直线的倾斜角α的取值范围是.2.直线的斜率(1)我们把一条直线的倾斜角α的正切值叫作这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,即k=.(2)过两点的直线的斜率公式经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率k=.3.直线方程的五种形式名称几何条件方程适用条件斜截式纵截距、斜率与x轴不垂直的直线点斜式过一点、斜率两点式过两点与两坐标轴均不垂直的直线截距式纵、横截距不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线一般式所有直线[常用结论]1.直线的倾斜角α和斜率k之间的对应关系:α00<α<eq\f(π,2)eq\f(π,2)eq\f(π,2)<α<πk0k>0不存在k<02.截距和距离的不同之处“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值,它可正,可负,也可是零,而“距离”是一个非负数.3.直线的方向向量设A(x1,y1),B(x2,y2)(其中x1≠x2)是直线l上的两点,则向量eq\o(AB,\s\up6(→))=(x2-x1,y2-y1)以及与它平行的向量都是直线的方向向量.若直线l的斜率为k,它的一个方向向量的坐标为(x,y),则k=eq\f(y,x).4.直线Ax+By+C=0(A2+B2≠0)的一个法向量ν=(A,B),一个方向向量a=(-B,A).题型归类题型一直线的倾斜角与斜率例1直线l过点P(1,0),且与以A(2,1),B(0,eq\r(3))为端点的线段有公共点,则直线l斜率的取值范围为________________.感悟提升 (1)斜率的两种求法:定义法、斜率公式法.(2)倾斜角和斜率范围求法:①图形观察(数形结合);②充分利用函数k=tanα的单调性.题型二求直线的方程例2已知△ABC的三个顶点坐标为A(1,2),B(3,6),C(5,2),M为AB的中点,N为AC的中点,则中位线MN所在直线的方程为________.感悟提升 (1)在求直线方程时,应选择适当的形式,并注意各种形式的适用条件.(2)对于点斜式、截距式方程,要注意分类讨论思想的运用(若采用点斜式,应先考虑斜率不存在的情况;若采用截距式,应判断截距是否为零).题型三直线方程的综合应用例3已知直线l:kx-y+1+2k=0(k∈R).(1)证明:直线l过定点;(2)若直线不经过第四象限,求k的取值范围;(3)若直线l交x轴负半轴于点A,交y轴正半轴于点B,△AOB的面积为S(O为坐标原点),求S的最小值并求此时直线l的方程.感悟提升 (1)求解与直线方程有关的最值问题:先设出直线方程,建立目标函数,再利用基本不等式求解最值;(2)求直线方程:弄清确定直线的两个条件,由直线方程的几种特殊形式直接写出方程;(3)求参数值或范围:注意点在直线上,则点的坐标适合直线的方程,再结合函数的单调性或基本不等式求解.课后检测一、单选题1.经过两点的直线的倾斜角为(    )A. B. C. D.2.直线l经过两条直线3x+4y﹣5=0和3x﹣4y﹣13=0的交点,且与直线x+2y+1=0垂直,则l的方程是( )A.2x+y﹣7=0 B.2x﹣y﹣7=0C.2x+y+7=0 D.2x﹣y+7=03.已知,则“直线与平行”是“”的(    )条件A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分又不必要4.已知直线与圆交于两点,是坐标原点,且,则实数的值为( )A. B.或 C.或 D.或5.数学家欧拉在1765年提出定理:三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上,且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半,这条直线称之为三角形的欧拉线.已知的顶点,,若其欧拉线方程为,则顶点的坐标是(    )A. B. C. D.6.已知圆,过的直线与圆交于两点,若,则直线的斜率为(    )A. B. C.或 D.或二、多选题7.已知直线,,当满足一定的条件时,它们的图形可以是(    )A. B.C. D.8.已知直线:,动直线:,则下列结论正确的是(    )A.存在,使得的倾斜角为 B.对任意的,与都有公共点C.对任意的,与都不重合 D.对任意的,与都不垂直三、填空题9.经过点,且与直线平行的直线方程是__________.10.关于直线:,:,若,则__________.11.当m变化时,平行线和间的距离的最小值等于______.12.设,则过线段的中点,且与垂直的直线方程为__________.四、解答题13.已知直线与垂直.(1)求;(2)求直线与直线之间的距离.已知集合,,若.求的值.15.如图,在平面直角坐标系中,已知平行四边形的顶点和,所在直线的方程为,.(1)求对角线所在直线的方程;(2)求所在直线的方程.16.已知直线经过两条直线和的交点,直线.(1)若,求的直线方程;(2)若,求的直线方程.

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