高中数学通用两周搞定圆锥曲线题型透析第十四讲 圆锥曲线在高考压轴题目中的考法探究(教师版)

圆锥曲线在高考压轴题目中的考法探究题型分类类型1圆锥曲线中的轨迹方程问题在平面直角坐标系中，点分别在轴，轴上运动，且，动点满足．(1)求动点的轨迹的方程；(2)设圆上任意一点处的切线交轨迹于点两点，试判断以为直径的圆是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标．若不过定点，请说明理由．【答案】(1)(2)以为直径的圆过定点.【详解】（1）设由得①由得所以代入①式得整理得，所以动点的轨迹的方程为.（2）①当切线斜率不存在时，切线方程为（i）当切线方程为时，以为直径的圆的方程为②（ii）当切线方程为时，以为直径的圆的方程为，③由②③联立，可解得交点为.②当过点且与圆相切的切线斜率存在时，设切线方程为，则，故由联立并消去整理得因为所以切线与椭圆恒有两个交点，设，则所以所以，即以为直径的圆过原点综上所述，以为直径的圆过定点.方法总结1、曲线方程的定义一般地，如果曲线与方程之间有以下两个关系：①曲线上的点的坐标都是方程的解；②以方程的解为坐标的点都是曲线上的点．此时，把方程叫做曲线的方程，曲线叫做方程的曲线．2、求曲线方程的一般步骤：（1）建立适当的直角坐标系（如果已给出，本步骤省略）；（2）设曲线上任意一点的坐标为；（3）根据曲线上点所适合的条件写出等式；（4）用坐标表示这个等式，并化简；（5）确定化简后的式子中点的范围．上述五个步骤可简记为：求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围．3、求轨迹方程的方法：3.1定义法：如果动点的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程。3.2直接法：如果动点的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点所满足的几何上的等量关系，再用点的坐标表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。3.3代入法（相关点法）：如果动点的运动是由另外某一点的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出，用表示出相关点的坐标，然后把的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点的轨迹方程。3.4点差法：圆锥曲线中与弦的中点有关的轨迹问题可用点差法，其基本方法是把弦的两端点的坐标代入圆锥曲线方程，然而相减，利用平方差公式可得，，，等关系式，由于弦的中点的坐标满足，且直线的斜率为，由此可求得弦中点的轨迹方程.类型2圆锥曲线中的中点弦问题已知椭圆的左、右焦点分别为、，离心率为，其短轴的一个端点到焦点的距离为．(1)求椭圆的标准方程；(2)若为的中点，为椭圆上一点，过且平行于的直线与椭圆相交于，两点，是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)存在；【详解】（1）由题意，得，又，所以，所以，故椭圆的标准方程为；（2），，若直线的斜率不存在，则，，由，得，若直线的斜率存在，设直线的方程为，由消去，得，，设，，则，，由题意，，所以由题意知，直线的方程为，由消去，得，设，则，所以，由，得，综上，存在实数，使得成立．方法总结1、相交弦中点（点差法）直线与曲线相交，涉及到交线中点的题型，多数用点差法。按下面方法整理出式子，然后根据实际情况处理该式子。主要有以下几种问题：（1）求中点坐标；（2）求中点轨迹方程；（3）求直线方程；（4）求曲线；中点，，2、点差法设直线和曲线的两个交点，，代入椭圆方程，得；；将两式相减，可得；；最后整理得：同理，双曲线用点差法，式子可以整理成：设直线和曲线的两个交点，，代入抛物线方程，得；；将两式相减，可得；整理得：类型3圆锥曲线中的三角形（四边形）面积问题已知双曲线T：的离心率为，且过点．若抛物线C：的焦点F与双曲线T的右焦点相同．(1)求抛物线C的方程；(2)过点且斜率为正的直线l与抛物线C相交于A，B两点（A在M，B之间），点N满足：，求与面积之和的最小值，并求此时直线l的方程．【答案】(1)(2)．【详解】（1）由题意得：，解之得，即双曲线的右焦点为，，所以；（2）根据题意不妨设直线l的方程为，，，，则由得∴∵，∴，又，同理，∴，当且仅当，时，“＝”成立，即，此时，直线l的方程为．方法总结1、弦长公式（最常用公式，使用频率最高）2、三角形面积问题直线方程：3、焦点三角形的面积直线过焦点的面积为注意：为联立消去后关于的一元二次方程的二次项系数4、平行四边形的面积直线为，直线为注意：为直线与椭圆联立后消去后的一元二次方程的系数.5、范围问题首选均值不等式，其实用二次函数，最后选导数均值不等式变式：作用：当两个正数的积为定值时求出这两个正数的和的最小值；当两个正数的和为定值时求出这两个正数的积的最大值注意：应用均值不等式求解最值时，应注意“一正二定三相等”圆锥曲线经常用到的均值不等式形式列举：（1）（注意分三种情况讨论）（2）当且仅当时，等号成立（3）当且仅当时等号成立.（4）当且仅当时，等号成立(5)当且仅当时等号成立.类型4圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题已知双曲线的中心为坐标原点，对称轴为轴和轴，且双曲线过点，.(1)求双曲线的方程；(2)设过点的直线分别交的左、右支于两点，过点作垂直于轴的直线，交直线于点，点满足.证明：直线过定点.【答案】(1)(2)证明见解析【详解】（1）由题意可知：双曲线焦点在轴上，故设双曲线方程为.将两点坐标代入双曲线方程得，所以，即双曲线方程为.（2）直线过定点，若三点共线，设点，直线方程为，由题意知：直线的方程为，点为线段的中点，从而，，若，化简得①又因为，代入①式得②联立，化简得，则，.代入②式左边得，由于，，，从而②式左边等于0成立，直线过定点.方法总结定点问题1.求解(或证明)直线和曲线过定点的基本思路是：把直线或曲线方程中的变量，视作常数，把方程一边化为零，既然是过定点，那么这个方程就是对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于，的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点．2.常用方法：一是引进参数法，引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点；二是特殊到一般法，根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.定值问题1.解析几何中的定值问题是指某些几何量(线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等)的大小或某些代数表达式的值等和题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值．常见定值问题的处理方法：（1）确定一个（或两个）变量为核心变量，其余量均利用条件用核心变量进行表示（2）将所求表达式用核心变量进行表示（有的甚至就是核心变量），然后进行化简，看能否得到一个常数.2.定值问题的处理技巧：（1）对于较为复杂的问题，可先采用特殊位置（例如斜率不存在的直线等）求出定值，进而给后面一般情况的处理提供一个方向.（2）在运算过程中，尽量减少所求表达式中变量的个数，以便于向定值靠拢（3）巧妙利用变量间的关系，例如点的坐标符合曲线方程等，尽量做到整体代入，简化运算定直线问题定直线问题是证明动点在定直线上，其实质是求动点的轨迹方程，所以所用的方法即为求轨迹方程的方法，如定义法、消参法、交轨法等．类型5圆锥曲线中的向量问题设点，分别是椭圆:的左、右焦点，且椭圆上的点到点的距离的最小值为.点M、N是椭圆上位于轴上方的两点，且向量与向量平行.（1）求椭圆的方程；（2）当时，求△的面积；（3）当时，求直线的方程.【答案】（1）；（2）；（3）【详解】解：（1）点、分别是椭圆的左、右焦点，，，椭圆上的点到点的距离的最小值为，，解得，椭圆的方程为，（2）由（1）可得，，点、是椭圆上位于轴上方的两点，可设，，，，，，，，解得，，，，，向量与向量平行，直线的斜率为，直线方程为，联立方程组，解得，（舍去），或，，，，，点到直线直线的距离为，的面积，（3）向量与向量平行，，，，即，设，，，，，，，，，，，，，，，解得，或（舍去），，，，直线的方程为，即为方法总结1.设为直线l的方向向量,若,则l斜率为k；若（m≠0）,则l斜率为；2.A、B、C是平面内不重合的三点,若有下列条件之一,则A、B、C共线:=1\*GB3①=;=2\*GB3②=+且+=1;=3\*GB3③=(+)/(1+)；=4\*GB3④∥.3.A、B、C是平面内不重合的三点,若有下列条件之一,则C为线段AB的中点:=1\*GB3①=;=2\*GB3②=(+).4.在四边形ABCD中,若∙=0,则ABAC;若∣+∣=∣-∣,则ABAD;若∙=∙,则ACBD.5.圆锥曲线中涉及向量相等,通常利用横坐标或纵坐标相等进行转化,涉及向量共线问题,通项利用非零向量共线转化,涉及向量的数量积,通常利用数量积的坐标运算进行转化.课时训练1．人造地球卫星在以地球的球心为一个焦点的椭圆轨道上运行，运行轨道离地面的最近距离为600千米，离心率为，将地球看作一个半径为6400千米的球体，以运行轨道的中心为坐标原点，运行轨道的中心与近地点所在直线为轴，建立平面直角坐标系，记该卫星的运行轨迹为曲线，定义千米为.(1)以为单位，求曲线的方程；(2)已知三颗卫星在轨道上运行，当轨道中心恰好为的重心时，则称此时为“三星对中”状态.则当三颗卫星成“三星对中”状态时，的面积是否为定值？若是，求出这个定值并给出证明；若不是，请说明理由.【答案】(1)(2)是定值，定值为，证明见解析【分析】（1）由已知条件设出椭圆方程待定系数求解即可；（2）分类讨论计算的面积，斜率存在时联立方程组由韦达定理计算的面积为定值即可.【详解】（1）设曲线，则解得.曲线的方程为.（2）设，①当直线斜率不存在时，如图  即，由轨道中心为的重心可知，，，因为点在椭圆上，所以，当时，，则，同理当时，.②当直线斜率存在时，如图：  设直线，联立整理得，且，则，由轨道中心为的重心可知，，则.将点坐标代入，化简得，即.由轨道中心为的重心，可知到直线的距离为轨道中心到直线的距离的3倍，所以，.综上所述，的面积为定值.【点睛】求解定值问题常用方法为：“特殊探路，一般证明”:即先通过特殊情况确定定值，再转化为有方向、有目的的一般性证明.2．已知椭圆：的左、右顶点分别为，，左焦点为，点在上，轴，且直线的斜率为．(1)求的方程；(2)（异于点）是线段上的动点，与的另一交点为，与的另一交点为，直线与直线相交于点，问：是否为定值？若是，求出此定值，若不是，说明理由．【答案】(1)(2)是定值，定值是2【分析】（1）设，代入的方程，再结合直线的斜率为及左焦点为，即可得出，的值，进而得出的方程；（2）设直线的方程及，，，其中，，直线的方程与椭圆联立消去，根据韦达定理得出和，再由直线与直线相交于点，得出，，表示出，代入和即可得出，解出得出点在直线上，结合轴，即可得出的值．【详解】（1）设，因为点在上，直线的斜率为，椭圆的左焦点为，则由题意得，解得，，，所以的方程为．（2）由（1）知，，设，，，其中，，由题意设：，与联立消得，则，，因为直线与直线相交于点，且与的另一交点为，所以，，即，，所以，所以，即点在直线上，又轴，，所以，即为定值2．3．已知双曲线过点，且焦距为.(1)求的方程；(2)已知过点的动直线交的右支于两点，为线段上的一点，且满足，证明：点总在某定直线上.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）根据已知条件可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出双曲线的方程；（2）设点、、，记，则，，利用平面向量的坐标运算结合点差法求出点Q的轨迹方程，即可证得结论成立.【详解】（1）由题意可得，解得，所以，双曲线的方程为.（2）设点、、，因为，即，记，  又A、P、B、Q四点共线，则，，即，，有，，得，，又因为，则，作差可得，即，得，即，故点Q总在定直线上.【点睛】关键点点睛：本题考查利用线段长之比相等求点的轨迹方程，解题的关键在于引入参数，将相等的长度之比转化为向量的坐标运算，结合点差法进行求解.4．已知椭圆的左、右顶点分别为，，右焦点为F，C的