一网打尽外接球与内切球问题（解析版）

一网打尽外接球与内切球问题【命题规律】纵观近几年高考对于组合体的考查，与球相关的外接与内切问题是高考命题的热点之一．高考命题小题综合化倾向尤为明显，要求学生有较强的空间想象能力和准确的计算能力，才能顺利解答．从近几年全国高考命题来看，这部分内容以选择题、填空题为主，大题很少见，此部分是重点也是一个难点，属于中等难度．【核心考点目录】核心考点一：正方体、长方体外接球核心考点二：正四面体外接球核心考点三：对棱相等的三棱锥外接球核心考点四：直棱柱外接球核心考点五：直棱锥外接球核心考点六：正棱锥与侧棱相等模型核心考点七：侧棱为外接球直径模型核心考点八：共斜边拼接模型核心考点九：垂面模型核心考点十：二面角模型核心考点十一：坐标法核心考点十二：圆锥圆柱圆台模型核心考点十三：锥体内切球核心考点十四：棱切球【真题回归】1.(2022·全国·高考真题(文))已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为(    )1132A.B.C.D.3232【答案】C【解析】[方法一]：【最优解】基本不等式设该四棱锥底面为四边形ABCD，四边形ABCD所在小圆半径为r，设四边形ABCD对角线夹角为α，111则S=⋅AC⋅BD⋅sinα≤⋅AC⋅BD≤⋅2r⋅2r=2r2ABCD222(当且仅当四边形ABCD为正方形时等号成立)即当四棱锥的顶点O到底面ABCD所在小圆距离一定时，底面ABCD面积最大值为2r2又设四棱锥的高为h，则r2+h2=1，122222343V=⋅2r2⋅h=r2⋅r2⋅2h2≤r+r+2h=O-ABCD3333273当且仅当r2=2h2即h=时等号成立.3故选：C[方法二]：统一变量+基本不等式2由题意可知，当四棱锥为正四棱锥时，其体积最大，设底面边长为a，底面所在圆的半径为r，则r=a，22h=1-a所以该四棱锥的高2，2223a+a+1-a12422244343V=a21-a=a⋅a⋅1-a≤442=1=323442333327a2a24(当且仅当=1-，即a2=时，等号成立)423a223所以该四棱锥的体积最大时，其高h=1-=1-=.233故选：C．[方法三]：利用导数求最值2由题意可知，当四棱锥为正四棱锥时，其体积最大，设底面边长为a，底面所在圆的半径为r，则r=a，2223a12a212t2所以该四棱锥的高h=1-，V=a1-，令a=t(00，单调递增，0，当26生活、服务群众的生态公园体系，着力将“城市中的公园”升级为“公园中的城市”．截至目前，贵阳市公园数量累计达到1025个．下图为贵阳市某公园供游人休息的石凳，它可以看做是一个正方体截去八个一样的四面体得到的，如果被截正方体的的棱长为202cm，则石凳所对应几何体的外接球的表面积为________cm2．【答案】1600π【解析】设正方体的中心为O，E为棱的中点，连接A1D,B1C,A1C,B1D，则O为矩形A1DCB1的对角线的交点，11则OE=BC=×202×2=20，212同理，O到其余各棱的中点的距离也为20，故石凳所对应几何体的外接球的半径为20，其表面积为4π⋅202=1600πcm2，故答案为：1600π核心考点二：正四面体外接球【规律方法】2如图，设正四面体ABCD的的棱长为a，将其放入正方体中，则正方体的棱长为a，显然正四面体和正2236方体有相同的外接球．正方体外接球半径为R=a⋅=a，即正四面体外接球半径为R=2246a．4【典型例题】例4.(2022·黑龙江·哈九中模拟预测(理))已知正四面体P-ABC外接球O表面积为54π，则该正四面体棱长为______；若M为平面ABC内一动点，且PM=42，则AM最小值为______．【答案】    6    23-22【解析】设该正四面体棱长为a，过点P作PD⊥面ABC，则点D为△ABC的重心，36则AD=a，PD=a，33又正四面体P-ABC外接球O表面积为54π，则4πR2=54π，36则R=，236即PO=AO=，2又AO2=AD2+OD2，362326362则=a+a-，2332解得：a=6；又M为平面ABC内一动点，且PM=42，则DM=PM2-PD2=32-24=22，即点M的轨迹为以D为圆心，22为半径的圆，又AD=23，则由点与圆的位置关系可得AM最小值为：23-22，故答案为：6；23-22．例5.(2022·江苏南京·高三开学考试)已知一个正四面体的棱长为2，则其外接球与以其一个顶点为球心，1为半径的球面所形成的交线的长度为___________.30π【答案】3【解析】设外接球半径为r，外接球球心到底面的距离为h，2646则h+r=,r2=h2+，所以r=，332两球相交形成形成的图形为圆，1+6-644630如图，在△PDO中，cos∠DPO==，sin∠DPO=，662×1×6230在△PDO中，DO=PDsin∠DOP=，11630所以交线所在圆的半径为，63030π所以交线长度为2π⋅=.6330π故答案为：3例6.(2022·福建·福州三中模拟预测)表面积为83的正四面体的外接球的表面积为(    )A.43πB.12πC.8πD.46π【答案】B3【解析】设正四面体的棱长为a，则根据题意可得：a2×4=83，解得a=22；4该正四面体的外接球与棱长为2的正方体的外接球的半径相等，2又正方体的外接球半径为3，故该正四面体外接球的表面积S=4π×3=12π.故选：B.核心考点三：对棱相等的三棱锥外接球【规律方法】四面体ABCD中，AB=CD=m，AC=BD=n，AD=BC=t，这种四面体叫做对棱相等四面体，可以通过构造长方体来解决这类问题．b2+c2=m2m2+n2+t2如图，设长方体的长、宽、高分别为a,b