圆锥曲线中的“设而不求”（学生版）

圆锥曲线中的“设而不求”一、考情分析研究曲线方程及由方程研究曲线的有关性质问题,是圆锥曲线中的一个重要内容,其特点是代数的运算较为繁杂,许多学生会想而不善于运算,往往是列出式子后“望式兴叹”.在解决圆锥曲线问题时若能恰当使用“设而不求”的策略,可避免盲目推演造成的无效运算,从而达到准确、快速的解题效果.二、、解题秘籍(一)“设而不求”的实质及注意事项1.设而不求是解析几何解题的基本手段,是比较特殊的一种思想方法,其实质是整体结构意义上的变式和整体思想的应用．设而不求的灵魂是通过科学的手段使运算量最大限度地减少,通过设出相应的参数,利用题设条件加以巧妙转化,以参数为过渡,设而不求．2.在运用圆锥曲线问题中的设而不求方法技巧时,需要做到：①凡是不必直接计算就能更简洁地解决问题的,都尽可能实施“设而不求”；②“设而不求”不可避免地要设参、消参,而设参的原则是宜少不宜多．3.“设而不求”最常见的类型一是涉及动点问题，设出动点坐标，在运算过程中动点坐标通过四则运算消去，或利用根与系数的关系转化为关于其他参数的问题；二是涉及动直线问题，把斜率或截距作为参数，设出直线的方程，再通过运算消去.x2y21(2023届山西省临汾市等联考高三上学期期中)已知椭圆C:+=1a>b>0的长轴长为4，F1，a2b21F为C的左、右焦点，点Px,yy≠0在C上运动，且cos∠FPF的最小值为.连接PF，PF并延长200012212分别交椭圆C于M，N两点.(1)求C的方程；S△OPFS(2)证明：1+△OPN为定值.S△OMF1S△OF2N·1·2(2023届江苏省连云港市高三上学期10月联考)已知椭圆中有两顶点为A-1,0，B1,0，一个焦点为F0,1.32(1)若直线l过点F且与椭圆交于C，D两点，当CD=时，求直线l的方程；2(2)若直线l过点T0,tt≠0且与椭圆交于C，D两点，并与x轴交于点P，直线AD与直线BC交于点Q，当点P异A，B两点时，试问OP⋅OQ是否是定值？若是，请求出此定值，若不是，请说明理由.(二)设点的坐标在涉及直线与圆锥曲线位置关系时,如何避免求交点,简化运算,是处理这类问题的关键,求解时常常设出点的坐标,设坐标方法即通过设一些辅助点的坐标,然后以坐标为参数,利用点的特性(条件)建立关系(方程).显然,这里的坐标只是为寻找关系而作为“搭桥”用的,在具体解题中是通过“设而不求”与“整体消元”解题策略进行的.x2y223(2023届湖南省郴州市高三上学期质量监测)已知椭圆E:+=1a>b>0的离心率为，过a2b22坐标原点O的直线交椭圆E于P,A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC.当C为椭圆的右焦点时，△PAC的面积为2.(1)求椭圆E的方程；(2)若B为AC的延长线与椭圆E的交点，试问：∠APB是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，说明理由.·2·3x2y24(2023届江苏省南通市如皋市高三上学期期中)作斜率为的直线l与椭圆C:+=1交于A,B24932两点，且P2,在直线l的左上方.2(1)当直线l与椭圆C有两个公共点时，证明直线l与椭圆C截得的线段AB的中点在一条直线上；(2)证明：△PAB的内切圆的圆心在一条定直线上.(三)设参数在求解与动直线有关的定点、定值或最值与范围问题时常设直线方程,因为动直线方程不确定,需要引入参数,这时常引入斜率、截距作为参数.x2y25(2022届湖南省益阳市高三上学期月考)已知椭圆C:+=1a>b>0的左右焦点分别为F1,F2,a2b23其离心率为,P为椭圆C上一动点,△FPF面积的最大值为3.212(1)求椭圆C的方程；(2)过右焦点F2的直线l与椭圆C交于A,B两点,试问：在x轴上是否存在定点Q,使得QA⋅QB为定值？若存在,求出点Q的坐标；若不存在,请说明理由.·3·(四)中点弦问题中的设而不求与中点弦有个的问题一般是设出弦端点坐标Px1,y1,Qx2,y2代入圆锥曲线方程作差,得到关于y1-y2,x1+x2,y1+y2的关系式,再结合题中条件求解.x1-x26中心在原点的双曲线E焦点在x轴上且焦距为4,请从下面3个条件中选择1个补全条件,并完成后面问题：①该曲线经过点A2,3；②该曲线的渐近线与圆x2-8x+y2+4=0相切；3③点P在该双曲线上,F、F为该双曲线的焦点,当点P的纵坐标为时,恰好PF⊥PF.12212(1)求双曲线E的标准方程；(2)过定点Q1,1能否作直线l,使l与此双曲线相交于Q1、Q2两点,且Q是弦Q1Q2的中点？若存在,求出l的方程；若不存在,说明理由.·4·三、跟踪检测x2y21(2023届河南省洛平许济高三上学期质量检测)已知椭圆C:+=1a>b>0的右焦点为a2b21F，离心率为，上顶点为0,3．2(1)求椭圆C的方程；(2)过点F的直线l与椭圆C交于P，Q两点，与y轴交于点M，若MP=λPF，MQ=μQF，判断λ+μ是否为定值？并说明理由．x2y22(2023届江西省南昌市金太阳高三上学期10月联考)如图，长轴长为4的椭圆C:+=a2b21a>b>0的左顶点为A，过原点O的直线(与坐标轴不重合)与椭圆C交于P，Q两点，直线PA，QA2与y轴分别交于M，N两点，当直线PQ的斜率为时，PQ=23.2(1)求椭圆C的方程.(2)试问是否存在定点T，使得∠MTN=90°恒成立？若存在，求出定点T的坐标；若不存在，说明理由.·5·x2y23(2023届黑龙江省大庆铁人中学高三上学期月考)已知椭圆C:+=1a>b>0的离心率为a2b221y2，椭圆的短轴端点与双曲线-x=1的焦点重合，过点P4,0且不垂直于x轴的直线l与椭圆相交22于A，B两点.(1)求椭圆C的方程；(2)若点B关于x轴的对称点为点E，证明：直线AE与x轴交于定点.x2y24(2023届江西省赣州厚德外国语学校、丰城中学高三上学期10月联考)已知双曲线C:-=1a2b2经过点2,-3，两条渐近线的夹角为60°，直线l交双曲线于A,B两点.(1)求双曲线C的方程.(2)若动直线l经过双曲线的右焦点F2，是否存在x轴上的定点Mm,0，使得以线段AB为直径的圆恒过M点？若存在，求实数m的值；若不存在，请说明理由.·6·5(2023届内蒙古自治区赤峰市高三上学期月考)平面内一动点P到定直线x=4的距离，是它与定点F1,0的距离的两倍.(1)求点P的轨迹方程C；(2)过F点作两条互相垂直的直线l1，l2(直线l1不与x轴垂直).其中，直线l1交曲线C于A，B两点，直线l2交曲线C于E，N两点，直线l2与直线x=mm>2交于点M，若直线MB，MF，MA的斜率kMB，kMF，kMA构成等差数列，求m的值.6(2023届福建省福州华侨中学高三上学期考试)在平面直角坐标系xOy中，已知点F(2,0)，直线l:x1=，点M到l的距离为d，若点M满足|MF|=2d，记M的轨迹为C．2(1)求C的方程；(2)过点F(2,0)且斜率不为0的直线与C交于P，Q两点，设A(-1,0)，证明：以P，Q为直径的圆经过点A．·7·x2y27(2023届河南省安阳市高三上学期10月月考)已知椭圆M1:+=1a>b>0的左､右焦点分a2b248别为F，F，FF=2，面积为的正方形ABCD的顶点都在M上.121271(1)求M1的方程；x2y2(2)已知P为椭圆M2:+=1上一点，过点P作M1的两条切线l1和l2，若l1，l2的斜率分别为k1，k2，2a22b2求证：k1k2为定值.x2y28(2023届浙江省浙里卷天下高三上学期10月测试)已知F1,F2分别为椭圆C:+=1(a>b>a2b20)的左、右焦点，过点F1(-1,0)且与x轴不重合的直线与椭圆C交于A,B两点，△ABF2的周长为8.122(1)若△ABF的面积为，求直线AB的方程；27(2)过A,B两点分别作直线x=-4的垂线，垂足分别是E,F，证明：直线EB与AF交于定点.·8·x2y29(2023届江苏省南京市六校高三上学期10月联考)已知双曲线Γ：-=1(a>0,b>0)的焦距a2b23为4，且过点P2,3(1)求双曲线Γ的方程；(2)过双曲线Γ的左焦点F分别作斜率为k1,k2的两直线l1与l2，直线l1交双曲线Γ于A,B两点，直线l2交双曲线Γ于C,D两点，设M,N分别为AB与CD的中点，若k1⋅k2=-1，试求△OMN与△FMN的面积之比.x2y210(2022届北京市海淀区高三上学期期末)已知点A0,-1在椭圆C：+=1上.3b2(1)求椭圆C的方程和离心率；(2)设直线l：y=kx-1(其中k≠1)与椭圆C交于不同两点E,F,直线AE,AF分别交直线x=3于点M,N.当△AMN的面积为33时,求k的值.·9·x2y211(2022届天津市第二中学高三上学期12月月考)已知椭圆+=1a>b>0的长轴长是4,a2b2且过点B0,1.(1)求椭圆的标准方程；(2)直线l：y=kx+2交椭圆于P,Q两点,若点B始终在以PQ为直径的圆内,求实数k的取值范围.x2y212(2022届广东省华南师范大学附属中学高三上学期1月模拟)已知椭圆C1:+=1(a>b>a2b2210)的右顶点与抛物线C:y=2px(p>0)的焦点重合,椭圆C的离心率为,过椭圆C的右焦点F且垂2121直于x轴的直线截抛物线所得弦的长度为42.(1)求椭圆C1和抛物线C2的方程.(2)过点A(-4,0)的直线l与椭圆C1交于M,N两点,点M关于x轴的对称点为E.当直线l绕点A旋转时,直线EN是否经过一定点?请判断并证明你的结论.·10·13(2022届河北省高三上学期省级联测)已知椭圆P焦点分别是F1(0,-3)和F2(0,3),直线y=3与椭圆P相交所得的弦长为1.(1)求椭圆P的标准方程；(2)将椭圆P绕原点逆时针旋转90°得到椭圆Q,在椭圆Q上存在A,B,C三点,且坐标原点为△ABC的重心,求△ABC的面积.314(2022届广东省佛山市高三上学期期末)已知双曲线C的渐近线方程为y=±x,且过点P(3,32).(1)求C的方程；(2)设Q(1,0),直线x=t(t∈R)不经过P点且与C相交于A,B两点,若直线BQ与C交于另一点D,求证：直线AD过定点.·11·x2y215(2022届江苏省盐城市、南京市高三上学期1月模拟)设双曲线C:-=1(a,b>0)的右顶点a2b226为A,虚轴长为2,两准线间的距离为.3(1)求双曲线C的方程；(2)设动直线l与双曲线C交于P,Q两点,已知AP⊥AQ,设点A到动直线l的距离为d,求d的最大值.·12·x2y2y216(2022届浙江省普通高中强基联盟高三上学期统测)如图,已知椭圆C:+=1,椭圆C:14329x2+=1,A-2,0、B2,0.P为椭圆C上动点且在第一象限,直线PA、PB分别交椭圆C于E、F两点,421连接EF交x轴于Q点.过B点作BH交椭圆C1于G,且BH⎳PA.(1)证明：kBF⋅kBG为定值；(2)证明直线GF过定点,并求出该定点；(3)若记P、Q两点的横坐标分别为xP、xQ,证明：xPxQ为定值.·13·2222xy17(2022届湖北省新高考联考协作体高三上学期12月联考)已知圆O：x+y=2,椭圆C：+a2b22=1a>b>2的离心率为,P是C上的一点,A是圆O上的一点,PA的最大值为6+2.2(1)求椭圆C的方程；2(2)点M是C上异于P的一点,PM与圆O相切于点N,证明：PO=PM⋅PN.x2y2518已知双曲线C：-=1(a>0,b>0)的实轴长为8,离心率e=.a2b24(1)求双曲线C的方程；(2)直线l与双曲线C相交于P,Q两点,弦PQ的中点坐标为A8,3,求直线l的方程.·14·