圆锥曲线中的“设而不求”（解析版）

圆锥曲线中的“设而不求”一、考情分析研究曲线方程及由方程研究曲线的有关性质问题,是圆锥曲线中的一个重要内容,其特点是代数的运算较为繁杂,许多学生会想而不善于运算,往往是列出式子后“望式兴叹”.在解决圆锥曲线问题时若能恰当使用“设而不求”的策略,可避免盲目推演造成的无效运算,从而达到准确、快速的解题效果.二、、解题秘籍(一)“设而不求”的实质及注意事项1.设而不求是解析几何解题的基本手段,是比较特殊的一种思想方法,其实质是整体结构意义上的变式和整体思想的应用．设而不求的灵魂是通过科学的手段使运算量最大限度地减少,通过设出相应的参数,利用题设条件加以巧妙转化,以参数为过渡,设而不求．2.在运用圆锥曲线问题中的设而不求方法技巧时,需要做到：①凡是不必直接计算就能更简洁地解决问题的,都尽可能实施“设而不求”；②“设而不求”不可避免地要设参、消参,而设参的原则是宜少不宜多．3.“设而不求”最常见的类型一是涉及动点问题，设出动点坐标，在运算过程中动点坐标通过四则运算消去，或利用根与系数的关系转化为关于其他参数的问题；二是涉及动直线问题，把斜率或截距作为参数，设出直线的方程，再通过运算消去.x2y21(2023届山西省临汾市等联考高三上学期期中)已知椭圆C:+=1a>b>0的长轴长为4，F1，a2b21F为C的左、右焦点，点Px,yy≠0在C上运动，且cos∠FPF的最小值为.连接PF，PF并延长200012212分别交椭圆C于M，N两点.(1)求C的方程；S△OPFS(2)证明：1+△OPN为定值.S△OMF1S△OF2N【解析】(1)由题意得a=2，设PF1，PF2的长分别为m，n，m+n=2a=422m2+n2-4c2m+n-4c-2mn2b22b22b2则cos∠F1PF2===-1≥-1=-1，当且仅当m2mn2mnmnm+n2a22·1·=n时取等号，222b1b32从而-1=，得=，∴b=3，a22a24x2y2则椭圆的标准方程为+=1；43(2)由(1)得F1-1,0，F21,0，设Mx1,y1，Nx2,y2，x+1x-1设直线PM的方程为x=0y-1，直线PN的方程为x=0y+1，y0y0x+1x=0y-12y03x0+16x0+1由，得+4y2-y-9=0，x2y22y0y04+3=1-9y2-9y2-3y2则-9000，y0y1=2=22=22=3x0+13x0+1+4y03x0+4y0+6x0+32x0+52+4y0-3y0∴y1=，2x0+5-3y0同理可得y2=，5-2x011SOF1y0OF2y0+y2△OPF1S△OPN22y0y0y0y0所以+=+=-++1=-++1SS11y1y2-3y0-3y0△OMF1△OF2NOF1y1OF2y2222x0+55-2x013=.3S△OPF1S△OPN13所以+为定值.S△OMF1S△OF2N32(2023届江苏省连云港市高三上学期10月联考)已知椭圆中有两顶点为A-1,0，B1,0，一个焦点为F0,1.32(1)若直线l过点F且与椭圆交于C，D两点，当CD=时，求直线l的方程；2(2)若直线l过点T0,tt≠0且与椭圆交于C，D两点，并与x轴交于点P，直线AD与直线BC交于点Q，当点P异A，B两点时，试问OP⋅OQ是否是定值？若是，请求出此定值，若不是，请说明理由.·2·y2x2【解析】(1)∵椭圆的焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0)，a2b2由已知得b=1，c=1，所以a=2，y2椭圆的方程为+x2=1，2当直线l与x轴垂直时与题意不符，设直线l的方程为y=kx+1，Cx1,y1，Dx2,y2，22将直线l的方程代入椭圆的方程化简得k+2x+2kx-1=0，2k1则x1+x2=-，x1⋅x2=-，k2+2k2+2222222k122(k+1)32∴CD=1+k⋅x1+x2-4x1x2=1+k⋅-+4⋅==，解得k=k2+2k2+2k2+22±2.∴直线l的方程为y=±2x+1；(2)当l⊥x轴时，AC⎳BD，不符合题意，t当l与x轴不垂直时，设l：y=kx+t，则P-,0，ky=kx+t2222设Cx1,y1，Dx2,y2，联立方程组2y得2+kx+2ktx+t-2=0，x+2=12ktt2-2∴x1+x2=-，x1x2=，2+k22+k2yy又直线AD：y=2(x+1)，直线BC：y=1(x-1)，x2+1x1-1y2y=(x+1)yykx+tkx+t由x2+1可得21，即21，y(x+1)=(x-1)(x+1)=(x-1)y=1(x-1)x2+1x1-1x2+1x1-1x1-1kx2+tx1-1(x+1)=kx1+tx2+1(x-1)，kx1x2-kx2+tx1-tx+1=kx1x2+kx1+tx2+tx-1，kx1+x2+tx2-x1+2tx=2kx1x2-kx2-x1+tx1+x2，-2ktt2-2-2ktk⋅+tx2-x1+2tx=2k⋅-kx2-x1+t⋅，2+k22+k22+k24t-4k44+tx2-x1x=-kx2-x1，即t+x2-x1x=-k+x2-x1，得x=2+k22+k22+k22+k2k-，tk∴Q点坐标为Q-,y，tQtktk∴OP⋅OQ=-,0⋅-,y=--+0⋅y=1，ktQktQ所以OP⋅OQ=1为定值.·3·(二)设点的坐标在涉及直线与圆锥曲线位置关系时,如何避免求交点,简化运算,是处理这类问题的关键,求解时常常设出点的坐标,设坐标方法即通过设一些辅助点的坐标,然后以坐标为参数,利用点的特性(条件)建立关系(方程).显然,这里的坐标只是为寻找关系而作为“搭桥”用的,在具体解题中是通过“设而不求”与“整体消元”解题策略进行的.x2y223(2023届湖南省郴州市高三上学期质量监测)已知椭圆E:+=1a>b>0的离心率为，过a2b22坐标原点O的直线交椭圆E于P,A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC.当C为椭圆的右焦点时，△PAC的面积为2.(1)求椭圆E的方程；(2)若B为AC的延长线与椭圆E的交点，试问：∠APB是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，说明理由.c221222212【解析】(1)∵椭圆离心率e==，∴c=a，则b=a-c=a，a222b21当C为椭圆右焦点时，PC==a；a2111222∵S=2S=2×c⋅a=ac=a=2，解得：a=4，△PAC△POC2224∴b2=2，x2y2∴椭圆E的方程为：+=1.42(2)由题意可设直线AP:y=kxk>0，Px0,kx0，Bx1,y1，kx0k则A-x0,-kx0，Cx0,0，∴kAC==，x0+x02k∴直线AC:y=x-x；20ky=x-x0222222由22得：k+2x-2kxx+kx-8=0，xy004+2=1222kx02kx0∴-x0+x1=，则x1=+x0，k2+2k2+223kk2kx0kx0∴y1=x1-x0=+x0-x0=，22k2+2k2+2232kx0kx0∴B+x0,；k2+2k2+222kx02kx0∴PB=,-，又PA=-2x0,-2kx0，k2+2k2+222kx02kx0∴PA⋅PB=-2x0⋅+-2kx0⋅-=0，则PA⊥PB，k2+2k2+2·4·∴∠APB为定值90°.3x2y24(2023届江苏省南通市如皋市高三上学期期中)作斜率为的直线l与椭圆C:+=1交于A,B24932两点，且P2,在直线l的左上方.2(1)当直线l与椭圆C有两个公共点时，证明直线l与椭圆C截得的线段AB的中点在一条直线上；(2)证明：△PAB的内切圆的圆心在一条定直线上.3【解析】(1)设Ax,y，Bx,y，AB中点坐标为x,y，AB:y=x+m112200222x1+x2xyx0=+=12492222所以有，联立，得9x+6mx+2m-18=0，得Δ=6m-4×92m-18>0，y1+y23y0=2y=2x+m222m2m-1833得m<18，由韦达定理可知x+x=-，xx=，所以y+y=x+m+x+m=123129122122m3x0=-333x+x+2m=m，所以，化简得：y=-x，所以线段AB的中点在直线y=-x上.212m0202y0=232323232y1-2y2-2y1-2y2-2(2)由题可知PA，PB的斜率分别为kPA=，kPB=，所以kPA+kPB=+x1-2x2-2x1-2x2-2y-32x-2+y-32x-212222133=，因为y1=x1+m,y2=x2+m得kPA+kPB=x1x2-2x1+x1+2223x1x2+m-32x1+x1-22m+6x1x2-2x1+x1+22m2m2-18由(1)可知x+x=-，xx=，所以k+k=123129PAPB232m-18+m-32-2m-22m+69332=0，又因为P2,在直线l的左上方，所以∠APB2m2-18229-2-3m+2的角平分线与y轴平行，所以△PAB的内切圆的圆心在x=2这条直线上.(三)设参数在求解与动直线有关的定点、定值或最值与范围问题时常设直线方程,因为动直线方程不确定,需要引入参数,这时常引入斜率、截距作为参数.x2y25(2022届湖南省益阳市高三上学期月考)已知椭圆C:+=1a>b>0的左右焦点分别为F1,F2,a2b23其离心率为,P为椭圆C上一动点,△FPF面积的最大值为3.212(1)求椭圆C的方程；(2)过右焦点F2的直线l与椭圆C交于A,B两点,试问：在x轴上是否存在定点Q,使得QA⋅QB为定值？若存在,求出点Q的坐标；若不存在,请说明理由.·5·3c3【解析】(1)设椭圆C的半焦距为c,因离心率为,则=,由椭圆性质知,椭圆短轴的端点到直2a2线F1F2的距离最大,1222则有S△FPF=⋅2c⋅b=bc,于是得bc=3,又a=b+c,联立解得a=2,b=1,c=3,12max22x2所以椭圆C的方程为：+y=1.4(2)由(1)知,点F23,0,当直线斜率存在时,不妨设l:y=k(x-3),Ax1,y1,Bx2,y2,22y=k(x-3)222283k12k-4由消去y并整理得,(1+4k)x-83kx+12k-4=0,x1+x2=,x1x2=,x2+4y2=41+4k21+4k2假定在x轴上存在定点Q满足条件,设点Q(t,0),22则QA⋅QB=(x1-t)(x2-t)+y1y2=x1x2-t(x1+x2)+t+k(x1-3)(x2-3)222222212k-4283k22=(1+k)x1x2-(3k+t)(x1+x2)+t+3k=(1+k)⋅-(3k+t)⋅+t+3k1+4k21+4k2(4t2-83t+11)k2+t2-4=,1+4k2224t-83t+1193213当t-4=,即t=时,QA⋅QB=t-4=-,486411当直线l斜率不存在时,直线l：x=-3与椭圆C交于点A,B,由对称性不妨令A3,,B3,-,2293313131当点Q坐标为,0时,QA=-,,QB=-,-,QA⋅QB=-,⋅88282823113-,-=-,82649313所以存在定点Q,0,使得QA⋅QB为定值-.864(四)中点弦问题中的设而不求与中点弦有个的问题一般是设出弦端