高三数学函数值域的常见求法8大题型(学生版)

2023-11-10 · U1 上传 · 10页 · 389.2 K

函数值域的求法8大题型命题趋势函数的值域是函数概念中三要素之一,是高考中的必考内容,具有较强的综合性,贯穿整个高中数学的始终。在高考试卷中的形式千变万化,但万变不离其宗,真正实现了常考常新的考试要求,考生在复习过程中首先要掌握一些简单函数的值域求解的基本方法,其次要多看多练在其他板块中涉及值域类型的内容。满分技巧一、求函数值域的常见方法1.直接法:对于简单函数的值域问题,可通过基本初等函数的图象、性质直接求解;2.逐层法:求f1(f2⋯fn(x))型复合函数的值域,利用一些基本初等函数的值域,从内向外逐层求函数的值域;3.配方法:配方法是二次型函数值域的基本方法,即形如“y=axx+bx+c(a≠0)”或“y=a[f(x)]2+bf(x)+c(a≠0)”的函数均可用配方法求值域;4.换元法:利用换元法将函数转化为易求值域的函数,常用的换元有ax+bcx+d(1)y=或y=的结构,可用“cx+d=t”换元;cx+dax+b(2)y=ax+b±cx+d(a,b,c,d均为常数,a≠0,c≠0),可用“cx+d=t”换元;ππ(3)y=bx±a2-x2型的函数,可用“x=acosθ(θ∈[0,π])”或“x=asinθθ∈-,”换元;22ax+bax+ba5.分离常数法:形如y=(ac≠0)的函数,应用分离常数法求值域,即y==+cx+dcx+dcbc-ad,然后求值域;c2x+dcb6.基本不等式法:形如y=ax+(ab>0)的函数,可用基本不等式法求值域,利用基本不等式法求函x数的值域时,要注意条件“一正、二定、三相等”,即利用a+b≥2ab求函数的值域(或最值)时,应满足三个条件:①a>0,b>0;②a+b(或ab)为定值;③取等号的条件为a=b,三个条件缺一不可;7.函数单调性法:确定函数在定义域上的单调性,根据函数单调性求出函数值域(或最值)(1)形如y=ax+b-cx+d(ac<0)的函数可用函数单调性求值域;b(2)形如y=ax+的函数,当ab>0时,若利用基本不等式等号不能成立时,可考虑利用对勾函数x求解;b当ab<0时,y=ax+在(-∞,0)和(0,+∞)上为单调函数,可直接利用单调性求解。xasinxacosx8.函数的有界性法:形如y=(或y=)(其中a,b,c不为0)的函数求值域或最值,c+bsinxc+bcosxc可用y表示出sinx(或cosx),再根据-1≤sinx≤1且sinx≠-(或-1≤cosx≤1且cosx≠bc-),列出关于y的取值范围.b类似地,有:①x2=f(y),则f(y)≥0;②ax=h(y),则h(y)>0;③sinx=g(y),则-1≤g(y)≤12a2x+b2x+c229.判别式法:形如y=2(a1a2≠0)或y=Ax+Bax+bx+c(ABa≠0)的函数求值域,a1x+b1x+c1可将函数转化为关于x的方程F(x,y)=0,利用二次项系数不为0,判别式Δ≥0或二次项系数为0,一次方程有解得出函数的值域。10.导数法:对可导函数f(x)求导,令f(x)=0,求出极值点,判断函数单调性;如果定义域是闭区间,则函数最值一定取在极值点处或区间端点处;如果定义域是开区间且函数存在最值,则函数最值一定取在极值点处。二、根据最值条件求解参数范围解题思路已知函数的最值求参数范围时,要视参数为已知数,结合函数值域(或最值)的求法,得到函数的最值(含有参数),再与给出的函数最值作比较,求出参数范围。热点题型解读【题型1单调性法求函数值域或最值】1【例1】(2022秋·陕西西安·高三校考期中)函数f(x)=-2x在区间[1,2]上的最小值是()x77A.-B.C.1D.-122【变式1-1】(2022秋·北京·高三北京市第一六一中学校考期中)已知函数fx=ex+x,则fx的值域是_____.π4【变式1-2】(2022春·浙江舟山·高三校考开学考试)已知x∈0,,则函数y=cosx+()2cosx高考加油A.有最小值4B.有最大值4C.无最小值D.有最大值+∞【变式1-3】(2022·全国·高三专题练习)函数f(x)=lnx+ln(2-x)的最大值为______.mx+1【变式1-4】(2022秋·江苏苏州·高三校联考阶段练习)已知函数f(x)=是R上的偶函数1+x2(1)求实数m的值,判断函数f(x)在[0,+∞)上的单调性;(2)求函数f(x)在[-3,2]上的最大值和最小值.【变式1-5】(2022秋·黑龙江牡丹江·高三校考阶段练习)已知函数f(x)=b⋅ax(a>0,且a≠1)的图象经过点A(1,4),B(3,16).(1)求函数f(x)的解析式;(2)设函数g(x)=f(x)-f(-x)(x≥2),求函数g(x)的值域【题型2配方法求函数值域或最值】【例2】(2022秋·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学阶段练习)函数y=-x2+4x-4的值域是_____.x-112【变式2-1】(2023·全国·高三专题练习)若函数f=-+1,则函数gx=fx-4x的最小xx2x值为()A.-1B.-2C.-3D.-4【变式2-2】(2022·全国·高三专题练习)函数f(x)=x+21-x的最大值为_______.【变式2-3】(2022秋·广东深圳·高三深圳中学校考阶段练习)已知函数fx=sinx+cosx+2sinxcosx+2,则fx的最大值为().A.3+2B.3-2C.2+2D.2-2【变式2-4】(2022秋·北京·高三校考阶段练习)函数fx=sinx-cos2x是()A.奇函数,且最小值为-2B.偶函数,且最小值为-299C.非奇非偶函数,且最小值为-D.非奇非偶函数,且最大值为88x-12x+1x2+ax+b【变式2-5】(2022·全国·高三专题练习)已知函数fx=,对任意非零实数x21x,均满足fx=f-.则f-1的值为___________;函数fx的最小值为_______x____.【题型3分离常数法求函数值域或最值】cosx+1【例3】(2022秋·河南郑州·高三校考阶段练习)函数y=的值域是()2cosx-1A.-∞,0∪4,+∞B.-∞,0∪2,+∞C.0,4D.0,2x2-1【变式3-1】(2022秋·上海徐汇·高三上海市南洋模范中学校考阶段练习)函数fx=的值域x2+3x+2为________.【变式3-2】(2022秋·天津滨海新·高三天津市滨海新区塘沽第一中学校考阶段练习)已知x∈0,3,则y2x-81=+的最小值___________,此时x=___________.x-32xx2+x【变式3-3】(2022秋·湖北·高三校联考阶段练习)已知1≤x≤4,则函数fx=的值域x3+x2+4x+4为______.公众号:高中数学最新试题【变式3-4】(2023·全国·高三专题练习)已知函数f(x)=2x+k⋅2-x.(1)若f(x)在(1,+∞)是增函数,求实数k的取值范围;(2)若f(x)+11()2-32-3311A.,+∞B.-∞,C.1-,D.,+∞22222高考加油1-ax,x0,函数f(x)=ax-x2+2x-x2的最大值为2,则实数a的值为_____.限时检测(建议用时:60分钟)2x1.(2023·全国·高三专题练习)函数f(x)=的值域是()x+1A.-∞,-1∪1,+∞B.-∞,2C.-∞,2∪2,+∞D.-1,+∞2.(2019秋·黑龙江鸡西·高三鸡西实验中学校考阶段练习)函数y=x-3-41≤x≤4的值域为()A.-4,-2B.-4,-3C.-3,4D.-3,-2sinx-13.(2022·全国·高三专题练习)函数f(x)=x∈0,2π的最小值是()3-2cosx-2sinx2A.-B.-1C.-2D.-32x4.(2021秋·黑龙江哈尔滨·高三哈尔

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