函数中的同构问题--2024高考数学压轴大题秒杀(解析版)

2023-11-10 · U1 上传 · 21页 · 535.4 K

函数中的同构问题一、考情分析近年来同构函数频频出现在模拟试卷导数解答题中,高考真题中也出现过同构函数的身影,同构法是将不同的式子通过变形,转化为形式结构相同或者相近的式子,通过整体思想或换元等将问题转化的方法,这体现了转化思想.此方法常用于求解具有对数、指数等混合式子结构的等式、不等式问题中,或利用函数单调性定义确定函数单调性,利用此方法求解某些导数压轴题往往能起到秒杀效果.二、解题秘籍(一)同构函数揭秘同构式是指除了变量不同,其余地方均相同的表达式,导数中同构函数问题大多属于指对跨阶问题,比如ex+x与x+lnx属于“跨阶函数”,而ex+lnx属于“跳阶函数”,对于指对跳阶的函数问题,直接求解,一般是通过隐零点代换来简化,并且有很大局限性,有些题若采用指对跨阶函数进行同构,可将跳阶函x数问题转化为跨阶函数问题,从而使计算降阶,通常构造的同构函数有以下几类:fx=xe,fx=xxxlnx,fx=x+e,fx=x+lnx,fx=e-x+a,fx=lnx-x+a等,在一些求参数的取值范围、零点个数、不等式证明、双变量问题中,利用复合函数单调性,复合函数零点个数等问题中常通过构造同xlnxxxx+lnxe构函数求解.利用同构函数解题要注意一些常见的凑形技巧,如;x=e,x=lne,xe=e,=xex-lnx等.11(2024届陕西省西安市部分学校高三上学期考试)已知函数fx=lnx-ax-.x(1)当a=2,求fx的极值;-ax(2)若fx≤-e恒成立,求a的取值范围.1【解析】(1)当a=2时fx=lnx-2x-,x∈0,+∞,x211-2x+x+1-x-12x+1则fx=-2+==,xx2x2x2所以在0,1上fx>0,fx单调递增,在1,+∞上fx<0,fx单调递减,当x=1时fx取得极大值,f1=0-2-1=-3,故fx的极大值为-3,无极小值.-ax1-ax1-ax1ax1(2)由fx≤-e,可得lnx-ax-≤-e,则lnx-≤ax-e,即lnx-≤lne-.xxxeax1ax令gx=lnx-,则gx≤ge,xaxlnx因为gx在0,+∞上单调递增,所以x≤e,则≤a.xlnx1-lnx令hx=,则hx=,xx21在0,e上hx>0,hx单调递增,在e,+∞上hx<0,hx单调递减,即h(x)=he=,maxe·1·11所以a≥,则a的取值范围为,+∞.ee22(2024届重庆市南开中学高三上学期第一次质量检测)已知函数fx=x+lnx+ax在x=1处的切线l和直线x+y=0垂直.(1)求实数a的值;22f(x1)-f(x2)-x1+x2(2)若对任意的x1,x2∈0,2,x1≠x2,都有>m成立(其中e为自然对数的底数),ex1-ex2求实数m的取值范围.21【解析】(1)由函数fx=x+lnx+ax,可得f(x)=2x++a,可得f1=a+3x因为函数在x=1处的切线l和直线x+y=0垂直,所以f1=1,即a+3=1,解得a=-2.x1x2(2)解:不妨设0m成立,ex1-ex222x1x22x12x2可得f(x1)-f(x2)-x1+x20,即2x-x-1=2x+1x-1>0,解得10,此时函数f(x)递增,所以f(x)极小值点为x=0,无极大值点.·2·x(2)求导fx=e-a①当a≤0时,fx>0,f(x)在R上递增②当a>0时,当x∈-∞,lna时,fx<0,f(x)在(-∞,lna)上递减,当x∈(lna,+∞)时,fx>0,此时函数f(x)在(lna,+∞)上递增.xxx(3)等价于gx=xe-alnx+x=xe-alnxex>0有两个零点,xxx令t=xe,x>0,则t=x+1e>0在x>0时恒成立,所以t=xe在x>0时单调递增,故t>0,xx所以gx=xe-alnxe有两个零点,等价于ht=t-alnt有两个零点.at-a因为h(t)=1-=,tt①当a≤0时,h(t)>0,h(t)在t>0上单调递增,不可能有两个零点,不符合题意舍去,②当a>0时,令h(t)>0,得t>a,h(t)单调递增,令h(t)<0,得00,得00恒成立,没有零点;若ha=0,得a=e,此时ht有一个零点.100a100a2若ha<0,得a>e,因为h1=1>0,he=e-a<0,h(e)=e-100a>0,100a所以h(t)在1,e,e,e上各存在一个零点,符合题意,综上,a的取值范围为(e,+∞).(三)x+alnx型同构lnx4(2023届福建省宁德市博雅培文学校高三高考前最后一卷)已知函数fx=+mm∈R.x(1)讨论函数fx的零点的个数﹔axae+12(2)当m=0时,若对任意x>0,恒有≥fxx+1,求实数a的取值范围.2lnxlnx【解析】(1)令fx=+m=0,则=-m,xxlnx1-lnx记gx=,则gx=,xx2当x>e时,gx<0,此时gx在e,+∞单调递减,当00,此时gx在0,e单调递增,1故当x=e时,gx取极大值也是最大值ge=,e又g1=0,而当10,故当00,作出gx的图象如下:·3·    11因此当-m>时,即m<-,gx=-m无交点,此时fx无零点,ee11当-m=或-m≤0时,即m=-或m≥0,gx=-m有一个交点,此时fx有一个零点,ee11当0<-m<时,即-0,恒有≥fxx+1等价于:2ax22对任意x>0,恒有axe+1≥lnxx+1,ax2令Fx=x+1lnx,则不等式等价于Fe≥Fx,x+1由于Fx=lnx+,xx+111x-1令mx=lnx+,mx=-=,xxx2x2当01,mx>0,mx单调递增,所以Fx=mx≥m1=2>0,故Fx在0,+∞单调递增,ax2ax2由Fe≥Fx得e≥x对任意x>0恒成立,alnx两边取对数得ax≥2lnx⇒≥对任意x>0恒成立,2xaa12故≥gx,所以≥⇒a≥2max2ee2故a的范围为a≥e(四)ex+ax+b型同构5(2024届福建省漳州市高三上学期第一次教学质量检测)已知函数f(x)=aex+x+1.(1)讨论f(x)的单调性;x-1(2)当x>1时,f(x)>ln+x,求实数a的取值范围.a【解析】(1)依题意,得f(x)=aex+1.当a≥0时,f(x)>0,所以f(x)在(-∞,+∞)单调递增.·4·当a<0时,令f(x)>0,可得x<-ln(-a);令f(x)<0,可得x>-ln(-a),所以f(x)在(-∞,-ln(-a))单调递增,在(-ln(-a),+∞)单调递减.综上所述,当a≥0时,f(x)在(-∞,+∞)单调递增;当a<0时,f(x)在(-∞,-ln(-a))单调递增,在(-ln(-a),+∞)单调递减.x-1xx-1(2)因为当x>1时,f(x)>ln+x,所以ae+x+1>ln+x,aa即elnaex+x+1>ln(x-1)-lna+x,即ex+lna+lna+x>ln(x-1)+x-1,即ex+lna+x+lna>eln(x-1)+ln(x-1).令h(x)=ex+x,则有h(x+lna)>h(ln(x-1))对∀x∈(1,+∞)恒成立.因为h(x)=ex+1>0,所以h(x)在(-∞,+∞)单调递增,          故只需x+lna>ln(x-1),即lna>ln(x-1)-x对∀x∈(1,+∞)恒成立.12-x令F(x)=ln(x-1)-x,则F(x)=-1=,令F(x)=0,得x=2.x-1x-1当x∈(1,2)时,F(x)>0,当x∈(2,+∞)时,F(x)<0,所以F(x)在(1,2)单调递增,在(2,+∞)单调递减,所以F(x)≤F(2)=-2.1因此lna>-2,所以a>.e2(五)lnx+ax+b型同构x+12a+x+lnx6已知fx=e-,gx=,a∈R.xx(1)当x∈1,+∞时,求函数gx的极值;(2)当a=0时,求证:fx≥gx.1-a-lnx【解析】(1)gx=,当a≥1时,gx<0,即gx在1,+∞上单调递减,x2故函数gx不存在极值;1-a当a<1时,令gx=0,得x=e,1-a1-a1-ax1,eee,+∞gx+0-gx增函数极大值减函数1-a1-a1-aa+e+1-a1+ea-1故gx极大值=ge===e+1,无极小值.e1-ae1-a综上,当a≥1时,函数gx不存在极值;·5·a-1当a<1时,函数gx有极大值,gx极大值=e+1,不存在极小值.(2)显然x>0,要证:fx≥gx,x+1x+2+lnxx+1即证:e≥,即证:xe≥lnx+x+2,xlnx+x+1即证:e≥lnx+x+1+1.令t=lnx+x+1,故只须证:et≥t+1.xx设hx=e-x-1,则hx=e-1,当x>0时,hx>0,当x<0时,hx<0,故hx在0,+∞上单调递增,在-∞,0上单调递减,x即hxmin=h0=0,所以hx≥0,从而有e≥x+1.t故e≥t+1,即fx≥gx.三、典例展示221(2024届江苏省徐州市邳州市新世纪学校高三上学期月考)已知函数fx=x+1lnx-x-ax.(1)若a=1,求fx的最小值;2ax2(2)若方程fx=axe-x有解,求实数a的取值范

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