2021年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标ⅲ）（含解析版）

2021年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷）理科数学一、选择题1.设集合，，则（）A.B.C.D.答案：B解析：由图知，.2.为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：根据此频率分布直方图，下面结论不正确的是（）A.该地农户家庭年收入低于万元的农户比率估计为B.该地农户家庭年收入不低于万元的农户比率估计为C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过万元D.估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于万元至万元之间答案：C解析：A.低于万元的比率估计为，正确.B.不低于万元的比率估计为，正确.C.平均值为万元，不正确.D.万到万的比率为，正确.3.已知，则（）A.B.C.D.答案：B解析：.4.青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据和小数记录法的数据满足.已知某同学视力的五分记录法的数据为，则其视力的小数记录法的数据约为（）（）A.B.C.D.答案：C解析：代入，知，故.5.已知，是双曲线的两个焦点，为上一点，且，，则的离心率为（）A.B.C.D.答案：A解析：记，，由及，得，，又由余弦定理知，得，从而.6.在一个正方体中，过顶点的三条棱的中点分别为，，，该正方体截去三棱锥后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是（）A.B.C.D.答案：D解析：由题可得直观图，如下图.故选D.7.等比数列的公比为，前项和为，设甲：，乙：是递增数列，则（）A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件答案：B解析：若，则.①，则单调递增；②，则单调递减，∴甲乙，又若单调递增，则恒成立，∴恒成立，∴，，∴甲乙.综上：甲乙，选B.8.2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为（单位:)，三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．右图是三角高程测量法的一个示意图，现有，，三点，且，，在同一水平面上的投影，，满足，.由点测得点的仰角为，与的差为:由点测得点的仰角为,则，两点到水平面的高度差约为（）（）A.B.C.D.答案：B解析：过C作的垂线交于点M，过B作的垂线交于点N，由题意得，，，即.所以，所以.得A，C两点到水平面的高度差约为，故选B。9.若，，则（）A.B.C.D.答案：A解析：.∴∴∴.又∵.如图，.10.将个和个随机排成一行，则个不相邻的概率为（）A.B.C.D.答案：C解析：把位置依次标为到.总数：先排个，有种，再排个，有一种，故共有种.满足题设的排法：先排个，有种.其间有个空，选个空插入有种.故.满足题设排法的另一种解释：的位置有，，，，，，，，，，共种.11.已知是半径为的球的球面上的三个点，且，，则三棱锥的体积为（）A.B.C.D.答案：A解析：记为所在圆面的圆心，则.又，所以.所以.故选A.12.设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，.若，则（）A.B.C.D.答案：D解析：∵为奇函数，∴关于中心对称，∴.因为偶函数，故关于轴对称，周期为.∴，.即，.，.故.故选D.二、填空题13.曲线在点处的切线方程为.答案：.解析：，，.切线：.14.已知向量，，.若，则.答案：解析：，.所以.15.已知，为椭圆的两个焦点，，为上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为.答案：解析：如图，由及椭圆对称性可知，四边形为矩形.设，，则，得.所以，四边形面积为.16.已知函数的部分图像如图所示，则满足条件的最小正整数为.答案：解析：由图可知，的最小正周期，∴.∵，∴，∴，.∴，∴，.∴或.结合图像可知，满足的离轴最近的正数区间，无正数；的离轴最近的正数区间为，最小正整数.三、解答题（1）必考题17.甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分別用两台机床各生产了件产品，产品的质量情况统计如下表：（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？（2）能否有的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？附：，答案：见解析解析：（1）由表格数据得：甲机床生产的产品中一级品的频率为；乙机床生产的产品中一级品的频率为；（2）由题意.所以有的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异.18.已知数列的各项均为正数，记为的前项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.①数列是等差数列：②数列是等差数列：③.注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分，①，答案：见解析解析：①，,证明：设等差数列的公差为.因为，所以，则.所以，所以.所以是首项为，公差为的等差数列.19.已知直三棱柱中，侧面为正方形，，，分别为和的中点，为棱上的点，.（1）证明：；（2）当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小？答案：见解析；解析:（1）连，取中点连，，由为，的中点，则，又，，则共面，故面.又在侧面中，则又，则.（2），则.又则.如图以为原点建立坐标轴，则，，，，.设则.则面法向量为，对面设法向量为，则，则.要求最小正弦值则求最大余弦值.当时二面角余弦值最大，则时二面角正弦值最小.20.抛物线的顶点为坐标原点，焦点在轴上，直线交于，两点，且，已知点，且与相切.（1）求，的方程；（2）设，，是上的三个点，直线，均与相切，判断直线，与的位置关系，并说明理由.答案：见解析；解析：（1）， .（2）设，，.，所以①.，所以②.所以，是方程的两根.又，所以.所以，即直线与相切.21.已知且，函数.（1）当时，求的单调区间；（2）若曲线与直线有且仅有两个交点，求的取值范围.答案：见解析；解析：（1）时，，.当时，，单调递增；当时，，单调递减.故在上单调递增，在上单调递减.（2）由题知在有两个不等根；.令，，在单调递增，在单调递减.又，，.所以且.四、选考题（2选1）22.在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）将的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设点的直角坐标为，为上的动点，点满足，写出的轨迹的参数方程，并判断与是否有公共点.答案：见解析解析：（1）.（2）设，，由.又在上，所以.则为为圆心，半径为的圆，所以所以，两圆为内含关系，所以，圆与圆无公共点.23.已知函数，.（1）画出和的图象；（2）若，求的取值范围.答案：见解析；解析：（1）；（2）当时，恒不满足，此时；当时，恒成立，必有.当时，时，，，所以.时，，，令，所以.时，，.，所以.所以，.