2020年高考数学试题(天津卷)及参考答案

2023-10-27 · U3 上传 · 24页 · 2.3 M

绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分,考试用时120分钟.第Ⅰ卷1至3页,第Ⅱ卷4至6页.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上,并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时,考生务必将答案涂写在答题卡上,答在试卷上的无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。祝各位考生考试顺利!第I卷注意事项:1.每小题选出答案后,用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.2.本卷共9小题,每小题5分,共45分.参考公式:如果事件与事件互斥,那么.如果事件与事件相互独立,那么.球的表面积公式,其中表示球的半径.一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设全集,集合,则()A. B. C. D.2.设,则“”是“”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.函数的图象大致为()A B.C. D.4.从一批零件中抽取80个,测量其直径(单位:),将所得数据分为9组:,并整理得到如下频率分布直方图,则在被抽取的零件中,直径落在区间内的个数为() A.10 B.18 C.20 D.365.若棱长为的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为()A. B. C. D.6.设,则的大小关系为()A. B. C. D.7.设双曲线的方程为,过抛物线的焦点和点的直线为.若的一条渐近线与平行,另一条渐近线与垂直,则双曲线的方程为()A. B. C. D.8.已知函数.给出下列结论:①的最小正周期为;②是的最大值;③把函数的图象上所有点向左平移个单位长度,可得到函数的图象.其中所有正确结论的序号是A.① B.①③ C.②③ D.①②③9.已知函数若函数恰有4个零点,则的取值范围是()A. B.C. D.绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学第Ⅱ卷注意事项:1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2.本卷共11小题,共105分.二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.试题中包含两个空的,答对1个的给3分,全部答对的给5分.10.是虚数单位,复数_________.11.在的展开式中,的系数是_________.12.已知直线和圆相交于两点.若,则的值为_________.13.已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为和.假定两球是否落入盒子互不影响,则甲、乙两球都落入盒子的概率为_________;甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_________.14.已知,且,则的最小值为_________.15.如图,在四边形中,,,且,则实数的值为_________,若是线段上的动点,且,则的最小值为_________.三、解答题:本大题共5小题,共75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.16.在中,角所对的边分别为.已知.(Ⅰ)求角的大小;(Ⅱ)求的值;(Ⅲ)求的值.17.如图,在三棱柱中,平面,,点分别在棱和棱上,且为棱的中点. (Ⅰ)求证:;(Ⅱ)求二面角的正弦值;(Ⅲ)求直线与平面所成角的正弦值.18.已知椭圆的一个顶点为,右焦点为,且,其中为原点.(Ⅰ)求椭圆方程;(Ⅱ)已知点满足,点在椭圆上(异于椭圆的顶点),直线与以为圆心的圆相切于点,且为线段的中点.求直线的方程.19.已知为等差数列,为等比数列,.(Ⅰ)求和的通项公式;(Ⅱ)记的前项和为,求证:;(Ⅲ)对任意的正整数,设求数列的前项和.20.已知函数,为的导函数.(Ⅰ)当时,(i)求曲线在点处的切线方程;(ii)求函数的单调区间和极值;(Ⅱ)当时,求证:对任意的,且,有.绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分,考试用时120分钟.第Ⅰ卷1至3页,第Ⅱ卷4至6页.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上,并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时,考生务必将答案涂写在答题卡上,答在试卷上的无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。祝各位考生考试顺利!第I卷注意事项:1.每小题选出答案后,用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.2.本卷共9小题,每小题5分,共45分.参考公式:如果事件与事件互斥,那么.如果事件与事件相互独立,那么.球的表面积公式,其中表示球的半径.一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设全集,集合,则()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先进行补集运算,然后进行交集运算即可求得集合的运算结果.【详解】由题意结合补集的定义可知:,则.故选:C.【点睛】本题主要考查补集运算,交集运算,属于基础题.2.设,则“”是“”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】首先求解二次不等式,然后结合不等式的解集即可确定充分性和必要性是否成立即可.【详解】求解二次不等式可得:或,据此可知:是的充分不必要条件.故选:A.【点睛】本题主要考查二次不等式的解法,充分性和必要性的判定,属于基础题.3.函数的图象大致为()A B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意首先确定函数的奇偶性,然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数的图象.【详解】由函数的解析式可得:,则函数为奇函数,其图象关于坐标原点对称,选项CD错误;当时,,选项B错误.故选:A.【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手:(1)从函数的定义域,判断图象的左右位置;从函数的值域,判断图象的上下位置.(2)从函数的单调性,判断图象的变化趋势.(3)从函数的奇偶性,判断图象的对称性.(4)从函数的特征点,排除不合要求的图象.利用上述方法排除、筛选选项.4.从一批零件中抽取80个,测量其直径(单位:),将所得数据分为9组:,并整理得到如下频率分布直方图,则在被抽取的零件中,直径落在区间内的个数为() A.10 B.18 C.20 D.36【答案】B【解析】【分析】根据直方图确定直径落在区间之间的零件频率,然后结合样本总数计算其个数即可.【详解】根据直方图,直径落在区间之间的零件频率为:,则区间内零件的个数为:.故选:B.【点睛】本题主要考查频率分布直方图的计算与实际应用,属于中等题.5.若棱长为的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出正方体的体对角线的一半,即为球的半径,利用球的表面积公式,即可得解.【详解】这个球是正方体的外接球,其半径等于正方体的体对角线的一半,即,所以,这个球的表面积为.故选:C.【点睛】本题考查正方体的外接球的表面积的求法,求出外接球的半径是本题的解题关键,属于基础题.求多面体的外接球的面积和体积问题,常用方法有:(1)三条棱两两互相垂直时,可恢复为长方体,利用长方体的体对角线为外接球的直径,求出球的半径;(2)直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行,借助球的对称性,球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点,再根据勾股定理求球的半径;(3)如果设计几何体有两个面相交,可过两个面的外心分别作两个面的垂线,垂线的交点为几何体的球心.6.设,则的大小关系为()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用指数函数与对数函数的性质,即可得出的大小关系.【详解】因为,,,所以.故选:D.【点睛】本题考查的是有关指数幂和对数值的比较大小问题,在解题的过程中,注意应用指数函数和对数函数的单调性,确定其对应值的范围.比较指对幂形式的数的大小关系,常用方法:(1)利用指数函数的单调性:,当时,函数递增;当时,函数递减;(2)利用对数函数的单调性:,当时,函数递增;当时,函数递减;(3)借助于中间值,例如:0或1等.7.设双曲线的方程为,过抛物线的焦点和点的直线为.若的一条渐近线与平行,另一条渐近线与垂直,则双曲线的方程为()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由抛物线的焦点可求得直线的方程为,即得直线的斜率为,再根据双曲线的渐近线的方程为,可得,即可求出,得到双曲线的方程.【详解】由题可知,抛物线的焦点为,所以直线的方程为,即直线的斜率为,又双曲线的渐近线的方程为,所以,,因为,解得.故选:.【点睛】本题主要考查抛物线的简单几何性质,双曲线的几何性质,以及直线与直线的位置关系的应用,属于基础题.8.已知函数.给出下列结论:①的最小正周期为;②是的最大值;③把函数的图象上所有点向左平移个单位长度,可得到函数的图象.其中所有正确结论的序号是A.① B.①③ C.②③ D.①②③【答案】B【解析】【分析】对所给选项结合正弦型函数的性质逐一判断即可.【详解】因为,所以周期,故①正确;,故②不正确;将函数的图象上所有点向左平移个单位长度,得到的图象,故③正确.故选:B.【点晴】本题主要考查正弦型函数的性质及图象的平移,考查学生的数学运算能力,逻辑分析那能力,是一道容易题.9.已知函数若函数恰有4个零点,则的取值范围是()A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由,结合已知,将问题转化为与有个不同交点,分三种情况,数形结合讨论即可得到答案.【详解】注意到,所以要使恰有4个零点,只需方程恰有3个实根即可,令,即与的图象有个不同交点.因为,当时,此时,如图1,与有个不同交点,不满足题意;当时,如图2,此时与恒有个不同交点,满足题意;当时,如图3,当与相切时,联立方程得,令得,解得(负值舍去),所以.综上,的取值范围为.故选:D.【点晴】本题主要考查函数与方程的应用,考查数形结合思想,转化与化归思想,是一道中档题.绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学第Ⅱ卷注意事项:1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2.本卷共11小题,共105分.二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.试题中包含两个空的,答对1个的给3分,全部答对的给5分.10.是虚数单位,复数_________.【答案】【解析】【分析】将分子分母同乘以分母的共轭复数,然后利用运算化简可得结果.【详解】.故答案为:.【点睛】本题考查复数的四则运算,属于基础题.11.在的展开式中,的系数是_________.【答案】10【解析】【分析】写出二项展开式的通项公式,整理后令的指数为2,即可求出.【详解】因为的展开式的通项公式为,令,解得.所以的系数为.故答案为:.【点睛】本题主要考查二项展开式的通项公式的应用,属于基础题.12.已知直线和圆相交于两点.若,则的值为_________.【答案】5【解析】【分析】根据圆的方程得到圆心坐标和半径,由点到直线的距离公式可求出圆心到直线的距离,进而利用弦长公式,即可求得.【详解】因为圆心到直线的距离,由可得,解得.故答案为:.【点睛】本题主要考查圆的弦长问题,涉及圆的标准方程和点到直线的距离公式,属于基础题.13.已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为和.假定两球是否落入盒子互不影响,则甲、乙两球都落入盒子的概率为_________;甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_________.【答案】(1).(2).【解析】【分析】根据相互独立事件同时发生的概率关系,即可求出两球都落入盒子的概率;同理可求两球都不落入盒子的概率,进而求出至少一球落入盒子的概率.【详解】甲、乙两球落入盒子的概率分别为,且两球是否落入盒子互不影响,所以甲、乙都落入盒子概率为,甲、乙两球都不落入盒子的概率为,所以甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为.故答案为:;.【点睛】本题主要考查独立事件同时发生的概率,以及利用对立事件求概率,属于基础题.14.已知,且,则的最小值为_________.【答案】4【解析】【分析】根据已知条件,将所求的式子化为,利用基本不等式即可求解.【详解】,,,当且仅当=4时取等号,结合,解得,或时

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