2007年上海高考数学真题(理科)试卷(word解析版)

2023-10-27 · U3 上传 · 18页 · 1 M

绝密★启用前2007年普通高等学校招生全国统一考试(上海卷)数学试卷(理工农医类)(满分150分,考试时间120分钟)考生注意1.本场考试时间120分钟,试卷共4页,满分150分,答题纸共2页.2.作答前,在答题纸正面填写姓名、准考证号,反面填写姓名,将核对后的条形码贴在答题纸指定位置.3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域,不得错位.在试卷上作答一律不得分.4.用2B铅笔作答选择题,用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.一.填空题(本大题满分44分)本大题共有11题,只要求直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分.1.函数的定义域是.2.若直线与直线平行,则.3.函数的反函数.4.方程的解是.5.已知,且,则的最大值是.6.函数的最小正周期.7.在五个数字中,若随机取出三个数字,则剩下两个数字都是奇数的概率是(结果用数值表示).8.以双曲线的中心为焦点,且以该双曲线的左焦点为顶点的抛物线方程是.9.对于非零实数,以下四个命题都成立:①;②;③若,则;④若,则.那么,对于非零复数,仍然成立的命题的所有序号是.10.在平面上,两条直线的位置关系有相交、平行、重合三种.已知是两个相交平面,空间两条直线在上的射影是直线,在上的射影是直线.用与,与的位置关系,写出一个总能确定与是异面直线的充分条件:.11.已知为圆上任意一点(原点除外),直线的倾斜角为弧度,记.在右侧的坐标系中,画出以为坐标的点的轨迹的大致图形为二.选择题(本大题满分16分)本大题共有4题,每题都给出代号为A,B,C,D的四个结论,其中有且只有一个结论是正确的,必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内,选对得4分,不选、选错或者选出的代号超过一个(不论是否都写在圆括号内),一律得零分.12.已知,且(是虚数单位)是实系数一元二次方程的两个根,那么的值分别是( )A. B.C. D.13.设是非零实数,若,则下列不等式成立的是( )A.B.C.D.14.直角坐标系中,分别是与轴正方向同向的单位向量.在直角三角形中,若,则的可能值个数是( )A.1B.2C.3D.415.设是定义在正整数集上的函数,且满足:“当成立时,总可推出成立”.那么,下列命题总成立的是( )A.若成立,则当时,均有成立B.若成立,则当时,均有成立C.若成立,则当时,均有成立D.若成立,则当时,均有成立三.解答题(本大题满分90分)本大题共有6题,解答下列各题必须写出必要的步骤.16.(本题满分12分)如图,在体积为1的直三棱柱中,.求直线与平面所成角的大小(结果用反三角函数值表示).17.(本题满分14分)在中,分别是三个内角的对边.若,,求的面积.18.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.近年来,太阳能技术运用的步伐日益加快.2002年全球太阳电池的年生产量达到670兆瓦,年生产量的增长率为34%.以后四年中,年生产量的增长率逐年递增2%(如,2003年的年生产量的增长率为36%).(1)求2006年全球太阳电池的年生产量(结果精确到0.1兆瓦);(2)目前太阳电池产业存在的主要问题是市场安装量远小于生产量,2006年的实际安装量为1420兆瓦.假设以后若干年内太阳电池的年生产量的增长率保持在42%,到2010年,要使年安装量与年生产量基本持平(即年安装量不少于年生产量的95%),这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到多少(结果精确到0.1%)?19.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分7分,第2小题满分7分.已知函数,常数.(1)讨论函数的奇偶性,并说明理由;(2)若函数在上为增函数,求的取值范围.20.(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分3分,第2小题满分6分,第3小题满分9分.如果有穷数列(为正整数)满足条件,,…,,即(),我们称其为“对称数列”.例如,由组合数组成的数列就是“对称数列”.(1)设是项数为7的“对称数列”,其中是等差数列,且,.依次写出的每一项;(2)设是项数为(正整数)的“对称数列”,其中是首项为,公差为的等差数列.记各项的和为.当为何值时,取得最大值?并求出的最大值;(3)对于确定的正整数,写出所有项数不超过的“对称数列”,使得依次是该数列中连续的项;当时,求其中一个“对称数列”前项的和.21.(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分.我们把由半椭圆与半椭圆合成的曲线称作“果圆”,其中,,.如图,点,,是相应椭圆的焦点,,和,分别是“果圆”yO..x.与,轴的交点.若是边长为1的等边三角形,求“果圆”的方程;(2)当时,求的取值范围;(3)连接“果圆”上任意两点的线段称为“果圆”的弦.试研究:是否存在实数,使斜率为的“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上?若存在,求出所有可能的值;若不存在,说明理由. 绝密★启用前2007年普通高等学校招生全国统一考试(上海卷)数学试卷(理工农医类)(满分150分,考试时间120分钟)考生注意1.本场考试时间120分钟,试卷共4页,满分150分,答题纸共2页.2.作答前,在答题纸正面填写姓名、准考证号,反面填写姓名,将核对后的条形码贴在答题纸指定位置.3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域,不得错位.在试卷上作答一律不得分.4.用2B铅笔作答选择题,用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.一.填空题(本大题满分44分)本大题共有11题,只要求直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分.1.函数的定义域是.【答案】【解析】2.若直线与直线平行,则.【答案】【解析】3.函数的反函数.【答案】【解析】由4.方程的解是.【答案】【解析】(舍去),。5.已知,且,则的最大值是.【答案】【解析】,当且仅当x=4y=时取等号.6.函数的最小正周期.【答案】【解析】。7.在五个数字中,若随机取出三个数字,则剩下两个数字都是奇数的概率是(结果用数值表示).【答案】【解析】8.以双曲线的中心为焦点,且以该双曲线的左焦点为顶点的抛物线方程是.【答案】【解析】双曲线的中心为O(0,0),该双曲线的左焦点为F(-3,0),则抛物线的顶点为(-3,0),焦点为(0,0),所以p=6,所以抛物线方程是)9.对于非零实数,以下四个命题都成立:①;②;③若,则;④若,则.那么,对于非零复数,仍然成立的命题的所有序号是.【答案】②④【解析】对于①:解方程得ai,所以非零复数ai使得,①不成立;②显然成立;对于③:在复数集C中,|1|=|i|,则,所以③不成立;④显然成立。则对于任意非零复数,上述命题仍然成立的所有序号是②④10.在平面上,两条直线的位置关系有相交、平行、重合三种.已知是两个相交平面,空间两条直线在上的射影是直线,在上的射影是直线.用与,与的位置关系,写出一个总能确定与是异面直线的充分条件:.【答案】,并且与相交(,并且与相交)【解析】作图易得“能成为是异面直线的充分条件”的是“,并且与相交”或“,并且与相交”。11.已知为圆上任意一点(原点除外),直线的倾斜角为弧度,记.在右侧的坐标系中,画出以为坐标的点的轨迹的大致图形为【答案】【解析】二.选择题(本大题满分16分)本大题共有4题,每题都给出代号为A,B,C,D的四个结论,其中有且只有一个结论是正确的,必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内,选对得4分,不选、选错或者选出的代号超过一个(不论是否都写在圆括号内),一律得零分.12.已知,且(是虚数单位)是实系数一元二次方程的两个根,那么的值分别是( )A. B.C. D.【答案】A【解析】因为2ai,bi(i是虚数单位)是实系数一元二次方程的两个根,所以a=-1,b=2,所以实系数一元二次方程的两个根是所以。13.设是非零实数,若,则下列不等式成立的是( )A.B.C.D.【答案】C【解析】若aba2b2,A不成立;若B不成立;若a=1,b=2,则,所以D不成立,故选C。14.直角坐标系中,分别是与轴正方向同向的单位向量.在直角三角形中,若,则的可能值个数是( )A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】解法一:(1)若A为直角,则;(2)若B为直角,则;(3)若C为直角,则。所以k的可能值个数是2,选B解法二:数形结合.如图,将A放在坐标原点,则B点坐标为(2,1),C点坐标为(3,k),所以C点在直线x=3上,由图知,只可能A、B为直角,C不可能为直角.所以k的可能值个数是2,选B15.设是定义在正整数集上的函数,且满足:“当成立时,总可推出成立”.那么,下列命题总成立的是( )A.若成立,则当时,均有成立B.若成立,则当时,均有成立C.若成立,则当时,均有成立D.若成立,则当时,均有成立【答案】D【解析】对A,当k=1或2时,不一定有成立;对B,应有成立;对C,只能得出:对于任意的,均有成立,不能得出:任意的,均有成立;对D,对于任意的,均有成立。故选D。三.解答题(本大题满分90分)本大题共有6题,解答下列各题必须写出必要的步骤.16.(本题满分12分)如图,在体积为1的直三棱柱中,.求直线与平面所成角的大小(结果用反三角函数值表示).【解析】法一:由题意,可得体积,.连接.,平面,是直线与平面所成的角.,,则=.即直线与平面所成角的大小为.法二:由题意,可得体积,,如图,建立空间直角坐标系.得点,,.则,平面的法向量为.设直线与平面所成的角为,与的夹角为,则,,即直线与平面所成角的大小为.17.(本题满分14分)在中,分别是三个内角的对边.若,,求的面积.【解析】由题意,得为锐角,,,由正弦定理得,.18.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.近年来,太阳能技术运用的步伐日益加快.2002年全球太阳电池的年生产量达到670兆瓦,年生产量的增长率为34%.以后四年中,年生产量的增长率逐年递增2%(如,2003年的年生产量的增长率为36%).(1)求2006年全球太阳电池的年生产量(结果精确到0.1兆瓦);(2)目前太阳电池产业存在的主要问题是市场安装量远小于生产量,2006年的实际安装量为1420兆瓦.假设以后若干年内太阳电池的年生产量的增长率保持在42%,到2010年,要使年安装量与年生产量基本持平(即年安装量不少于年生产量的95%),这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到多少(结果精确到0.1%)?【解析】(1)由已知得2003,2004,2005,2006年太阳电池的年生产量的增长率依次为,,,.则2006年全球太阳电池的年生产量为(兆瓦).(2)设太阳电池的年安装量的平均增长率为,则.解得.因此,这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到.19.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分7分,第2小题满分7分.已知函数,常数.(1)讨论函数的奇偶性,并说明理由;(2)若函数在上为增函数,求的取值范围.【解析】(1)当时,,对任意,,为偶函数.当时,,取,得,,函数既不是奇函数,也不是偶函数.(2)解法一:设,,要使函数在上为增函数,必须恒成立.,即恒成立.又,.的取值范围是.解法二:当时,,显然在为增函数.当时,反比例函数在为增函数,在为增函数.当时,同解法一.20.(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分3分,第2小题满分6分,第3小题满分9分.如果有穷数列(为正整数)满足条件,,…,,即(),我们称其为“对称数列”.例如,由组合数组成的数列就是“对称数列”.(1)设是项数为7的“对称数列”,其中是等差数列,且,.依次写出的每一项;(2)设是项数为(正整数)的“对称数列”,其中是首项为,公差为的等差数列.记各项的和为.当为何值时,取得最大值?并求出的最大值;(3)对于确定的正整数,写出所有项数不超过的“对称数列”,使得依次是该数列中连续的项;当时,求其中一个“对称数列”前项的和.【解析】(1)设的公差为,则,

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