2012年上海高考数学真题(文科)试卷(word解析版)

2023-10-27 · U3 上传 · 24页 · 1.2 M

绝密★启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试(上海卷)数学试卷(文史类)(满分150分,考试时间120分钟)考生注意1.本场考试时间120分钟,试卷共4页,满分150分,答题纸共2页.2.作答前,在答题纸正面填写姓名、准考证号,反面填写姓名,将核对后的条形码贴在答题纸指定位置.3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域,不得错位.在试卷上作答一律不得分.4.用2B铅笔作答选择题,用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.一、填空题(本大题共有14题,满分56分)1.计算:=(i为虚数单位).2.若集合,,则=.3.函数的最小正周期是.4.若是直线的一个方向向量,则的倾斜角的大小为(结果用反三角函数值表示).5.一个高为2的圆柱,底面周长为2,该诉表面积为.6.方程的解是.7.有一列正方体,棱长组成以1为首项,为公比的等比数列,体积分别记为V1,V2,…,Vn,…,则.8.在的二项展开式中,常数项等于.9.已知是奇函数.若且.,则.OMxl10.满足约束条件的目标函数的最小值是.11.三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人只选择一个项目,则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是(结果用最简分数表示).12.在知形ABCD中,边AB、AD的长分别为2、1.若M、N分别是边BC、CD上的点,且满足,则的取值范围是.13.已知函数的图像是折线段ABC,若中A(0,0),B(,1),C(1,0).函数的图像与x轴围成的图形的面积为.14.已知.各项均为正数的数列满足,.若,则的值是.二、选择题(本大题共有4题,满分20分)15.若是关于x的实系数方程的一个复数根,则 () (A). (B). (C).(D).16.对于常数、,“”是“方程的曲线是椭圆”的 () (A)充分不必要条件. (B)必要不充分条件 (C)充分必要条件. (D)既不充分也不必要条件.17.在中,若,则的形状是 ()(A)钝角三角形. (B)直角三角形 (C)锐角三角形.(D)不能确定.18.若,则在中,正数的个数是 () (A)16. (B)72. (C)86. (D)100.三、解答题(本大题共有5题,满分74分)PABCD19.如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥底面ABC,D是PC的中点.已知∠BAC=,AB=2,AC=2,PA=2.求:(1)三棱锥P-ABC的体积;(6分)(2)异面直线BC与AD所成的角的大小(结果用反三角函数值表示).(6分)20.已知函数.(1)若,求的取值范围;(6分)(2)若是以2为周期的偶函数,且当时,有,求函数的反函数.(8分)xOyPA21.海事救援船对一艘失事船进行定位:以失事船的当前位置为原点,以正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系(以1海里为单位长度),则救援船恰在失事船的正南方向12海里A处,如图.现假设:①失事船的移动路径可视为抛物线;②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援;③救援船出发小时后,失事船所在位置的横坐标为.(1)当时,写出失事船所在位置P的纵坐标.若此时两船恰好会合,求救援船速度的大小和方向;(6分)(2)问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船?(8分)22.在平面直角坐标系中,已知双曲线.(1)设F是C的左焦点,M是C右支上一点.若|MF|=2,求过M点的坐标;(5分)(2)过C的左顶点作C的两条渐近线的平行线,求这两组平行线围成的平行四边形的面积;(5分)(3)设斜率为的直线l交C于P、Q两点,若l与圆相切,求证:OP⊥OQ;(6分)23.对于项数为m的有穷数列数集,记(k=1,2,…,m),即为中的最大值,并称数列是的控制数列.如1,3,2,5,5的控制数列是1,3,3,5,5.(1)若各项均为正整数的数列的控制数列为2,3,4,5,5,写出所有的;(4分)(2)设是的控制数列,满足(C为常数,k=1,2,…,m).求证:(k=1,2,…,m);(6分)(3)设m=100,常数.若,是的控制数列,求. 2012年上海高考数学(文科)试卷解答一、填空题(本大题共有14题,满分56分)1.计算:=1-2i(i为虚数单位).2.若集合,,则=.3.函数的最小正周期是.4.若是直线的一个方向向量,则的倾斜角的大小为(结果用反三角函数值表示).5.一个高为2的圆柱,底面周长为2,该诉表面积为6.6.方程的解是.7.有一列正方体,棱长组成以1为首项,为公比的等比数列,体积分别记为V1,V2,…,Vn,…,则.8.在的二项展开式中,常数项等于-20.9.已知是奇函数.若且.,则3.10.满足约束条件的目标函数的最小值是-2.11.三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人只选择一个项目,则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是(结果用最简分数表示).12.在知形ABCD中,边AB、AD的长分别为2、1.若M、N分别是边BC、CD上的点,且满足,则的取值范围是[1,4].13.已知函数的图像是折5线段ABC,若中A(0,0),B(,1),C(1,0).函数的图像与x轴围成的图形的面积为.14.已知.各项均为正数的数列满足,.若,则的值是.二、选择题(本大题共有4题,满分20分)15.若是关于x的实系数方程的一个复数根,则 (D) (A). (B). (C).(D).16.对于常数、,“”是“方程的曲线是椭圆”的 (B) (A)充分不必要条件. (B)必要不充分条件 (C)充分必要条件. (D)既不充分也不必要条件.17.在中,若,则的形状是 (A) (A)钝角三角形. (B)直角三角形. (C)锐角三角形. (D)不能确定.18.若,则在中,正数的个数是 (C) (A)16. (B)72. (C)86. (D)100.三、解答题(本大题共有5题,满分74分)PABCD19.如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥底面ABC,D是PC的中点.已知∠BAC=,AB=2,AC=2,PA=2.求:(1)三棱锥P-ABC的体积;(6分)(2)异面直线BC与AD所成的角的大小(结果用反三角函数值表示).(6分)[解](1),2分PABCDE三棱锥P-ABC的体积为.6分(2)取PB的中点E,连接DE、AE,则ED∥BC,所以∠ADE(或其补角)是异面直线BC与AD所成的角.8分在三角形ADE中,DE=2,AE=,AD=2,,所以∠ADE=.因此,异面直线BC与AD所成的角的大小是.12分20.已知函数.(1)若,求的取值范围;(6分)(2)若是以2为周期的偶函数,且当时,有,求函数的反函数.(8分)[解](1)由,得.由得.……3分因为,所以,.由得.……6分(2)当x[1,2]时,2-x[0,1],因此.……10分由单调性可得.因为,所以所求反函数是,.……14分21.海事救援船对一艘失事船进行定位:以失事船的当前位置为原点,以正北方向为y轴xOyPA正方向建立平面直角坐标系(以1海里为单位长度),则救援船恰在失事船的正南方向12海里A处,如图.现假设:①失事船的移动路径可视为抛物线;②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援;③救援船出发小时后,失事船所在位置的横坐标为.(1)当时,写出失事船所在位置P的纵坐标.若此时两船恰好会合,求救援船速度的大小和方向;(6分)(2)问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船?(8分)[解](1)时,P的横坐标xP=,代入抛物线方程中,得P的纵坐标yP=3.……2分由|AP|=,得救援船速度的大小为海里/时.……4分由tan∠OAP=,得∠OAP=arctan,故救援船速度的方向为北偏东arctan弧度.……6分(2)设救援船的时速为海里,经过小时追上失事船,此时位置为.由,整理得.……10分因为,当且仅当=1时等号成立,所以,即.因此,救援船的时速至少是25海里才能追上失事船.……14分22.在平面直角坐标系中,已知双曲线.(1)设F是C的左焦点,M是C右支上一点.若|MF|=2,求过M点的坐标;(5分)(2)过C的左顶点作C的两条渐近线的平行线,求这两组平行线围成的平行四边形的面积;(5分)(3)设斜率为的直线l2交C于P、Q两点,若l与圆相切,求证:OP⊥OQ;(6分)[解](1)双曲线,左焦点.设,则,……2分由M是右支上一点,知,所以,得.所以.……5分(2)左顶点,渐近线方程:.过A与渐近线平行的直线方程为:,即.解方程组,得.……8分所求平行四边形的面积为.……10分(3)设直线PQ的方程是.因直线与已知圆相切,故,即(*).由,得.设P(x1,y1)、Q(x2,y2),则.,所以.由(*)知,所以OP⊥OQ.……16分23.对于项数为m的有穷数列数集,记(k=1,2,…,m),即为中的最大值,并称数列是的控制数列.如1,3,2,5,5的控制数列是1,3,3,5,5.(1)若各项均为正整数的数列的控制数列为2,3,4,5,5,写出所有的;(4分)(2)设是的控制数列,满足(C为常数,k=1,2,…,m).求证:(k=1,2,…,m);(6分)(3)设m=100,常数.若,是的控制数列,求.[解](1)数列为:2,3,4,5,1;2,3,4,5,2;2,3,4,5,3;2,3,4,5,4;2,3,4,5,5.……4分(2)因为,,所以.……6分因为,,所以,即.……8分因此,.……10分(3)对,;;;.比较大小,可得.……12分因为,所以,即;,即.又,从而,,,.……15分因此=====.……18分 2012上海高考数学试题(文科)答案与解析填空题(本大题共有14题,满分56分)1.计算:=(i为虚数单位).【答案】 1-2i【解析】==1-2i【点评】本题着重考查复数的除法运算,首先将分子、分母同乘以分母的共轭复数,净分母实数化即可。2.若集合,,则=.【答案】 【解析】由集合A可得:x>,由集合B可得:-1<经<1,所以,=【点评】本题考查集合的概念和性质的运用,同时考查了一元一次不等式和绝对值不等的解法,解决此类问题,首先分清集合的元素的构成,然后,借助于数轴可得。3.函数的最小正周期是.【答案】 【解析】根据韪得:【点评】本题主要考查行列式的基本运算、三角函数的周期性、二倍角公式.考纲中明确要求掌握二阶行列式的运算性质,属于容易题,难度较小.4.若是直线的一个方向向量,则的倾斜角的大小为        (结果用反三角函数值表示).【答案】 【解析】设直线的倾斜角为,则.【点评】本题主要考查直线的方向向量、直线的倾斜角与斜率的关系、反三角函数的表示.直线的倾斜角的取值情况一定要注意,属于低档题,难度较小.5.一个高为2的圆柱,底面周长为,该圆柱的表面积为.【答案】【解析】根据该圆柱的底面周长得底面圆的半径为,所以该圆柱的表面积为:.【点评】本题主要考查空间几何体的表面积公式.审清题意,所求的为圆柱的表面积,不是侧面积,也不是体积,其次,对空间几何体的表面积公式要记准记牢,属于中低档题.6.方程的解是.【答案】【解析】根据方程,化简得,令,则原方程可化为,解得或,即.所以原方程的解为.【点评】本题主要考查指数型方程、指数的运算、指数与对数形式的互化、换元法在求解数学问题中的运用.本题容易产生增根,要注意取舍,切勿随意处理,导致不必要的错误.本题属于中低档题目,难度适中.7.有一列正方体,棱长组成以1为首项、为公比的等比数列,体积分别记为,则.【答案】【解析】由正方体的棱长组成以为首项,为公比的等比数列,可知它们的体积则组成了一个以1为首项,为公比的等比数列,因此,.【点评】本题主要考查无穷递缩等比数列的极限、等比数列的通项公式、等比数列的定义.考查知识较综合.8.在的二项式展开式中,常数项等于.【答案】【解析】根据所给二项式的构成,构成的常数项只有一项,就是.【点评】本题主要考查二项式定理.对于二项式的展开式要清楚,特别注意常数项的构成.属于中档题.9.已知是奇函数,若且,则.【答案】【解析】因为函数为奇函数,所以有,即.【点评】本题主要考查函数的奇偶性.在运用此性质解题时要注意:函数为奇

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