2021年高考真题数学【新高考全国Ⅰ卷】(山东卷)（含解析版）

2021年普通高等学校招生全国统一考试（新高考I卷）数学一、单选题1.设集合，，则（）A.B.C.D.答案：B解析：，选B.2.已知，则（）A.B.C.D.答案：C解析：，选C.3.已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（）A.B.C.D.答案：B解析：设母线长为，则.4.下列区间中，函数单调递增的区间是（）A.B.C.D.答案：A解析：单调递增区间为：，令，故选A.5.已知，是椭圆的两个焦点，点在上，则的最大值为（）A.B.C.D.答案：C解析：由椭圆定义，，则，故选C.6.若，则（）A.B.C.D.答案：C解析：，故选C.7.若过点可以作曲线的两条切线，则（）A.B.C.D.答案：D解析：设切点为，∵，∴，则切线斜率，切线方程为，又∵在切线上以及上，则有，整理得，令，则，∴在单调递减，在单调递增，则在时取到极小值即最小值，又由已知过可作的两条切线，等价于有两个不同的零点，则，得，又当时，，则，∴，当时，有，即有两个不同的零点.∴.8.有个相同的球，分别标有数字，从中有放回的随机取两次，每次取个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是”，则（）A.甲与丙相互独立B.甲与丁相互独立C.乙与丙相互独立D.丙与丁相互独立答案：B解析：由题意知，两点数和为的所有可能为：，，，，，两点数和为的所有可能为：，，，，，，∴，，，，，，，，故，B正确，故选B.二、多选题9.有一组样本数据，由这组数据得到新样本数据，其中，为非零常数，则（）A.两组样本数据的样本平均数相同B.两组样本数据的样本中位数相同C.两组样本数据的样本标准差相同D.两组样本数据的样本极差相同答案：C、D解析：对于A选项：，，∴，∴A错误；对于B选项：可假设数据样本中位数为，由可知数据样本的中位数为，∴B错误；对于C选项：，∴C正确；对于D选项：∵，∴两组样本数据极差相同，∴D正确。10.已知为坐标原点，点，，，，则（）A.B.C.D.答案：A、C解析：，，∴A正确；，，,∴B错；，，∴C正确；，，∴D错.11.已知点在圆上，点，，则（）A.点到直线的距离小于B.点到直线的距离大于C.当最小时，D.当最大时，答案：A、C、D解析：由已知易得直线的方程为.圆心到直线的距离，∴直线与圆相离，则到的距离的取值范围为，又，则A正确，B错误，由图易得，当在点处时，与圆相切，此时最小，，，∴，同理当在点处，最大，此时.故C、D正确.12.在正三棱柱中，，点满足，其中，，则（）A.当时，的周长为定值B.当时，三棱锥的体积为定值C.当时，有且仅有一个点，使得D.当时，有且仅有一个点，使得平面答案：B、D解析：对于A，当时，，∴，此时在线段上运动，此时的周长不为定值，A错.对于B，当时，，此时在线段上运动,平面，点到平面的距离即为点到平面的距离，为定值，B正确.对于C，当时，，分别取，的中点，此时在线段上运动，要使，只需在平面上的射影与垂直，此时在或的位置，有两个，C错误.对于D，时，，分别取的中点，则在线段上运动，∵正三棱柱中，，，要使得平面，只需在平面上的射影与垂直，有且只有一个点即为点时，满足题意，D正确.三、填空题13.已知函数是偶函数，则.答案：解析：因为为偶函数，则，即，整理则有，故.14.已知为坐标原点，抛物线的焦点为，为上一点，与轴垂直，为轴上一点，且.若，则的准线方程为.答案：解析：因为垂直轴，故点坐标为，又因为，则，即，故，则准线方程为.15.函数的最小值为.答案：解析：当时，，，时，，时，，在上单调递减，在上单调递增，当时，，函数单调递减，综上，函数在上单调递减，在上单调递增，所以函数最小值为.16.某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折.规格为的长方形纸，对折次共可以得到，两种规格的图形，它们的面积之和，对折次共可以得到，，三种规格的图形，它们的面积之和，以此类推.则对折次共可以得到不同规格图形的种数为；如果对折次，那么.答案：解析：（1）易知有，，，，，共种规格.（2）由题可知对折次共有种规格，且面积为，故，则，记，则，故，则，故.四、解答题17.已知数列满足，.（1）记，写出，，并求数列的通项公式；（2）求的前项和.答案：见解析；解析：（1），，，，∴是以为公差的等差数列，∴.（2），，∴.18.某学校组织“一带一路”知识竞赛，有，两类问题.每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.类问题中的每个问题回答正确得分，否则得分；类问题中的每个问题回答正确得分，否则得分.已知小明能正确回答类问题的概率为，能正确回答类问题的概率为，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.（1）若小明先回答类问题，记为小明的累计得分，求的分布列；（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.答案：见解析；解析：（1）若小明先回答问题，记为小明累计得分，则的取值可能为：，，，因为各题互相独立，由分步完成原理得，，，列表如下：则的数学期望.（2）若小明先回答问题，记为小明的累计得分，则的取值可能为，，，因为各题互相独立，由独立性原理知，，，列表如下：先答类，则的数学期望为：，由（1）知，∴小明先选B类问题作答.19.记的内角的对边分别为.已知，点在边上，.（1）证明：；（2）若，求.答案：见解析；解析：（1）由，根据正弦定理可得，∴，又，∴，∴.（2），，又由（1），，，∴，∴，，∴或，或（舍），∴.20.如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点.（1）证明：；（2）若是边长为的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积.答案：见解析解析：（1）平面平面，平面平面，∵，为中点，∴，平面，∴平面，平面，∴.（2）方法一：取中点，∵为正三角形，∴，过作与交于点，则，∴，，两两垂直，以为坐标原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，，，，设，则，平面，∴平面的法向量为，，∴，不妨设，则，，则，二面角的大小为，∴，∴，，∴，∴.方法二：过作交于点，再过作交于点，显然这样会有平面，而这个正三角形加上，可知，意味着，同时很自然的也会有，而二面角很显然就是，这个是，说明，综合上面的条件，会得到，然后，再然后，故，同时，得到，那么就有.21.在平面直角坐标系中，已知点，，点满足.记的轨迹为.（1）求的方程；（2）设点在直线上，过的两条直线分别交于，两点和，两点，且，求直线的斜率与直线的斜率之和.答案：见解析解析：（1），，，，表示双曲线的右支，的方程为.（2）设，设直线的方程为：，，，，，∴，设，同理可得，∴，∴，∵，∴，.22.已知函数.（1）讨论的单调性；（2）设，为两个不相等的正数，且，证明：.答案：见解析解析：（1），令，当，，单调递增；当时，，单调递减.（2），∴，令，，即证，∴，令，，令，当，，单调递增；当时，，单调递减.∵，∴，，要证，即证，即证，令，，，单调递增，∴，左边证毕！再证右边：∵，要证，即证，令，，∴，∴在上单调递增，∴，∴，证毕！