长2019年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅱ卷）理科数学一、选择题1．设集合A＝{x|x2－5x＋6>0}，B＝{x|x－1<0}，则A∩B等于( )A．(－∞，1)B．(－2,1)C．(－3，－1)D．(3，＋∞)答案 A解析 因为A＝{x|x2－5x＋6>0}＝{x|x>3或x<2}，B＝{x|x－1<0}＝{x|x<1}，所以A∩B＝{x|x<1}，故选A.2．设z＝－3＋2i，则在复平面内对应的点位于( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案 C解析 由题意，得＝－3－2i，其在复平面内对应的点为(－3，－2)，位于第三象限，故选C.3．已知＝(2,3)，＝(3，t)，||＝1，则·等于( )A．－3B．－2C．2D．3答案 C解析 因为＝－＝(1，t－3)，所以||＝＝1，解得t＝3，所以＝(1,0)，所以·＝2×1＋3×0＝2，故选C.4．2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就．实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L2点的轨道运行．L2点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M1，月球质量为M2，地月距离为R，L2点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定长푀1푀2푀1푟律，r满足方程：＋＝(R＋r).设α＝.由于α的值很小，因此在近似计算中(푅+푟)2푟2푅3푅3푎3+3푎4+푎5≈3α3，则r的近似值为( )(1+푎)2푀2푀23푀2푀2A.RB.RC.3RD.3R푀12푀1푀13푀1答案 DM1r解析 由＋＝(R＋r)，得＋＝M.因为α＝，所以＋r1푅1＋2(R)333＝(1＋α)M1，得＝.由≈3α，得3α≈，即3≈，所以r≈·R，故选D.5．演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是( )A．中位数B．平均数C．方差D．极差答案 A解析 记9个原始评分分别为a，b，c，d，e，f，g，h，i(按从小到大的顺序排列)，易知e为7个有效评分与9个原始评分的中位数，故不变的数字特征是中位数，故选A.6．若a>b，则( )A．ln(a－b)>0B．3a<3bC．a3－b3>0D．|a|>|b|答案 C解析 由函数y＝lnx的图象(图略)知，当0b时，3a>3b，故B不正确；因为函数y＝x3在R上单调递增，所以当a>b时，a3>b3，即a3－b3>0，故C正确；当b0)的焦点是椭圆＋＝1的一个焦点，则p等于( )3푝푝A．2B．3C．4D．8答案 D푝p解析 由题意知，抛物线的焦点坐标为,0，椭圆的焦点坐标为(±，0)，所以＝(2)2，解得p＝8，故选D.9．下列函数中，以为周期且在区间上单调递增的是( )A．f(x)＝|cos2x|B．f(x)＝|sin2x|C．f(x)＝cos|x|D．f(x)＝sin|x|答案 A解析 A中，函数f(x)＝|cos2x|的周期为，当x∈时，2x∈，函数f(x)单调递长增，故A正确；B中，函数f(x)＝|sin2x|的周期为，当x∈时，2x∈，函数f(x)单调递减，故B不正确；C中，函数f(x)＝cos|x|＝cosx的周期为2π，故C不正确；D中，f(x)＝sin|x|＝由正弦函数图象知，在x≥0和x<0时，f(x)均以2π为周期，但在整个定义域上f(x)不是周期函数，故D不正确．故选A.10．已知α∈，2sin2α＝cos2α＋1，则sinα等于( )15325A.B.C.D.5535答案 B解析 由2sin2α＝cos2α＋1，得4sinαcosα＝1－2sin2α＋1，即2sinαcosα＝1－sin2α.因为α∈，所以cosα＝1－sin2α，所以2sinα＝1－sin2α，解得sinα＝，故选B.푥2푦211．设F为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆푎2푏2与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为( )A.2B.3C．2D.5答案 A解析 如图，由题意知，以OF为直径的圆的方程为2＋y2＝①，将x2＋y2＝a2记为②式，①－②得x＝，则以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2的相交弦所在直线的方程为x＝，所以长|PQ|＝2.由|PQ|＝|OF|，得2＝c，整理得c4－4a2c2＋4a4＝0，即e4－4e2＋4＝0，解得e＝，故选A.12．设函数f(x)的定义域为R，满足f(x＋1)＝2f(x)，且当x∈(0,1]时，f(x)＝x(x－1)．若对8任意x∈(－∞，m]，都有f(x)≥－，则m的取值范围是( )9A.B.C.D.答案 B11解析 当－10时，－x<0，f(－x)＝－e－ax.因为函数f(x)为奇函数，所以当x>0时，f(x)＝－f(－x)＝e－ax，所以f(ln2)＝e－aln2＝a＝8，所以a＝－3.15．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b＝6，a＝2c，B＝，则△ABC的面积为________．答案 63解析 方法一 因为a＝2c，b＝6，B＝，所以由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得62＝11(2c)2＋c2－2×2c×ccos，得c＝2，所以a＝4，所以△ABC的面积S＝acsinB＝22×4×2×sin＝6.方法二 因为a＝2c，b＝6，B＝，所以由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得62＝(2c)2＋c2－2×2c×ccos，得c＝2，所以a＝4，所以a2＝b2＋c2，所以A＝，所以△ABC1的面积S＝×2×6＝6.216．中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1)．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是长一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有________个面，其棱长为________． 答案 26 2－1解析 依题意知，题中的半正多面体的上、下、左、右、前、后6个面都在正方体的表面上，且该半正多面体的表面由18个正方形，8个正三角形组成，因此题中的半正多面体共有26个面．注意到该半正多面体的俯视图的轮廓是一个正八边形，设题中的半正多面体的棱长为x，则x＋x＋x＝1，解得x＝－1，故题中的半正多面体的棱长为－1.三、解答题17.如图，长方体ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1.(1)证明：BE⊥平面EB1C1；(2)若AE＝A1E，求二面角B－EC－C1的正弦值．(1)证明 由已知得，B1C1⊥平面ABB1A1，因为BE⊂平面ABB1A1，故B1C1⊥BE.又BE⊥EC1，EC1∩B1C1＝C1所以BE⊥平面EB1C1.(2)解 长由(1)知∠BEB1＝90°.由题设知Rt△ABE≌Rt△A1B1E，所以∠AEB＝45°，故AE＝AB，AA1＝2AB.以D为坐标原点，的方向为x轴正方向，||为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz，则C(0,1,0)，B(1,1,0)，C1(0,1,2)，E(1,0,1)，＝(1,0,0)，＝(1，－1,1)，＝(0,0,2)．设平面EBC的法向量为n＝(x，y，z)，则即所以可取n＝(0，－1，－1)．设平面ECC1的法向量为m＝(x1，y1，z1)，则即所以可取m＝(1,1,0)．1于是cos〈n，m〉＝＝－，2sin〈n，m〉＝＝，所以二面角B－EC－C1的正弦值为.18．11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10∶10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立．在某局双方10∶10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束．长(1)求P(X＝2)；(2)求事件“X＝4且甲获胜”的概率．解 (1)X＝2就是10∶10平后，两人又打了2个球该局比赛结束，则这2个球均由甲得分，或者均由乙得分．因此P(X＝2)＝0.5×0.4＋(1－0.5)×(1－0.4)＝0.5.(2)X＝4且甲获胜，就是10∶10平后，两人又打了4个球该局比赛结束，且这4个球的得分情况为：前两球是甲、乙各得1分，后两球均为甲得分．因此所求概率为P＝[0.5×(1－0.4)＋(1－0.5)×0.4]×0.5×0.4＝0.1.19．已知数列{an}和{bn}满足a1＝1，b1＝0,4an＋1＝3an－bn＋4,4bn＋1＝3bn－an－4.(1)证明：{an＋bn}是等比数列，{an－bn}是等差数列；(2)求{an}和{bn}的通项公式．(1)证明 由题设得4(an＋1＋bn＋1)＝2(an＋bn)，1即a＋b＝(a＋b)．n＋1n＋12nn1又因为a＋b＝1，所以{a＋b}是首项为1，公比为的等比数列．11nn2由题设得4(an＋1－bn＋1)＝4(an－bn)＋8，即an＋1－bn＋1＝an－bn＋2.又因为a1－b1＝1，所以{an－bn}是首项为1，公差为2的等差数列．(2)解 由(1)知，an＋bn＝，an－bn＝2n－1.11所以a＝[(a＋b)＋(a－b)]＝＋n－，n2nnnn211b＝[(a＋b)－(a－b)]＝－n＋.n2nnnn2푥+120．已知函数f(x)＝lnx－.푥‒1(1)讨论f(x)的单调性，并证明f(x)有且仅有两个零点；x(2)设x0是f(x)的一个零点，证明：曲线y＝lnx在点A(x0，lnx0)处的切线也是曲线y＝e的长切线．(1)解 f(x)的定义域为(0,1