2009年广东高考(理科)数学试题及答案

2023-10-27 · U3 上传 · 6页 · 1.5 M

绝密★启用前试卷类型:B2009年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(理科)本试卷共4页,21小题,满分150分。考试用时120分钟。注意事项:1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签宇笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。2.选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。4.作答选做题时,请先用2B铅笔填涂选做题的题组号对应的信息点,再作答。漏涂、错涂、多涂的,答案无效。5.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。参考公式:锥体的体积公式,其中是锥体的底面积,是锥体的高选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.巳知全集,集合和的关系的韦恩(Venn)图如图1所示,则阴影部分所示的集合的元素共有A.3个B.2个C.1个D.无穷个2.设是复数,表示满足的最小正整数,则对虚数单位,A.8B.6C.4D.23.若函数是函数的反函数,其图像经过点,则A.B.C.D.3。4.巳知等比数列满足,且,则当时,A.B.C.D.45.给定下列四个命题:①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行;②若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直;③垂直于同一直线的两条直线相互平行;④若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.其中,为真命题的是A.①和②B.②和③C..③和④D.②和④6.一质点受到平面上的三个力(单位:牛顿)的作用而处于平衡状态.已知成角,且的大小分别为2和4,则的大小为A.6B.2C.D.F1F2F3OABCD7.2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作,若其中小张和小赵只能从事前两项工作,其余三人均能从事这四项工作,则不同的选派方案共有A.36种B.12种C.18种D.48种8.已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线〈假定为直线)行驶.甲车、乙车的速度曲线分别为(如图2所示).那么对于图中给定的,下列判断中一定正确的是A.在时刻,甲车在乙车前面B.时刻后,甲车在乙车后面C.在时刻,两车的位置相同D.时刻后,乙车在甲车前面二、填空题:本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分.(一)必做题(9~12题)9.随机抽取某产品件,测得其长度分别为,则图3所示的程序框图输出的,表示的样本的数字特征是.(注:框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”“:=”)10.若平面向量满足,平行于轴,,则.11.巳知椭圆的中心在坐标原点,长轴在轴上,离心率为,且上一点到的两个焦点的距离之和为12,则椭圆的方程为_________________.12.已知离散型随机变量的分布列如右表.若,,则,.(二)选做题(13~15题,考生只能从中选做两题)13.(坐标系与参数方程选做题)若直线与直线(为参数)垂直,则.14.(不等式选讲选做题)不等式的实数解为.15.(几何证明选讲选做题)如图4,点是圆上的点,且,则圆的面积等于.三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤,16.(本小题满分12分)已知向量互相垂直,其中.(1)求的值;(2)若,求的值.17.(本小题满分12分)根据空气质量指数API(为整数)的不同,可将空气质量分级如下表:对某城市一年(365天)的空气质量进行监测,获得API数据按照区间进行分组,得到频率分布直方图如图5(1)求直方图中的值;(2)计算一年中空气质量分别为良和轻微污染的天数;(3)求该城市某一周至少有2天的空气质量为良或轻微污染的概率.(结果用分数表示.已知,,)18.(本小题满分14分)如图6,已知正方体的棱长为2,点E是正方形的中心,点F、G分别是棱的中点.设点分别是点E、G在平面内的正投影.(1)求以E为顶点,以四边形在平面内的正投影为底面边界的棱锥的体积;(2)证明:直线;(3)求异面直线所成角的正弦值19.(本小题满分14分)已知曲线与直线交于两点和,且.记曲线在点和点之间那一段与线段所围成的平面区域(含边界)为.设点是上的任一点,且点与点和点均不重合.(1)若点是线段的中点,试求线段的中点的轨迹方程;(2)若曲线与有公共点,试求的最小值.20.(本小题满分14分)已知二次函数的导函数的图像与直线平行,且在处取得极小值.设.(1)若曲线上的点到点的距离的最小值为,求的值;(2)如何取值时,函数存在零点,并求出零点.21.(本小题满分14分)已知曲线.从点向曲线引斜率为的切线,切点为.(1)求数列的通项公式;(2)证明:答案1.解:,,所以故,选B2.解:因为,,,所以满足的最小正整数的值是4。故,选C.解:由函数是函数的反函数,可知,又其图像经过点,即,所以a=,。故答B。解:在中,令n=5,得,令n=3,得,又,所以,,从而解得,公比,,,,所以1+3+…+(2n-1)=5.解:显然①和③是假命题,故否定A,B,C,答D.6.解:依题意,可知,所以,==28.所以,力的大小为,答D。7。解:若小张和小赵两人都被选中,则不同的选派方案有种,若小张和小赵两人只有一人都被选中,则不同的选派方案有种,故,总的不同的选派方案共有12+24=36种。答A。8.解:因为速度函数是路程函数的导函数,即,所以,根据定积分的定义,比较图中速度曲线分别与x轴及直线,围成的图形的面积,即可看出,应选A。9.解:记时求得的S值为,记初始值为,则,,,……,故,答案为(1);(2)这n件产品的平均长度。10。解:设,则,依题意,得,解得或,所以或。答:或。11.解:设椭圆G的方程为,焦半径为c,依题意,得2a=12,且,解得a=6,c=,所以所以,椭圆G的方程为。12。解:依题意,得,解得答:;13.解:直线化为普通方程是,该直线的斜率为,直线(为参数)化为普通方程是,该直线的斜率为,则由两直线垂直的充要条件,得,。14。解:解得且。所以原不等式的解集为{x|且}15.解法一:连结OA,OB,则∠AOB=2∠ACB=90O,所以△AOB为等腰直角三角形,又,所以,圆O的半径R=,圆的面积等于解法二:设圆O的半径为R,在△ABC中,由正弦定理,得,解得R=,所以,圆的面积等于16.解:(1)∵向量与互相垂直,∴,即①,又②①代入②,整理,得,由,可知,∴,代入①得故,。(2)∵,∴将(1)的结果代入其中,得整理,得③,又④③代入④,整理,得由,可知,所以,解得。17.解:(1)因为,在频率分布直方图中,各个小矩形的面积之和等于1,依题意,得又所以。(2)一年中空气质量为良和的天数为(天);一年中空气质量为轻微污染的天数为(天);(3)由(2)可知,在一年之中空气质量为良或轻微污染的天数共有119+100=219(天)所以,在一年之中的任何一天空气质量为良或轻微污染的概率是,设一周中的空气质量为良或轻微污染的天数为ξ,则ξ~B(7,),(k=0,1,2,…,7)设“该城市某一周至少有2天的空气质量为良或轻微污染”为事件A,则===.18.(1)解:∵点D,分别是点A,E,G在平面内的正投影.∴四边形在平面内的正投影为四边形又⊥平面,且所以,所求锥体的体积为=(2)证明:∵⊥平面,平面,∴⊥∵在正方形中,分别是的中点,∴,∴∴⊥又∩=∴;(3)设的中点为H,连结EH,则EH∥∥CD,且EH==CD=2,∠AEH就是异面直线所成角又CD⊥平面,∴EH⊥平面在RT△AEH中,EH=2,AH=,所以EA=所以,异面直线所成角的正弦值为。解法2:(1)依题作点、在平面内的正投影、,则、分别为、的中点,连结、、、,则所求为四棱锥的体积,其底面面积为,又面,,∴.(2)以为坐标原点,、、所在直线分别作轴,轴,轴,得、,又,,,则,,,∴,,即,,又,∴平面.(3),,则,设异面直线所成角为,则.19.解:(1)解曲线C与直线的联立方程组,得,,又,所以点A,B的坐标分别为∵点是线段的中点∴点的坐标为∵点是上的任一点,且点与点和点均不重合.∴,即,且设线段的中点为(x,y),则点M的轨迹的参数方程为(s为参数,且);消去s整理,得,且所以,线段的中点的轨迹方程是,;(2)曲线可化为,它是以G(a,2)为圆心,以为半径的圆,设直线与y轴相交于点E,则E点的坐标为E(0,2);自点A做直线的垂线,交直线y=2于点F,在RT△EAF中,∠AEF=,,所以,∵,∴当且圆G与直线相切时,圆心G必定在线段FE上,且切点必定在线段AE上,于是,此时的a的值就是所求的最小值。当圆G与直线相切时,解得,或者(舍去)所以,使曲线G与平面区域D有公共点的a的最小值是.(备注:讨论圆G与直线切点的位置的必要性。若圆G的半径大于|AF|,则圆G与直线的切点将落在线段EA的延长线上,此时,圆G与平面区域D没有公共点,这时令圆G过点A,求出的a的两个值,其中的那个较小的数,才是所求。)20.解:设二次函数的解析式为则它的导函数为,∵函数的图像与直线平行,∴2a=2,解得a=1,所以,∵在处取得极小值∴,即,解得。所以,=()(1)设点点P(,)为曲线上的任意一点则点P到点的距离为由基本不等式定理可知,当且仅当时,等号“=”成立,此时=又已知点P到点的距离的最小值为,所以令两边平方整理,得当时,,解得当时,,解得所以,的值为或者;(2)函数令=()令,即(),整理,得(),①函数存在零点,等价于方程①有非零实数根,由可知,方程①不可能有零根,当k=1时,方程①变为,解得,方程①有唯一实数根,此时,函数存在唯一的零点;当k≠1时,方程①根的判别式为,令=0,解得,方程①有两个相等的实数根,此时,函数存在唯一的零点;令>0,得m(1-k)<1,当m>0时,解得,当m<0时,解得,以上两种情况下,方程①都有两个不相等的实数根,此时,函数存在两个零点,综上所述,函数存在零点的情况可概括为当k=1时,函数存在唯一的零点;当时,函数存在唯一的零点;当m>0且,或者m<0且时,函数存在两个零点,。21.(1)解:曲线可化为,所以,它表示以为圆心,以n为半径的圆,切线的方程为,联立,消去y整理,得,①,令,解得,此时,方程①化为整理,得,解得,所以∴数列的通项公式为数列的通项公式为。(2)证明:∵,∴==∵=,又令,则,要证明,只需证明当时,恒成立即可。设函数,则,∵在区间上为增函数,∴当时,,∴在区间上为单调递减函数,∴对于一切很成立,∴,即=综上,得

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