2009年广东高考（理科）数学试题及答案

绝密★启用前试卷类型：B2009年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）本试卷共4页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签宇笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题组号对应的信息点，再作答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效。5．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。参考公式：锥体的体积公式，其中是锥体的底面积，是锥体的高选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．１．巳知全集，集合和的关系的韦恩（Ｖenn）图如图1所示，则阴影部分所示的集合的元素共有A．３个Ｂ．２个Ｃ．１个Ｄ．无穷个２．设是复数，表示满足的最小正整数，则对虚数单位，Ａ．８Ｂ．６Ｃ．４Ｄ．２３．若函数是函数的反函数，其图像经过点，则Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．3。４．巳知等比数列满足，且，则当时，Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．45．给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是Ａ．①和②Ｂ．②和③Ｃ．.③和④Ｄ．②和④6．一质点受到平面上的三个力（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态．已知成角，且的大小分别为２和４，则的大小为Ａ．６Ｂ．２Ｃ．Ｄ．F1F2F3OABCD7．2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有Ａ．36种Ｂ．12种Ｃ．18种Ｄ．48种8．已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线〈假定为直线）行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为（如图2所示）．那么对于图中给定的，下列判断中一定正确的是A．在时刻，甲车在乙车前面B．时刻后，甲车在乙车后面C．在时刻，两车的位置相同D．时刻后，乙车在甲车前面二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（９～１２题）９．随机抽取某产品件，测得其长度分别为，则图3所示的程序框图输出的，表示的样本的数字特征是．（注：框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”“：=”）１０．若平面向量满足，平行于轴，，则．11．巳知椭圆的中心在坐标原点，长轴在轴上，离心率为，且上一点到的两个焦点的距离之和为12，则椭圆的方程为_________________．12．已知离散型随机变量的分布列如右表．若，，则，．（二）选做题（13~15题，考生只能从中选做两题）13．（坐标系与参数方程选做题）若直线与直线（为参数）垂直，则．14．（不等式选讲选做题）不等式的实数解为．15．(几何证明选讲选做题）如图4，点是圆上的点，且，则圆的面积等于．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤，16．(本小题满分12分）已知向量互相垂直，其中．（1）求的值；（2）若，求的值．17．（本小题满分12分）根据空气质量指数API（为整数）的不同，可将空气质量分级如下表:对某城市一年（365天）的空气质量进行监测，获得API数据按照区间进行分组，得到频率分布直方图如图5（1）求直方图中的值；（2）计算一年中空气质量分别为良和轻微污染的天数；（3）求该城市某一周至少有2天的空气质量为良或轻微污染的概率.(结果用分数表示．已知,,）18．（本小题满分１４分）如图６，已知正方体的棱长为２，点Ｅ是正方形的中心，点Ｆ、Ｇ分别是棱的中点．设点分别是点Ｅ、Ｇ在平面内的正投影．（１）求以Ｅ为顶点，以四边形在平面内的正投影为底面边界的棱锥的体积；（２）证明：直线；（３）求异面直线所成角的正弦值19．（本小题满分１４分）已知曲线与直线交于两点和，且．记曲线在点和点之间那一段与线段所围成的平面区域（含边界）为．设点是上的任一点，且点与点和点均不重合．（１）若点是线段的中点，试求线段的中点的轨迹方程；（２）若曲线与有公共点，试求的最小值．20．（本小题满分１４分）已知二次函数的导函数的图像与直线平行，且在处取得极小值．设．（１）若曲线上的点到点的距离的最小值为，求的值；（２）如何取值时，函数存在零点，并求出零点．21．（本小题满分１４分）已知曲线．从点向曲线引斜率为的切线，切点为．（１）求数列的通项公式；（２）证明：答案1.解：，，所以故，选B2.解：因为，，，所以满足的最小正整数的值是4。故，选C.解：由函数是函数的反函数，可知，又其图像经过点，即，所以a=,。故答B。解：在中，令n=5,得，令n=3,得，又，所以，，从而解得，公比，，，，所以1+3+…+（2n-1）=5.解：显然①和③是假命题，故否定A,B,C,答D.6.解：依题意，可知，所以，==28.所以，力的大小为，答D。7。解：若小张和小赵两人都被选中，则不同的选派方案有种，若小张和小赵两人只有一人都被选中，则不同的选派方案有种，故，总的不同的选派方案共有12+24=36种。答A。8.解：因为速度函数是路程函数的导函数，即，所以，根据定积分的定义，比较图中速度曲线分别与x轴及直线，围成的图形的面积，即可看出，应选A。9.解：记时求得的S值为,记初始值为,则,,,……,故,答案为(1)；(2)这n件产品的平均长度。10。解：设，则，依题意，得，解得或，所以或。答：或。11.解：设椭圆G的方程为，焦半径为c,依题意，得2a=12，且，解得a=6，c=,所以所以，椭圆G的方程为。12。解：依题意，得，解得答：；13．解：直线化为普通方程是，该直线的斜率为，直线（为参数）化为普通方程是，该直线的斜率为，则由两直线垂直的充要条件，得，。14。解：解得且。所以原不等式的解集为{x|且}15．解法一：连结OA，OB，则∠AOB=2∠ACB=90O，所以△AOB为等腰直角三角形，又，所以，圆O的半径R=，圆的面积等于解法二：设圆O的半径为R，在△ABC中，由正弦定理，得，解得R=，所以，圆的面积等于16．解：（1）∵向量与互相垂直，∴，即①，又②①代入②，整理，得，由，可知，∴，代入①得故，。（2）∵，∴将（1）的结果代入其中，得整理，得③，又④③代入④，整理，得由，可知，所以，解得。17.解：（1）因为，在频率分布直方图中，各个小矩形的面积之和等于1，依题意，得又所以。（2）一年中空气质量为良和的天数为（天）；一年中空气质量为轻微污染的天数为（天）；（3）由（2）可知，在一年之中空气质量为良或轻微污染的天数共有119+100=219（天）所以，在一年之中的任何一天空气质量为良或轻微污染的概率是，设一周中的空气质量为良或轻微污染的天数为ξ，则ξ~B（7，），（k=0,1,2,…,7）设“该城市某一周至少有2天的空气质量为良或轻微污染”为事件A，则===.18.(1)解：∵点D,分别是点A,Ｅ,Ｇ在平面内的正投影．∴四边形在平面内的正投影为四边形又⊥平面，且所以，所求锥体的体积为=（２）证明：∵⊥平面，平面，∴⊥∵在正方形中，分别是的中点，∴，∴∴⊥又∩=∴；（３）设的中点为H，连结EH，则EH∥∥CD，且EH==CD=2，∠AEH就是异面直线所成角又CD⊥平面，∴EH⊥平面在RT△AEH中，EH=2，AH=，所以EA=所以，异面直线所成角的正弦值为。解法2：（1）依题作点、在平面内的正投影、，则、分别为、的中点，连结、、、，则所求为四棱锥的体积，其底面面积为，又面，，∴.（2）以为坐标原点，、、所在直线分别作轴，轴，轴，得、，又，，，则，，，∴，，即，，又，∴平面.（3），，则，设异面直线所成角为，则.19.解：（1）解曲线C与直线的联立方程组,得,,又，所以点A，B的坐标分别为∵点是线段的中点∴点的坐标为∵点是上的任一点，且点与点和点均不重合．∴，即，且设线段的中点为(x,y),则点M的轨迹的参数方程为（s为参数，且）；消去s整理，得，且所以，线段的中点的轨迹方程是，；（２）曲线可化为，它是以G(a,2)为圆心，以为半径的圆，设直线与y轴相交于点E，则E点的坐标为E(0,2)；自点A做直线的垂线，交直线y=2于点F，在RT△EAF中，∠AEF=，，所以，∵，∴当且圆G与直线相切时，圆心G必定在线段FE上，且切点必定在线段AE上，于是，此时的a的值就是所求的最小值。当圆G与直线相切时，解得，或者（舍去）所以，使曲线G与平面区域D有公共点的a的最小值是．（备注：讨论圆G与直线切点的位置的必要性。若圆G的半径大于|AF|,则圆G与直线的切点将落在线段EA的延长线上，此时，圆G与平面区域D没有公共点，这时令圆G过点A，求出的a的两个值，其中的那个较小的数，才是所求。）20.解：设二次函数的解析式为则它的导函数为，∵函数的图像与直线平行，∴2a=2，解得a=1,所以，∵在处取得极小值∴，即，解得。所以，=（）（1）设点点P（，）为曲线上的任意一点则点P到点的距离为由基本不等式定理可知，当且仅当时，等号“=”成立，此时=又已知点P到点的距离的最小值为，所以令两边平方整理，得当时，，解得当时，，解得所以，的值为或者；（2）函数令=（）令，即（），整理，得（），①函数存在零点，等价于方程①有非零实数根，由可知，方程①不可能有零根，当k=1时，方程①变为，解得，方程①有唯一实数根，此时，函数存在唯一的零点；当k≠1时，方程①根的判别式为，令=0，解得，方程①有两个相等的实数根，此时，函数存在唯一的零点；令>0，得m(1-k)<1,当m>0时，解得，当m<0时，解得，以上两种情况下，方程①都有两个不相等的实数根，此时，函数存在两个零点，综上所述，函数存在零点的情况可概括为当k=1时，函数存在唯一的零点；当时，函数存在唯一的零点；当m>0且，或者m<0且时，函数存在两个零点，。21.（1）解：曲线可化为，所以，它表示以为圆心，以n为半径的圆，切线的方程为，联立，消去y整理，得，①，令，解得，此时，方程①化为整理，得，解得，所以∴数列的通项公式为数列的通项公式为。（２）证明：∵，∴==∵=，又令，则，要证明，只需证明当时，恒成立即可。设函数，则，∵在区间上为增函数，∴当时，，∴在区间上为单调递减函数，∴对于一切很成立，∴，即=综上，得