2019年普通高等学校招生全国统一考试(全国Ⅰ卷)理科数学一、选择题1.已知集合M={x|-4解析 ∵N={x|-21,c=0.2∈(0,1),∴a0,∴排除C;∵f(1)=,且sin1>cos1,∴f(1)>1,∴排除B,故选D.6.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化,每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成,爻分为阳爻“”和阴爻“——”,如图就是一重卦,在所有重卦中随机取一重卦,则该重卦恰有3个阳爻的概率是( )5112111A.B.C.D.16323216答案 A解析 由6个爻组成的重卦种数为26=64,在所有重卦中随机取一重卦,该重卦恰有3个6脳5脳4205阳爻的种数为==20.根据古典概型的概率计算公式得,所求概率P==.66416故选A.7.已知非零向量a,b满足|a|=2|b|,且(a-b)⊥b,则a与b的夹角为( )A.B.C.D.答案 B解析 设a与b的夹角为α,∵(a-b)⊥b,∴(a-b)·b=0,∴a·b=b2,∴|a|·|b|cosα=1|b|2,又|a|=2|b|,∴cosα=,∵α∈[0,π],∴α=,故选B.218.如图是求的程序框图,图中空白框中应填入( )12+12+211A.A=B.A=2+2+퐴퐴11C.A=D.A=1+1+2퐴2퐴答案 A1解析 A=,k=1,1≤2成立,执行循环体;A=,k=2,2≤2成立,执行循环体;A=21,k=3,3≤2不成立,结束循环,输出A.故空白框中应填入A=.故选A.2+퐴9.记Sn为等差数列{an}的前n项和.已知S4=0,a5=5,则( )A.an=2n-5B.an=3n-101C.S=2n2-8nD.S=n2-2nnn2答案 A解析 设等差数列{an}的公差为d,∵∴解得∴an=a1+(n-1)d=-3+2(n-1)=2n-5,n(푛‒1)S=na+d=n2-4n.故选A.n1210.已知椭圆C的焦点为F1(-1,0),F2(1,0),过F2的直线与C交于A,B两点.若|AF2|=2|F2B|,|AB|=|BF1|,则C的方程为( )푥2푥2푦2A.+y2=1B.+=1232푥2푦2푥2푦2C.+=1D.+=14354答案 B解析 由题意设椭圆的方程为+=1(a>b>0),连接F1A,令|F2B|=m,则|AF2|=2m,a|BF|=3m.由椭圆的定义知,4m=2a,得m=,故|FA|=a=|FA|,则点A为椭圆C的上1221c1顶点或下顶点.令∠OAF=θ(O为坐标原点),则sinθ==.在等腰三角形ABF中,cos2푎푎1112θ==,因为cos2θ=1-2sin2θ,所以=1-22,得a2=3.又c2=331,所以b2=a2-c2=2,椭圆C的方程为+=1,故选B.11.关于函数f(x)=sin|x|+|sinx|有下述四个结论:①f(x)是偶函数;②f(x)在区间上单调递增;③f(x)在[-π,π]上有4个零点;④f(x)的最大值为2.其中所有正确结论的编号是( )A.①②④B.②④C.①④D.①③答案 C解析 f(-x)=sin|-x|+|sin(-x)|=sin|x|+|sinx|=f(x),∴f(x)为偶函数,故①正确;当0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线与C푎2푏2的两条渐近线分别交于A,B两点.若=,·=0,则C的离心率为________.答案 2→→解析 因为1·2=0,所以FB⊥FB,如图.FBFB12因为=,所以点A为F1B的中点,又点O为F1F2的中点,所以OA∥BF2,所以F1B⊥OA,所以|OF1|=|OB|,所以∠BF1O=∠F1BO,所以∠BOF2=2∠BF1O.因为直线OA,OB为双曲线C的两条渐近线,ba所以tan∠BOF=,tan∠BFO=.2푎1푏因为tan∠BOF2=tan(2∠BF1O),b所以=,所以b2=3a2,푎所以c2-a2=3a2,c即2a=c,所以双曲线的离心率e==2.푎三、解答题17.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,设(sinB-sinC)2=sin2A-sinBsinC.(1)求A;(2)若2a+b=2c,求sinC.解 (1)由已知得sin2B+sin2C-sin2A=sinBsinC,故由正弦定理得b2+c2-a2=bc,1由余弦定理得cosA==,2因为0°0,得t<,212(푡‒1)则x+x=-.12912(푡‒1)57从而-=,得t=-.92837所以l的方程为y=x-.28(2)由=3可得y1=-3y2,由可得y2-2y+2t=0,所以y1+y2=2,从而-3y2+y2=2,故y2=-1,y1=3,1代入C的方程得x=3,x=,123即A(3,3),B,故|AB|=.20.已知函数f(x)=sinx-ln(1+x),f′(x)为f(x)的导数,证明:蟺(1)f′(x)的区间‒1,上存在唯一极大值点;(2)(2)f(x)有且仅有2个零点.1证明 (1)设g(x)=f′(x),则g(x)=cosx-,g′(x)=-sinx+.1+푥当x∈时,g′(x)单调递减,而g′(0)>0,g′<0,可得g′(x)在有唯一零点,设为α.则当x∈(-1,α)时,g′(x)>0;当x∈时,g′(x)<0.所以g(x)在(-1,α)上单调递增,在上单调递减,故g(x)在上存在唯