2014年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标ⅰ）（含解析版）

2014年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）一、选择题（共12小题，每小题5分）1．（5分）已知集合A={x|x22x3≥0}，B={x|2≤x＜2}，则A∩B=（ ）A．[1，2）B．[1，1]C．[1，2）D．[2，1]2．（5分）=（ ）A．1+iB．1iC．1+iD．1i3．（5分）设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论正确的是（ ）A．f（x）•g（x）是偶函数B．|f（x）|•g（x）是奇函数C．f（x）•|g（x）|是奇函数D．|f（x）•g（x）|是奇函数4．（5分）已知F为双曲线C：x2my2=3m（m＞0）的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为（ ）A．B．3C．mD．3m5．（5分）4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为（ ）A．B．C．D．6．（5分）如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示为x的函数f（x），则y=f（x）在[0，π]的图象大致为（ ）A．B．第1页（共28页）C．D．7．（5分）执行如图的程序框图，若输入的a，b，k分别为1，2，3，则输出的M=（ ）A．B．C．D．8．（5分）设α∈（0，），β∈（0，），且tanα=，则（ ）A．3αβ=B．3α+β=C．2αβ=D．2α+β=9．（5分）不等式组的解集记为D，有下列四个命题：p1：∀（x，y）∈D，x+2y≥2p2：∃（x，y）∈D，x+2y≥2p3：∀（x，y）∈D，x+2y≤3p4：∃（x，y）∈D，x+2y≤1其中真命题是（ ）A．p2，p3B．p1，p4C．p1，p2D．p1，p310．（5分）已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若=4，则|QF|=（ ）A．B．3C．D．2第2页（共28页）3211．（5分）已知函数f（x）=ax3x+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则实数a的取值范围是（ ）A．（1，+∞）B．（2，+∞）C．（∞，1）D．（∞，2）12．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（ ）A．6B．6C．4D．4 二、填空题（共4小题，每小题5分）13．（5分）（xy）（x+y）8的展开式中x2y7的系数为 ．（用数字填写答案）14．（5分）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为 ．15．（5分）已知A，B，C为圆O上的三点，若=（+），则与的夹角为 ．16．（5分）已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，a=2且（2+b）（sinAsinB）=（cb）sinC，则△ABC面积的最大值为 ． 第3页（共28页）三、解答题17．（12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，an≠0，anan+1=λSn1，其中λ为常数．（Ⅰ）证明：an+2an=λ（Ⅱ）是否存在λ，使得{an}为等差数列？并说明理由．18．（12分）从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：（Ⅰ）求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2（同一组中数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2．（i）利用该正态分布，求P（187.8＜Z＜212.2）；（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间（187.8，212.2）的产品件数，利用（i）的结果，求EX．附：≈12.2．若Z～N（μ，σ2）则P（μσ＜Z＜μ+σ）=0.6826，P（μ2σ＜Z＜μ+2σ）=0.9544．第4页（共28页）19．（12分）如图，三棱柱ABCA1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，AB⊥B1C．（Ⅰ）证明：AC=AB1；（Ⅱ）若AC⊥AB1，∠CBB1=60°，AB=BC，求二面角AA1B1C1的余弦值．20．（12分）已知点A（0，2），椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，F是椭圆的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．21．（12分）设函数f（x）=aexlnx+，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处得切线方程为y=e（x1）+2．（Ⅰ）求a、b；（Ⅱ）证明：f（x）＞1． 第5页（共28页）选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB=CE．（Ⅰ）证明：∠D=∠E；（Ⅱ）设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB=MC，证明：△ADE为等边三角形． 选修4-4：坐标系与参数方程23．已知曲线C：+=1，直线l：（t为参数）（Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程．（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值． 选修4-5：不等式选讲24．若a＞0，b＞0，且+=．（Ⅰ）求a3+b3的最小值；（Ⅱ）是否存在a，b，使得2a+3b=6？并说明理由． 第6页（共28页）2014年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）参考答案与试题解析 一、选择题（共12小题，每小题5分）1．（5分）已知集合A={x|x22x3≥0}，B={x|2≤x＜2}，则A∩B=（ ）A．[1，2）B．[1，1]C．[1，2）D．[2，1]【考点】1E：交集及其运算．菁优网版权所有【专题】5J：集合．【分析】求出A中不等式的解集确定出A，找出A与B的交集即可．【解答】解：由A中不等式变形得：（x3）（x+1）≥0，解得：x≥3或x≤1，即A=（∞，1]∪[3，+∞），∵B=[2，2），∴A∩B=[2，1]．故选：D．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键． 2．（5分）=（ ）A．1+iB．1iC．1+iD．1i【考点】A5：复数的运算．菁优网版权所有【专题】5N：数系的扩充和复数．【分析】由条件利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，计算求得结果．【解答】解：==（1+i）=1i，故选：D．【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性第7页（共28页）质，属于基础题． 3．（5分）设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论正确的是（ ）A．f（x）•g（x）是偶函数B．|f（x）|•g（x）是奇函数C．f（x）•|g（x）|是奇函数D．|f（x）•g（x）|是奇函数【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断．菁优网版权所有【专题】51：函数的性质及应用．【分析】根据函数奇偶性的性质即可得到结论．【解答】解：∵f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，∴f（x）=f（x），g（x）=g（x），f（x）•g（x）=f（x）•g（x），故函数是奇函数，故A错误，|f（x）|•g（x）=|f（x）|•g（x）为偶函数，故B错误，f（x）•|g（x）|=f（x）•|g（x）|是奇函数，故C正确．|f（x）•g（x）|=|f（x）•g（x）|为偶函数，故D错误，故选：C．【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断，根据函数奇偶性的定义是解决本题的关键． 4．（5分）已知F为双曲线C：x2my2=3m（m＞0）的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为（ ）A．B．3C．mD．3m【考点】KC：双曲线的性质．菁优网版权所有【专题】11：计算题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】双曲线方程化为标准方程，求出焦点坐标，一条渐近线方程，利用点到直线的距离公式，可得结论．【解答】解：双曲线C：x2my2=3m（m＞0）可化为，第8页（共28页）∴一个焦点为（，0），一条渐近线方程为=0，∴点F到C的一条渐近线的距离为=．故选：A．【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查点到直线的距离公式，属于基础题． 5．（5分）4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为（ ）A．B．C．D．【考点】C6：等可能事件和等可能事件的概率．菁优网版权所有【专题】11：计算题；5I：概率与统计．【分析】求得4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动、周六、周日都有同学参加公益活动的情况，利用古典概型概率公式求解即可．【解答】解：4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，共有24=16种情况，周六、周日都有同学参加公益活动，共有242=162=14种情况，∴所求概率为=．故选：D．【点评】本题考查古典概型，是一个古典概型与排列组合结合的问题，解题时先要判断该概率模型是不是古典概型，再要找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数． 6．（5分）如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示为x的函数f（x），则y=f（x）在[0，π]的图象大致为（ ）第9页（共28页）A．B．C．D．【考点】3P：抽象函数及其应用．菁优网版权所有【专题】57：三角函数的图像与性质．【分析】在直角三角形OMP中，求出OM，注意长度、距离为正，再根据直角三角形的锐角三角函数的定义即可得到f（x）的表达式，然后化简，分析周期和最值，结合图象正确选择．【解答】解：在直角三角形OMP中，OP=1，∠POM=x，则OM=|cosx|，∴点M到直线OP的距离表示为x的函数f（x）=OM|sinx|=|cosx|•|sinx|=|sin2x|，其周期为T=，最大值为，最小值为0，故选：C．【点评】本题主要考查三角函数的图象与性质，正确表示函数的表达式是解题的关键，同时考查二倍角公式的运用． 7．（5分）执行如图的程序框图，若输入的a，b，k分别为1，2，3，则输出的M=（ ）第10页（共28页）A．B．C．D．【考点】EF：程序框图．菁优网版权所有【专题】5I：概率与统计．【分析】根据框图的流程模拟运行程序，直到不满足条件，计算输出M的值．【解答】解：由程序框图知：第一次循环M=1+=，a=2，b=，n=2；第二次循环M=2+=，a=，b=，n=3；第三次循环M=+=，a=，b=，n=4．不满足条件n≤3，跳出循环体，输出M=．故选：D．【点评】本题考查了当型循环结构的程序框图，根据框图的流程模拟运行程序是解答此类问题的常用方法． 8．（5分）设α∈（0，），β∈（0，），且tanα=，则（ ）A．3αβ=B．3α+β=C．2αβ=D．2α+β=第11页（共28页）【考点】GF：三角函数的恒等变换及化简求值．菁优网版权所有【专题】56：三角函数的求值．【分析】化切为弦，整理后得到sin（αβ）=cosα，由该等式左右两边角的关系可排除选项A，B，然后验证C满足等式sin（αβ）=cosα，则答案可求．【解答】解：由tanα=，得：，即sinαcosβ=cosαsinβ+cosα，sin（αβ）=cosα=sin（），∵α∈（0，），β∈（0，），∴当时，sin（αβ）=sin（）=cosα成立．故选：C．【点评】本题考查三角函数的化简求值，训练了利用排除法及验证法求解选择题，是基础题． 9．（5分）不等式组的