2014年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅰ)(含解析版)

2023-10-27 · U3 上传 · 28页 · 2.1 M

2014年全国统一高考数学试卷理科)(新课标Ⅰ)一、选择题(共12小题,每小题5分)1.(5分)已知集合A={x|x22x3≥0},B={x|2≤x<2},则A∩B=( )A.[1,2)B.[1,1]C.[1,2)D.[2,1]2.(5分)=( )A.1+iB.1iC.1+iD.1i3.(5分)设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论正确的是( )A.f(x)•g(x)是偶函数B.|f(x)|•g(x)是奇函数C.f(x)•|g(x)|是奇函数D.|f(x)•g(x)|是奇函数4.(5分)已知F为双曲线C:x2my2=3m(m>0)的一个焦点,则点F到C的一条渐近线的距离为( )A.B.3C.mD.3m5.(5分)4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为( )A.B.C.D.6.(5分)如图,圆O的半径为1,A是圆上的定点,P是圆上的动点,角x的始边为射线OA,终边为射线OP,过点P作直线OA的垂线,垂足为M,将点M到直线OP的距离表示为x的函数f(x),则y=f(x)在[0,π]的图象大致为( )A.B.第1页(共28页)C.D.7.(5分)执行如图的程序框图,若输入的a,b,k分别为1,2,3,则输出的M=( )A.B.C.D.8.(5分)设α∈(0,),β∈(0,),且tanα=,则( )A.3αβ=B.3α+β=C.2αβ=D.2α+β=9.(5分)不等式组的解集记为D,有下列四个命题:p1:∀(x,y)∈D,x+2y≥2p2:∃(x,y)∈D,x+2y≥2p3:∀(x,y)∈D,x+2y≤3p4:∃(x,y)∈D,x+2y≤1其中真命题是( )A.p2,p3B.p1,p4C.p1,p2D.p1,p310.(5分)已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直线PF与C的一个交点,若=4,则|QF|=( )A.B.3C.D.2第2页(共28页)3211.(5分)已知函数f(x)=ax3x+1,若f(x)存在唯一的零点x0,且x0>0,则实数a的取值范围是( )A.(1,+∞)B.(2,+∞)C.(∞,1)D.(∞,2)12.(5分)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的各条棱中,最长的棱的长度为( )A.6B.6C.4D.4 二、填空题(共4小题,每小题5分)13.(5分)(xy)(x+y)8的展开式中x2y7的系数为 .(用数字填写答案)14.(5分)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A,B,C三个城市时,甲说:我去过的城市比乙多,但没去过B城市;乙说:我没去过C城市;丙说:我们三人去过同一城市;由此可判断乙去过的城市为 .15.(5分)已知A,B,C为圆O上的三点,若=(+),则与的夹角为 .16.(5分)已知a,b,c分别为△ABC的三个内角A,B,C的对边,a=2且(2+b)(sinAsinB)=(cb)sinC,则△ABC面积的最大值为 . 第3页(共28页)三、解答题17.(12分)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an≠0,anan+1=λSn1,其中λ为常数.(Ⅰ)证明:an+2an=λ(Ⅱ)是否存在λ,使得{an}为等差数列?并说明理由.18.(12分)从某企业生产的某种产品中抽取500件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下频率分布直方图:(Ⅰ)求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2(同一组中数据用该组区间的中点值作代表);(Ⅱ)由直方图可以认为,这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ,σ2),其中μ近似为样本平均数,σ2近似为样本方差s2.(i)利用该正态分布,求P(187.8<Z<212.2);(ii)某用户从该企业购买了100件这种产品,记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数,利用(i)的结果,求EX.附:≈12.2.若Z~N(μ,σ2)则P(μσ<Z<μ+σ)=0.6826,P(μ2σ<Z<μ+2σ)=0.9544.第4页(共28页)19.(12分)如图,三棱柱ABCA1B1C1中,侧面BB1C1C为菱形,AB⊥B1C.(Ⅰ)证明:AC=AB1;(Ⅱ)若AC⊥AB1,∠CBB1=60°,AB=BC,求二面角AA1B1C1的余弦值.20.(12分)已知点A(0,2),椭圆E:+=1(a>b>0)的离心率为,F是椭圆的右焦点,直线AF的斜率为,O为坐标原点.(Ⅰ)求E的方程;(Ⅱ)设过点A的直线l与E相交于P,Q两点,当△OPQ的面积最大时,求l的方程.21.(12分)设函数f(x)=aexlnx+,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处得切线方程为y=e(x1)+2.(Ⅰ)求a、b;(Ⅱ)证明:f(x)>1. 第5页(共28页)选修4-1:几何证明选讲22.(10分)如图,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,AB的延长线与DC的延长线交于点E,且CB=CE.(Ⅰ)证明:∠D=∠E;(Ⅱ)设AD不是⊙O的直径,AD的中点为M,且MB=MC,证明:△ADE为等边三角形. 选修4-4:坐标系与参数方程23.已知曲线C:+=1,直线l:(t为参数)(Ⅰ)写出曲线C的参数方程,直线l的普通方程.(Ⅱ)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线,交l于点A,求|PA|的最大值与最小值. 选修4-5:不等式选讲24.若a>0,b>0,且+=.(Ⅰ)求a3+b3的最小值;(Ⅱ)是否存在a,b,使得2a+3b=6?并说明理由. 第6页(共28页)2014年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅰ)参考答案与试题解析 一、选择题(共12小题,每小题5分)1.(5分)已知集合A={x|x22x3≥0},B={x|2≤x<2},则A∩B=( )A.[1,2)B.[1,1]C.[1,2)D.[2,1]【考点】1E:交集及其运算.菁优网版权所有【专题】5J:集合.【分析】求出A中不等式的解集确定出A,找出A与B的交集即可.【解答】解:由A中不等式变形得:(x3)(x+1)≥0,解得:x≥3或x≤1,即A=(∞,1]∪[3,+∞),∵B=[2,2),∴A∩B=[2,1].故选:D.【点评】此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键. 2.(5分)=( )A.1+iB.1iC.1+iD.1i【考点】A5:复数的运算.菁优网版权所有【专题】5N:数系的扩充和复数.【分析】由条件利用两个复数代数形式的乘除法,虚数单位i的幂运算性质,计算求得结果.【解答】解:==(1+i)=1i,故选:D.【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法,虚数单位i的幂运算性第7页(共28页)质,属于基础题. 3.(5分)设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论正确的是( )A.f(x)•g(x)是偶函数B.|f(x)|•g(x)是奇函数C.f(x)•|g(x)|是奇函数D.|f(x)•g(x)|是奇函数【考点】3K:函数奇偶性的性质与判断.菁优网版权所有【专题】51:函数的性质及应用.【分析】根据函数奇偶性的性质即可得到结论.【解答】解:∵f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,∴f(x)=f(x),g(x)=g(x),f(x)•g(x)=f(x)•g(x),故函数是奇函数,故A错误,|f(x)|•g(x)=|f(x)|•g(x)为偶函数,故B错误,f(x)•|g(x)|=f(x)•|g(x)|是奇函数,故C正确.|f(x)•g(x)|=|f(x)•g(x)|为偶函数,故D错误,故选:C.【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断,根据函数奇偶性的定义是解决本题的关键. 4.(5分)已知F为双曲线C:x2my2=3m(m>0)的一个焦点,则点F到C的一条渐近线的距离为( )A.B.3C.mD.3m【考点】KC:双曲线的性质.菁优网版权所有【专题】11:计算题;5D:圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】双曲线方程化为标准方程,求出焦点坐标,一条渐近线方程,利用点到直线的距离公式,可得结论.【解答】解:双曲线C:x2my2=3m(m>0)可化为,第8页(共28页)∴一个焦点为(,0),一条渐近线方程为=0,∴点F到C的一条渐近线的距离为=.故选:A.【点评】本题考查双曲线的方程与性质,考查点到直线的距离公式,属于基础题. 5.(5分)4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为( )A.B.C.D.【考点】C6:等可能事件和等可能事件的概率.菁优网版权所有【专题】11:计算题;5I:概率与统计.【分析】求得4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动、周六、周日都有同学参加公益活动的情况,利用古典概型概率公式求解即可.【解答】解:4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,共有24=16种情况,周六、周日都有同学参加公益活动,共有242=162=14种情况,∴所求概率为=.故选:D.【点评】本题考查古典概型,是一个古典概型与排列组合结合的问题,解题时先要判断该概率模型是不是古典概型,再要找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数. 6.(5分)如图,圆O的半径为1,A是圆上的定点,P是圆上的动点,角x的始边为射线OA,终边为射线OP,过点P作直线OA的垂线,垂足为M,将点M到直线OP的距离表示为x的函数f(x),则y=f(x)在[0,π]的图象大致为( )第9页(共28页)A.B.C.D.【考点】3P:抽象函数及其应用.菁优网版权所有【专题】57:三角函数的图像与性质.【分析】在直角三角形OMP中,求出OM,注意长度、距离为正,再根据直角三角形的锐角三角函数的定义即可得到f(x)的表达式,然后化简,分析周期和最值,结合图象正确选择.【解答】解:在直角三角形OMP中,OP=1,∠POM=x,则OM=|cosx|,∴点M到直线OP的距离表示为x的函数f(x)=OM|sinx|=|cosx|•|sinx|=|sin2x|,其周期为T=,最大值为,最小值为0,故选:C.【点评】本题主要考查三角函数的图象与性质,正确表示函数的表达式是解题的关键,同时考查二倍角公式的运用. 7.(5分)执行如图的程序框图,若输入的a,b,k分别为1,2,3,则输出的M=( )第10页(共28页)A.B.C.D.【考点】EF:程序框图.菁优网版权所有【专题】5I:概率与统计.【分析】根据框图的流程模拟运行程序,直到不满足条件,计算输出M的值.【解答】解:由程序框图知:第一次循环M=1+=,a=2,b=,n=2;第二次循环M=2+=,a=,b=,n=3;第三次循环M=+=,a=,b=,n=4.不满足条件n≤3,跳出循环体,输出M=.故选:D.【点评】本题考查了当型循环结构的程序框图,根据框图的流程模拟运行程序是解答此类问题的常用方法. 8.(5分)设α∈(0,),β∈(0,),且tanα=,则( )A.3αβ=B.3α+β=C.2αβ=D.2α+β=第11页(共28页)【考点】GF:三角函数的恒等变换及化简求值.菁优网版权所有【专题】56:三角函数的求值.【分析】化切为弦,整理后得到sin(αβ)=cosα,由该等式左右两边角的关系可排除选项A,B,然后验证C满足等式sin(αβ)=cosα,则答案可求.【解答】解:由tanα=,得:,即sinαcosβ=cosαsinβ+cosα,sin(αβ)=cosα=sin(),∵α∈(0,),β∈(0,),∴当时,sin(αβ)=sin()=cosα成立.故选:C.【点评】本题考查三角函数的化简求值,训练了利用排除法及验证法求解选择题,是基础题. 9.(5分)不等式组的

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