2013年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标ⅰ）（含解析版）

2013年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）一、选择题共12小题．每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合A={1，2，3，4}，B={x|x=n2，n∈A}，则A∩B=（ ）A．{1，4}B．{2，3}C．{9，16}D．{1，2}2．（5分）=（ ）A．﹣1﹣iB．﹣1+iC．1+iD．1﹣i3．（5分）从1，2，3，4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是（ ）A．B．C．D．4．（5分）已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（ ）A．y=B．y=C．y=±xD．y=5．（5分）已知命题p：∀x∈R，2x＜3x；命题q：∃x∈R，x3=1﹣x2，则下列命题中为真命题的是（ ）A．p∧qB．￢p∧qC．p∧￢qD．￢p∧￢q6．（5分）设首项为1，公比为的等比数列{an}的前n项和为Sn，则（ ）A．Sn=2an﹣1B．Sn=3an﹣2C．Sn=4﹣3anD．Sn=3﹣2an7．（5分）执行程序框图，如果输入的t∈[﹣1，3]，则输出的s属于（ ）第1页（共29页）A．[﹣3，4]B．[﹣5，2]C．[﹣4，3]D．[﹣2，5]8．（5分）O为坐标原点，F为抛物线C：y2=4x的焦点，P为C上一点，若|PF|=4，则△POF的面积为（ ）A．2B．2C．2D．49．（5分）函数f（x）=（1﹣cosx）sinx在[﹣π，π]的图象大致为（ ）A．B．C．D．10．（5分）已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，23cos2A+cos2A=0，a=7，c=6，则b=（ ）A．10B．9C．8D．511．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）第2页（共29页）A．16+8πB．8+8πC．16+16πD．8+16π12．（5分）已知函数f（x）=，若|f（x）|≥ax，则a的取值范围是（ ）A．（﹣∞，0]B．（﹣∞，1]C．[﹣2，1]D．[﹣2，0] 二．填空题：本大题共四小题，每小题5分．13．（5分）已知两个单位向量，的夹角为60°，=t+（1﹣t）．若•=0，则t= ．14．（5分）设x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为 ．15．（5分）已知H是球O的直径AB上一点，AH：HB=1：2，AB⊥平面α，H为垂足，α截球O所得截面的面积为π，则球O的表面积为 ．16．（5分）设当x=θ时，函数f（x）=sinx﹣2cosx取得最大值，则cosθ= ． 三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S3=0，S5=﹣5．（Ⅰ）求{an}的通项公式；（Ⅱ）求数列{}的前n项和．第3页（共29页）18．（12分）为了比较两种治疗失眠症的药（分别成为A药，B药）的疗效，随机地选取20位患者服用A药，20位患者服用B药，这40位患者服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间（单位：h）实验的观测结果如下：服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间：0.61.22.71.52.81.82.22.33.23.52.52.61.22.71.52.93.03.12.32.4服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间：3.21.71.90.80.92.41.22.61.31.41.60.51.80.62.11.12.51.22.70.5（Ⅰ）分别计算两种药的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？（Ⅱ）根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°（Ⅰ）证明：AB⊥A1C；（Ⅱ）若AB=CB=2，A1C=，求三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积．第4页（共29页）20．（12分）已知函数f（x）=ex（ax+b）﹣x2﹣4x，曲线y=f（x）在点（0，f（0））处切线方程为y=4x+4．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）讨论f（x）的单调性，并求f（x）的极大值．21．（12分）已知圆M：（x+1）2+y2=1，圆N：（x﹣1）2+y2=9，动圆P与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。22．（10分）（选修4﹣1：几何证明选讲）如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于D．（Ⅰ）证明：DB=DC；（Ⅱ）设圆的半径为1，BC=，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．第5页（共29页）23．已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ．（1）把C1的参数方程化为极坐标方程；（2）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）．24．已知函数f（x）=|2x﹣1|+|2x+a|，g（x）=x+3．（Ⅰ）当a=﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）的解集；（Ⅱ）设a＞﹣1，且当x∈[﹣，]时，f（x）≤g（x），求a的取值范围． 第6页（共29页）2013年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）参考答案与试题解析 一、选择题共12小题．每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合A={1，2，3，4}，B={x|x=n2，n∈A}，则A∩B=（ ）A．{1，4}B．{2，3}C．{9，16}D．{1，2}【考点】1E：交集及其运算．菁优网版权所有【专题】5J：集合．【分析】由集合A中的元素分别平方求出x的值，确定出集合B，找出两集合的公共元素，即可求出交集．【解答】解：根据题意得：x=1，4，9，16，即B={1，4，9，16}，∵A={1，2，3，4}，∴A∩B={1，4}．故选：A．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键． 2．（5分）=（ ）A．﹣1﹣iB．﹣1+iC．1+iD．1﹣i【考点】A5：复数的运算．菁优网版权所有【专题】11：计算题．【分析】利用分式的分母平方，复数分母实数化，运算求得结果．【解答】解：====﹣1+i．故选：B．【点评】本题考查复数代数形式的混合运算，复数的乘方运算，考查计算能第7页（共29页）力． 3．（5分）从1，2，3，4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是（ ）A．B．C．D．【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．菁优网版权所有【专题】5I：概率与统计．【分析】本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是从4个不同的2数中随机的抽2个，共有C4种结果，满足条件的事件是取出的数之差的绝对值等于2的有两种，得到概率．【解答】解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，2试验发生包含的事件是从4个不同的数中随机的抽2个，共有C4=6种结果，满足条件的事件是取出的数之差的绝对值等于2，有2种结果，分别是（1，3），（2，4），∴要求的概率是=．故选：B．【点评】本题考查等可能事件的概率，是一个基础题，本题解题的关键是事件数是一个组合数，若都按照排列数来理解也可以做出正确的结果． 4．（5分）已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（ ）A．y=B．y=C．y=±xD．y=【考点】KC：双曲线的性质．菁优网版权所有【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．第8页（共29页）【分析】由离心率和abc的关系可得b2=4a2，而渐近线方程为y=±x，代入可得答案．【解答】解：由双曲线C：（a＞0，b＞0），则离心率e===，即4b2=a2，故渐近线方程为y=±x=x，故选：D．【点评】本题考查双曲线的简单性质，涉及的渐近线方程，属基础题． 5．（5分）已知命题p：∀x∈R，2x＜3x；命题q：∃x∈R，x3=1﹣x2，则下列命题中为真命题的是（ ）A．p∧qB．￢p∧qC．p∧￢qD．￢p∧￢q【考点】2E：复合命题及其真假．菁优网版权所有【专题】21：阅读型；5L：简易逻辑．【分析】举反例说明命题p为假命题，则￢p为真命题．引入辅助函数f（x）=x3+x2﹣1，由函数零点的存在性定理得到该函数有零点，从而得到命题q为真命题，由复合命题的真假得到答案．【解答】解：因为x=﹣1时，2﹣1＞3﹣1，所以命题p：∀x∈R，2x＜3x为假命题，则￢p为真命题．令f（x）=x3+x2﹣1，因为f（0）=﹣1＜0，f（1）=1＞0．所以函数f（x）=x3+x2﹣1在（0，1）上存在零点，即命题q：∃x∈R，x3=1﹣x2为真命题．则￢p∧q为真命题．故选：B．【点评】本题考查了复合命题的真假，考查了指数函数的性质及函数零点的判断方法，解答的关键是熟记复合命题的真值表，是基础题． 第9页（共29页）6．（5分）设首项为1，公比为的等比数列{an}的前n项和为Sn，则（ ）A．Sn=2an﹣1B．Sn=3an﹣2C．Sn=4﹣3anD．Sn=3﹣2an【考点】89：等比数列的前n项和．菁优网版权所有【专题】54：等差数列与等比数列．【分析】由题意可得数列的通项公式，进而可得其求和公式，化简可得要求的关系式．【解答】解：由题意可得an=1×=，∴Sn==3﹣=3﹣2=3﹣2an，故选：D．【点评】本题考查等比数列的求和公式和通项公式，涉及指数的运算，属中档题． 7．（5分）执行程序框图，如果输入的t∈[﹣1，3]，则输出的s属于（ ）A．[﹣3，4]B．[﹣5，2]C．[﹣4，3]D．[﹣2，5]第10页（共29页）【考点】3B：分段函数的解析式求法及其图象的作法；EF：程序框图．菁优网版权所有【专题】27：图表型；5K：算法和程序框图．【分析】本题考查的知识点是程序框图，分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算一个分段函数的函数值，由条件为t＜1我们可得，分段函数的分类标准，由分支结构中是否两条分支上对应的语句行，我们易得函数的解析式．【解答】解：由判断框中的条件为t＜1，可得：函数分为两段，即t＜1与t≥1，又由满足条件时函数的解析式为：s=3t；不满足条件时，即t≥1时，函数的解析式为：s=4t﹣t2故分段函数的解析式为：s=，如果输入的t∈[﹣1，3]，画出此分段函数在t∈[﹣1，3]时的图象，则输出的s属于[﹣3，4]．故选：A．【点评】要求条件结构对应的函数解析式，要分如下几个步骤：①分析流程图的结构，分析条件结构是如何嵌套的，以确定函数所分的段数；②根据判断框中的条件，设置分类标准；③根据判断框的“是”与“否”分支对应的操作，分析函数各段的解析式；④对前面的分类进行总结，写出分段函数的解析第11页（共29页）式． 8．（5分）O为坐标原点，F为抛物线C：y2=4x的焦点，P为C上一点，若|PF|=4，则△POF的面积为（ ）A．2B．2C．2D．4【考点】K8：抛物线的性质．菁优网版权所有【专题】11：计算题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据抛物线方程，算出焦点F坐标为（）．设P（m，n），由抛物线的定义结合|PF|=4，算出m=3，从而得到n=，得到△POF的边OF上的高等于2，最后根据三角形面积公式即可算出△POF的面积．【解答】解：∵抛物线C的方程为y2=4x∴2p=4，可得=，得焦点F（）设P（m，n）根据抛物线的定义，得|PF|=m+=4，即m+=4，解得m=3∵点P在抛物线C上，得n2=4×3=24∴n==∵|OF|=∴△POF的面积为S=|OF|×|n|==2故选：C．第12页（共29页）【点评】本题给出抛物线C：y2=4x上与焦点