2021年普通高等学校招生全国统一考试(全国乙卷)数学(文)一、选择题1.已知全集,集合,,则()A.B.C.D.答案A2.设,则()A.B.C.D.答案C3.已知命题;命题,则下列命题中为真命题的是()A.B.C.D.答案:A解析:根据正弦函数的值域,,故,为真命题,而函数为偶函数,且时,,故,恒成立.则也为真命题,所以为真,选A.4.函数的最小正周期和最大值分别是()A.和B.和C.和D.和答案:C解析:,.故选C.5.若满足约束条件则的最小值为()A.B.C.D.答案:C解析:根据约束条件可得图像如下,的最小值,即,轴截距最小值.根据图像可知过点时满足题意,即.6.()A.B.C.D.答案:D解析:∴选D.7.在区间随机取个数,则取到的数小于的概率为()A.B.C.D.答案:B解析:在区间随机取个数,可知总长度,取到的数小于,可知取到的长度范围,根据几何概型公式,∴选B.8.下列函数中最小值为的是()A.B.C.D.答案:C解析:对于A,.不符合,对于B,,令,∴,根据对勾函数不符合,对于C,,令,∴,当且仅当时取等,符合,对于D,,令,.根据对勾函数,不符合.9.设函数,则下列函数中为奇函数的是()A.B.C.D.答案:B解析:,向右平移一个单位,向上平移一个单位得到为奇函数.所以选B.10.在正方体中,为的中点,则直线与所成的角为A.B.C.D.答案:D解析:做出图形,,所以为异面直线所成角,设棱长为.,,,.,即,故选D.11.设是椭圆:的上顶点,点在上,则的最大值为A.B.C.D.答案:A解析:方法一:由,则的参数方程:..∴,故选A.方法二:设,则①,.因此②将①式代入②式化简得:,当且仅当时的最大值为,故选A.12.设,若为函数的极大值点,则A.B.C.D.答案:D解析:当时,原函数先增再减后增.原函数在的较小零点时取得极大值.即,即,∴.当时,原函数先减再增后减.原函数在的较大零点时取得极大值.即,,,故选D.二、填空题13.已知向量,,若,则.答案:解析:由已知可得.14.双曲线的右焦点到直线的距离为.答案:解析:的右焦点为,到直线的距离.15.记的内角,,的对边分别为,,,面积为,,,则.答案:解析:由面积公式,且,解得,又由余弦定理,,且解得.16.以图①为正视图,在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图,组成某个三棱锥的三视图,则所选侧视图和俯视图的编号依次为(写出符合要求的一组答案即可).答案:②⑤或③④解析:由高度可知,侧视图只能为②或③.侧视图为②,如图(1),平面平面,,,,俯视图为⑤.俯视图为③,如图(2),平面,,,,俯视图为④.17.某厂研制了一种生产高精产品的设备,为检验新设备生产产品的某项指标有无提高,用一台旧设备和一台新设备各生产了件产品,得到各件产品该项指标数据如下:旧设备9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新设备10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为和,样本方差分别记为和.(1)求,,,;(2)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高(如果,则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高,否则不认为有显著提高).答案:见解析解析:;..(2).∵则,所以可判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高;没有显著提高.18.如图,四棱锥的底面是矩形,底面,为的中点,且.(1)证明:平面平面﹔(2)若,求四棱锥的体积.答案:见解析解析:19.设是首项为的等比数列,数列满足.已知,,,成等差数列.(1)求和的通项公式;(2)记,和分别为和的前项和.证明:.答案:见解析解析:设的公比为,则,因为,,成等差数列,所以,解得,故,.又,则,两边同乘,则,两式相减,得,即,整理得,,故.20.已知抛物线:的焦点到准线的距离为.(1)求的方程,(2)已知为坐标原点,点在上,点满足,求直线斜率的最大值.答案:见解析解析:(1)由焦点到准线的距离为,则.抛物线的方程:.(2)设点,,.∵.∴则.∴直线斜率的最大值为.21.已知函数.(1)讨论的单调性;(2)求曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标.答案:见解析解析:(1)(i)当,即时,恒成立,即在在上单调递增.(ii)当,即时,解得,,.∴在,单调递增,在单调递减,综上所述:当时,在上单调递增;当时,在单调递减.(2)设可原点切线的切点为,切线斜率.又,可得.化简得,即.∴切点为,斜率,切线方程为,将,联立可得,化简得,解得,.∴过原点的切线与公共点坐标为,.22.在直角坐标系中,的圆心为,半径为.(1)写出的一个参数方程;(2)过点作的两条切线.以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立坐标系,求这两条切线的极坐标方程.答案:见解析解析:(1)的参数方程为(为参数)(2)的方程为①当直线斜率不存在时,直线方程为,此时圆心到直线距离为,舍去;②当直线斜率存在时,设直线方程为,化简为,此时圆心到直线的距离为,化简得,两边平方有,所以代入直线方程并化简得或化为极坐标方程为或.23.已知函数.(1)当时,求不等式的解集;(2)若,求的取值范围.答案:见解析解析:当时,,当时,不等式,解得;当时,不等式,解得;当时,不等式,解得.综上,原不等式的解集为.(2)若,即,因为(当且仅当时,等号成立),所以,所以,即或,解得.
2021年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标ⅰ)(含解析版)
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