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2021年普通高等学校招生全国统一考试数学本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名.考生号.考场号和座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一.选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.Ax2x4B2,3,4,51.设集合，，则AB（）22,33,42,3,4A.B.C.D.【.案】B【解析】【分析】利用交集的定义可求AB.AB2,3【详解】由题设有，故选：B.zzi2.已知z2i，则（）A.62iB.42iC.62iD.42i【答案】C【解析】【分析】利用复数的乘法和共轭复数的定义可求得结果.zzi2i22i62i【详解】因为z2i，故z2i，故故选：C.3.已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（）A.2B.22C.4D.42【答案】B【解析】【分析】设圆锥的母线长为l，根据圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长可求得l的值，即为所求.【详解】设圆锥的母线长为l，由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则l22，解得l22.故选：B.fx7sinx4.下列区间中，函数6单调递增的区间是（）π330,,π,,2A.2B.2C.2D.2【答案】A【解析】2kx2kkZ【分析】解不等式262，利用赋值法可得出结论.2k,2kkZ【详解】因为函数ysinx的单调递增区间为22，fx7sinx2kx2kkZ对于函数6，由262，22kx2kkZ解得33，2,fx取k0，可得函数的一个单调递增区间为33，220,,,,则233，233，A选项满足条件，B不满足条件；58,fx取k1，可得函数的一个单调递增区间为33，32358358,,,,,2,233且233，233，CD选项均不满足条件.故选：A.yAsinωxφ【点睛】方法点睛：求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成形式，再求yAsinωxφ的单调区间，只需把x看作一个整体代入ysinx的相应单调区间内即可，注意要先把化为正数．x2y2FF1MFMF5.已知1，2是椭圆C：94的两个焦点，点M在C上，则12的最大值为（）A.13B.12C.9D.6【答案】C【解析】MFMF2a6【分析】本题通过利用椭圆定义得到12，借助基本不等式2MF1MF2MF1MF22即可得到答案．22MFMF2a6【详解】由题，a9,b4，则12，2MF1MF2MF1MF292MFMF3所以（当且仅当12时，等号成立）．故选：C．【点睛】本题关键在于正确理解能够想到求最值的方法，即通过基本不等式放缩得到．sin1sin26.若tan2，则sincos（）6226A.5B.5C.5D.5【答案】C【解析】【分析】将式子进行齐次化处理，代入tan2即可得到结果．【详解】将式子进行齐次化处理得：sin1sin2sinsin2cos22sincossinsincossincossincossinsincostan2tan422222sincos1tan145．故选：C．【点睛】易错点睛：本题如果利用tan2，求出sin,cos的值，可能还需要分象限讨论其正负，通过齐次化处理，可以避开了这一讨论．a,bx7.若过点可以作曲线ye的两条切线，则（）baA.eaB.ebbaC.0aeD.0be【答案】D【解析】【分析】根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，结合图形确定结果xPt,etxx【详解】在曲线ye上任取一点，对函数ye求导得ye，xyetetxtyetx1tet所以，曲线ye在点P处的切线方程为，即，a,byetx1tetbaet1teta1tet由题意可知，点在直线上，可得，fta1tetftatet令，则.ft0ft当ta时，，此时函数单调递增，ft0ft当ta时，，此时函数单调递减，ftfaea所以，max，yftbftea由题意可知，直线yb与曲线的图象有两个交点，则max，ft0ft0ft当ta1时，，当ta1时，，作出函数的图象如下图所示：ayft由图可知，当0be时，直线yb与曲线的图象有两个交点.故选：D.【点睛】数形结合是解决数学问题常用且有效的方法8.有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（）A.甲与丙相互独立B.甲与丁相互独立C.乙与丙相互独立D.丙与丁相互独立【答案】B【解析】【分析】根据独立事件概率关系逐一判断11561P(甲)，P(乙)，P(丙)，P(丁)，【详解】6636366，1P(甲丙)0P(甲)P(丙)，P(甲丁)P(甲)P(丁)，361P(乙丙)P(乙)P(丙)，P(丙丁)0P(丁)P(丙)，36故选：B【点睛】判断事件A,B是否独立，先计算对应概率，再判断P(A)P(B)P(AB)是否成立二.选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.xxxyyyyxc9.有一组样本数据1，2，…，n，由这组数据得到新样本数据1，2，…，n，其中ii(i1,2,,n),c为非零常数，则（）A.两组样本数据的样本平均数相同B.两组样本数据的样本中位数相同C.两组样本数据的样本标准差相同D.两组样数据的样本极差相同【答案】CD【解析】【分析】A、C利用两组数据的线性关系有E(y)E(x)c、D(y)D(x)，即可判断正误；根据中位数、极差的定义，结合已知线性关系可判断B、D的正误.E(y)E(xc)E(x)c【详解】A：且c0，故平均数不相同，错误；xyxcB：若第一组中位数为i，则第二组的中位数为ii，显然不相同，错误；C：D(y)D(x)D(c)D(x)，故方差相同，正确；xxD：由极差的定义知：若第一组的极差为maxmin，则第二组的极差为yy(xc)(xc)xxmaxminmaxminmaxmin，故极差相同，正确；故选：CDPcos,sinPcos,sinPcos,sin10.已知O为坐标原点，点1，2，3，A1,0，则（）OP1OP2AP1AP2A.B.OAOP3OPOPOAOPOPOPC.12D.123【答案】AC【解析】OPOPAPAP【分析】A、B写出1，2、1，2的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；C、D根据向量的坐标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误.OP(cos,sin)OP(cos,sin)|OP|cos2sin21【详解】A：1，2，所以1，|OP|(cos)2(sin)21|OP||OP|2，故12，正确；AP(cos1,sin)AP(cos1,sin)B：1，2，所以|AP|(cos1)2sin2cos22cos1sin22(1cos)4sin22|sin|12222|AP2|(cos1)sin2|sin||AP|,|AP|，同理2，故12不一定相等，错误；OAOP1cos()0sin()cos()C：由题意得：3，OP1OP2coscossin(sin)cos()，正确；OAOP1cos0sincosD：由题意得：1，OP2OP3coscos()(sin)sin()coscos2sinsincossinsincoscossin2coscos2sinsin2cos(2)，错误；故选：ACx52y5216A4,0B0,211.已知点P在圆上，点、，则（）A.点P到直线AB的距离小于10B.点P到直线AB的距离大于2PB32C.当PBA最小时，PB32D.当PBA最大时，【答案】ACD【解析】【分析】计算出圆心到直线AB的距离，可得出点P到直线AB的距离的取值范围，可判断AB选项的正误；分析可知，当PBA最大或最小时，PB与圆M相切，利用勾股定理可判断CD选项的正误.x52y5216M5,5【详解】圆的圆心为，半径为4，xy1直线AB的方程为42，即x2y40，525411115422圆心M到直线AB的距离为1255，11511542410所以，点P到直线AB的距离的最小值为5，最大值为5，A选项正确，B选项错误；如下图所示：当PBA最大或最小时，PB与圆M相切，连接MP、BM，可知PMPB，2222BM052534MP4BPBMMP32，，由勾股定理可得，CD选项正确.故选：ACD.的【点睛】结论点睛：若直线l与半径为r圆C相离，圆心C到直线l的距离为d，则圆C上一点P到直dr,dr线l的距离的取值范围是.ABCABCABAA1BPBCBB0,112.在正三棱柱111中，1，点P满足1，其中，0,1，则（）△ABPA.当1时，1的周长为定值PABCB.当1时，三棱锥1的体积为定值1APBPC.当2时，有且仅有一个点P，使得11ABABPD.当2时，有且仅有一个点P，使得1平面1【答案】BD【解析】【分析】对于A，由于等价向量关系，联系到一个三角形内，进而确定点的坐标；对于B，将P点的运动轨迹考虑到一个三角形内，确定路线，进而考虑体积是否为定值；的对于C，考虑借