2024届湖南省岳阳市高三二模数学试题

姓名______准考证号______岳阳市2024届高三教学质量监测（二）数学本试卷共19题，满分150分，考试时间120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的学校、班级、考号和姓名填写在答题卡指定位置。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应的标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。3．非选择题必须用黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，只交答题卡。一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．抛物线的焦点坐标为（）A． B． C． D．2．已知集合，，则（）A． B． C． D．3．已知为等差数列，，，则（）A．6 B．12 C．17 D．244．函数的极小值点为（）A． B． C．4 D．5．下列说法错误的是（）A．若随机变量满足且，则B．样本数据50，53，55，59，62，68，70，73，77，80的第45百分位数为62C．若事件相互独立，则D．若两组成对数据的相关系数分别为、，则组数据的相关性更强6．已知，则（）A． B． C． D．7．设，，，则（）A． B． C． D．8．已知点是圆上的两点，若，则的最大值为（）A．16 B．12 C．8 D．4二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．设是关于的方程的两根，其中．若（为虚数单位），则（）A． B． C． D．10．已知函数的定义域为，对任意都有，且，则下列说法正确的是（）A． B．为奇函数C． D．11．如图，已知正方体的棱长为2，点为的中点，点为正方形内（包含边界）的动点，则（）A．满足平面的点的轨迹为线段B．若，则动点的轨迹长度为C．直线与直线所成角的范围为D．满足的点的轨迹长度为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．岳阳楼地处岳阳古城西门城墙之上，下瞰洞庭，前望君山．因范仲淹的《岳阳楼记》著称于世，自古有“洞庭天下水，岳阳天下楼”之美誉．小明为了测量岳阳楼的高度，他首先在处，测得楼顶的仰角为，然后沿方向行走22.5米至处，又测得楼顶的仰角为，则楼高为______米．13．若曲线上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线的“自公切线”，则下列方程对应的曲线中存在“自公切线”的序号为______．①；②；③；④．14．已知椭圆的左右焦点分别为，其中，过的直线与椭圆交于两点，若，则该椭圆离心率的取值范围是______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（本题满分13分）如图，在四棱锥中，底面是矩形，侧棱底面，，是的中点，作交于点．（1）求证：平面；（2）求二面角的正弦值．16．（本题满分15分）用1，2，3，4，5，6这六个数组成无重复数字的六位数，则（1）在数字1，3相邻的条件下，求数字2，4，6也相邻的概率；（2）对于这个六位数，记夹在三个偶数之间的奇数的总个数为，求的分布列与期望．17．（本题满分15分）已知函数（1）当时，求的单调区间；（2）若方程有三个不同的实根，求的取值范围．18．（本题满分17分）已知，设动点满足直线的斜率之积为4，记动点的轨迹为曲线．（1）求曲线的方程；（2）点为直线上的动点，直线与曲线交于点（不同于点），直线与曲线交于点（不同于点）．证明：直线过定点．19．（本题满分17分）已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是，接下来的两项是，，再接下来的三项是，，，依此类推．设该数列的前项和为，规定：若，使得，则称为该数列的“佳幂数”．（1）将该数列的“佳幂数”从小到大排列，直接写出前4个“佳幂数”；（2）试判断50是否为“佳幂数”，并说明理由；（3）（ⅰ）求满足的最小的“佳幂数”；（ⅱ）证明：该数列的“佳幂数”有无数个．岳阳市2024届高三教学质量监测（二）数学参考答案及评分标准一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．D 2．B 3．C 4．D5．D 6．C 7．A 8．B二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9．BCD 10．BCD 11．AD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12． 13．①②④ 14．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15．（本题满分13分）（1）证明：因为底面，平面所以，因为四边形是矩形，所以，又因为、平面，，所以平面，又平面所以，又因为，是的中点，所以，所以平面，又平面，所以，由已知得，且所以平面，（2）解：以为原点，以，，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则，，，由（1）知平面，所以为平面的一个法向量，又，，设为平面的一个法向量，则由得取，则设二面角的大小为，则所以二面角的正弦值为16．（本题满分15分）（1）设“数字1，3相邻”，设“数字2，4，6相邻”，则；（2）的所有可能取值为0，1，2，3，因为3个偶数中间共有2个空隙．由题意知“”表示3个偶数相邻，则，“”表示3个偶数中间只插入了1个奇数，则，“”表示3个偶数中间共插入了2个奇数，可分为两种情形：和，则；“”表示3个偶数中间共插入了3个奇数，可分为两种情形：和，则．所以的分布列为0123的期望为．17．（本题满分15分）（1）当时，函数，则，令得或，当或时，，当时，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．即当时，单调递增区间为和，单调递减区间为．（2），所以为的一个根，故有两个不同于1的实根，令，则，（ⅰ）当时，，故在上单调递增，不符合题意；（ⅱ）当时，令，得，当时，，故在区间上单调递增，当时，，故在区间上单调递减，并且当时，；当时，，所以若要满足题意，只需且，因为，所以，又，所以，所以实数的取值范围为．18．（本题满分17分）（1）设，则，由整理得（2）证明：（方法一）设，，，则即联立与曲线的方程得且解得（舍去）或将代入得所以，其中同理，可解得，其中当时，即时，此时，所以此时直线的方程为；当时，直线的方程为整理得，所以直线过定点（方法二）设，则由及三点共线得；将上面两式相除，再平方可得：①因为，均在曲线上，故满足；②将②代入①可得整理可得③当直线的斜率存在时，设将直线的方程代入曲线得且由韦达定理得，将上式代入③式可得解得（舍去）或，故直线的方程为当直线垂直于轴时，易求得此时的方程为，所以直线过定点（方法三）设，，，易知直线不垂直于轴，所以设直线的方程为由及三点共线得；由上式可得，即将，代入可得①因为，为曲线上的点，由（1）可知，，所以，即将，代入可得②①②式相减可得又易知，所以，所以直线的方程为，故直线过定点19．（本题满分17分）（1）解：因为，所以1为该数列的“佳幂数”；又因为，，所以2、3、18也为该数列的“佳幂数”；所以该数列的前4个“佳幂数”为：1、2、3、18；（2）解：由题意可得，数列如下：第1组：1；第2组：1，2；第3组：1，2，4；…第组：，则该数列的前项的和为：，①当时，，则，由于，对，，故50不是“佳幂数”．（3）（ⅰ）解：在①中，要使，有出现在第44组之后，又第组的和为，前组和为第组前项的和为．则只需．所以，则，此时，所以对应满足条件的最小“佳幂数”（ⅱ）证明：由（ⅰ）知：．当，且取任意整数时，可得“佳幂数”，所以，该数列的“佳幂数”有无数个