2024届内蒙古自治区包头市高三下学期二模文科数学试题

试卷类型：A绝密★启用前2024年普通高等学校招生全国统一考试（第二次模拟考试）文科数学注意事项：1.考生答卷前，务必将自己的姓名､座位号写在答题卡上.将条形码粘贴在规定区域.本试卷满分150分，考试时间120分钟.2.做选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.3.回答非选择题时，将答案写在答题卡的规定区域内，写在本试卷上无效.4.考试结束后，将答题卡交回.一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集，集合满足，则（）A.B.C.D.2.已知复数（为虚数单位），则的虚部为（）A.B.C.-1D.3.设，则“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.若非零向量满足，则向量与向量的夹角为（）A.B.C.D.5.从分别写有的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到两张卡片上的数字之积是3的倍数的概率为（）A.B.C.D.6.已知函数的值域为.若，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.7.已知数列为等比数列，且，设等差数列的前项和为，若，则（）A.-36或36B.-36C.36D.188.声音是由物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数.纯音的数学模型是函数，但我们平时听到的乐音不止是一个音在响，而是许多个音的结合，称为复合音.若一个复合音的数学模型是函数，则下列说法正确的是（）A.的一个周期为B.的最大值为C.的图象关于点对称D.在区间上有2个零点9.在平面直角坐标系中，设，动点满足，则的最大值为（）A.B.C.D.10.在正方体中，为的中点，则直线与所成角的余弦值为（）A.0B.C.D.11.设是定义域为的奇函数，且.若，则（）A.B.C.D.12.已知双曲线的左､右焦点分别为，双曲线的离心率为，在第一象限存在点，满足，且，则双曲线的渐近线方程为（）A.B.C.D.二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.抛物线的准线方程为，则实数的值为__________.14.在中，的对边分别为，已知，则边__________.15.若实数满足约束条件，则的最小值为__________.16.已知圆柱的两个底面的圆周在表面积为的球的球面上，则该圆柱的侧面积的最大值为__________.三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22､23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.（12分）某企业拟对某产品进行科技升级，根据市场调研与模拟，得到科技升级投入（万元）与科技升级直接收益（万元）的数据统计如下：序号123456723468101313223142505658根据表格中的数据，建立了与的两个回归模型：模型①：模型②：.（1）根据下列表格中的数据，比较模型①､②的相关指数的大小，并选择拟合精度更高､更可靠的模型；（2）根据（1）选择的模型，预测对该产品科技升级的投入为100万元时的直接收益.回归模型模型①模型②回归方程182.479.2（附：刻画回归效果的相关指数越大，模型的拟合效果越好）18.（12分）如图，在多面体中，是等边三角形，.（1）求证：；（2）求三棱锥的体积.19.（12分）已知函数.（1）若是函数的极值点，求的值；（2）求函数的单调区间.20.（12分）己知椭圆过点，且焦距为.（1）求椭圆的标准方程；（2）过点作两条互相垂直的弦，设弦的中点分别为.证明：直线必过定点.21.（12分）已知数列为有穷数列，且，若数列满足如下两个性质，则称数列为的增数列：①；②对于，使得的正整数对有个.（1）写出所有4的1增数列；（2）当时，若存在的6增数列，求的最小值.（二）选考题：共10分.请者生在第22､23题中任选一题作答.如果多做，则按所写的第一题计分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；（2）已知点，若直线与曲线交于两点，求的值.23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知.（1）求不等式的解集：（2）若的最小值为，正实数满足，求证.2024年普通高等学校招生全国统一考试（第二次模拟考试）文科数学参考答案一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分题号123456789101112答案BABCDACDCDAA二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.14.15.16.三､解答题：共70分.17.（12分）解：（1）由表格中的数据，，所以，模型①的相关指数小于模型②的相关指数，即模型②的拟合效果精度更高､更可靠.（2）当万元时，科技升级直接收益的预测值为：（万元）18.（12分）解：（1）证明：取中点，连接.是等边三角形，为中点，，又，平面，又平面，.（2）连接，则，由得，又，，又平面所以19.（12分）解：（1）函数定义域为，因为是函数的极值点，所以，解得或，因为，所以.此时，令得，令得，在单调递减，在单调递增，所以是函数的极小值点.所以.（2）因为，所以，令得；令得；函数的单调减区间为，单调增区间为.20.（12分）解：（1）依题意有，解得，所以椭圆的方程为.（2）设，则，联立，故，故，由代替，得，当，即时，，过点.当，即时，，令，直线恒过点.当，经验证直线过点.综上，直线恒过点.21.（12分）解：（1）由题意得，则或，故所有4的1增数列有数列和数列1，3.（2）当时，因为存在的6增数列，所以数列的各项中必有不同的项，所以且若，满足要求的数列中有四项为1，一项为2，所以，不符合题意，所以若，满足要求的数列中有三项为1，两项为2，符合的6增数列.所以，当时，若存在的6增数列，的最小值为722.（10分）解：（1）因为曲线的参数方程为（为参数，），所以，所以，.即曲线的普通方程为直线的极坐标方程为，则，转换为直角坐标方程为（2）直线过点，直线的参数方程为（为参数），令点对应的参数分别为，将代入，得，则，故23.（10分）解：（1）①当时，，解得；②当时，，解得；③当时，，无解；综上，不等式的解集为（2）因为，当且仅当时等号成立.所以，即..当且仅当，即，时等号成立