2024届内蒙古自治区包头市高三下学期二模数学（理）试题

2024年普通高等学校招生全国统一考试（第二次模拟考试）理科数学注意事项：1．考生答卷前，务必将自己的姓名、座位号写在答题卡上．将条形码粘贴在规定区域．本试卷满分150分，考试时间120分钟．2．做选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．3．回答非选择题时，将答案写在答题卡的规定区域内，写在本试卷上无效．4．考试结束后，将答题卡交回．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集，集合A满足，则（）A． B． C． D．2．已知复数（为虚数单位），则的虚部为（）A． B． C．－1 D．3．设m，，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件4．将2个a和3个b随机排成一行，则2个a不相邻的概率为（）A．0.3 B．0.5 C．0.6 D．0.85．若实数x，y满足约束条件则的（）A．最小值为5 B．最大值为5 C．最小值为6 D．最大值为66．已知数列为等比数列，且，，设等差数列的前n项和为，若，则（）A．－36或36 B．－36 C．36 D．187．中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究．设a，b，m（）为整数，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为．若，，则b的值可以是（）A．2018 B．2020 C．2022 D．20248．声音是由物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数．纯音的数学模型是函数，但我们平时听到的乐音不止是一个音在响，而是许多个音的结合，称为复合音．若一个复合音的数学模型是函数，则下列说法正确的是（）A．的一个周期为 B．的最大值为C．的图象关于点对称 D．在区间上有2个零点9．在平面直角坐标系xOy中，设，，动点P满足，则的最大值为（）A． B． C． D．10．在正方体中，E为BD的中点，则直线与所成角的余弦值为（）A．0 B． C． D．11．已知双曲线C：的左、右焦点分别为、，双曲线C的离心率为e，在第一象限存在点P，满足，且，则双曲线C的渐近线方程为（）A． B． C． D．12．已知且，且，且，则（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．抛物线的准线方程为，则实数a的值为______．14．在中，A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则边______．15．已知圆柱的两个底面的圆周在表面积为的球O的球面上，则该圆柱的侧面积的最大值为______．16．已知不等式对任意的实数x恒成立，则的最大值为______．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）荥阳境内广武山上汉王城与霸王城之间的鸿沟，即为象棋棋盘上“楚河汉界”的历史原型，荥阳因此被授予“中国象棋文化之乡”．有甲，乙，丙三位同学进行象棋比赛，其中每局只有两人比赛，每局比赛必分胜负，本局比赛结束后，负的一方下场．第1局由甲，乙对赛，接下来丙上场进行第2局比赛，来替换负的那个人，每次比赛负的人排到等待上场的人之后参加比赛．设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果相互独立．（Ⅰ）求前3局比赛甲都取胜的概率；（Ⅱ）用X表示前3局比赛中乙获胜的次数，求X的分布列和数学期望．18．（12分）如图，在多面体DABCE中，是等边三角形，，．（Ⅰ）求证：;（Ⅱ）若二面角为30°，求直线DE与平面ACD所成角的正弦值．19．（12分）已知函数．（Ⅰ）若是函数的极值点，求a的值；（Ⅱ）求函数的单调区间．20．（12分）已知椭圆E：过点，且焦距为．（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；（Ⅱ）过点作两条互相垂直的弦AB，CD，设弦AB，CD的中点分别为M，N．①证明：直线MN必过定点；②若弦AB，CD的斜率均存在，求面积的最大值．21．（12分）已知数列为有穷数列，且，若数列满足如下两个性质，则称数列为m的k增数列：①；②对于，使得的正整数对有k个．（Ⅰ）写出所有4的1增数列：（Ⅱ）当时，若存在m的6增数列，求m的最小值；（Ⅲ）若存在100的k增数列，求k的最大值．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所写的第一题计分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy中，曲线W的参数方程为（为参数，），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．（Ⅰ）求曲线W的普通方程和直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）已知点，若直线l与曲线W交于M，N两点，求的值．23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知．（Ⅰ）求不等式的解集；（Ⅱ）若的最小值为n，正实数a，b，c满足，求证．2024年普通高等学校招生全国统一考试（第二次模拟考试）理科数学参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．题号123456789101112答案BABCACBDCDAD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．14．15．16．三、解答题：共70分．17．（12分）解：（Ⅰ）前3局比赛甲都获胜，故前3局甲都不下场的概率为．（Ⅱ）X的所有可能取值为0，1，2，3．其中，表示第1局乙输，第3局是乙上场，且乙输，则；表示第1局乙输，第3局是乙上场，且乙赢；或第1局乙赢，且第2局乙输，则；表示第1局乙赢，且第2局乙赢，第3局乙输，则；表示第1局乙赢，且第2局乙赢，第3局乙赢，则；所以X的分布列为X0123P故X的数学期望为．18．（12分）解：（Ⅰ）证明：取BC中点O，连接AO，EO．∵是等边三角形，O为BC中点，∴，又，∴，∵，∴平面AEO，又平面AEO，∴．（Ⅱ）连接DO，则，由，得，，又，∴，∴，又，∴平面ABC．如图，以O为坐标原点，OA，OB，OD所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则，，，，∴，，设平面ACD的法向量为，则即取，则．∵是二面角的平面角，∴，又，∴，，则，∴直线DE与平面ACD所成角的正弦值为．19．（12分）解：（Ⅰ）函数定义域为，，因为是函数的极值点，所以，解得或，因为，所以．此时，令得，令得，∴在单调递减，在单调递增，所以是函数的极小值点．所以．（Ⅱ）．因为，所以，令得；令得；∴函数的单调减区间为，单调增区间为．20．（12分）解：（Ⅰ）依题意有，，解得，所以椭圆的方程为．（Ⅱ）①设：，，，则：，联立，故，，，故，由代替m，得，当，即时，：，过点．当，即时，，：，令，，∴直线MN恒过点．当，经验证直线MN过点．综上，直线MN恒过点．②，令，，∵在上单调递减，∴,当且仅当，时取等号．故面积的最大值为．21．（12分）解：（Ⅰ）由题意得，则或，故所有4的1增数列有数列1，2，1和数列1，3．（Ⅱ）当时，因为存在m的6增数列，所以数列的各项中必有不同的项，所以且．若，满足要求的数列中有四项为1，一项为2，所以，不符合题意，所以．若，满足要求的数列中有三项为1，两项为2，符合m的6增数列．所以，当时，若存在m的6增数列，m的最小值为7．（Ⅲ）若数列中的每一项都相等，则，若，所以数列中存在大于1的项，若首项，将拆分成个1后k变大，所以此时k不是最大值，所以．当i＝2，3，…，n时，若，交换，的顺序后k变为，所以此时k不是最大值，所以．若，所以，所以将改为，并在数列首位前添加一项1，所以k的值变大，所以此时k不是最大值，所以．若数列中存在相邻的两项，，设此时中有x项为2，将改为2，并在数列首位前添加个1后，k的值至少变为，所以此时k不是最大值，所以数列的各项只能为1或2，所以数列为1，1，…，1，2，2，…，2的形式．设其中有x项为1，有y项为2，因为存在100的k增数列，所以，所以，所以，当且仅当，时，k取最大值为1250．22．（10分）解：（Ⅰ）因为曲线W的参数方程为（为参数，），所以，，所以，．即曲线W的普通方程为．直线l的极坐标方程为，则，转换为直角坐标方程为．（Ⅱ）直线l过点，直线l的参数方程为（t为参数），令点M，N对应的参数分别为，，将代入，得，则，，故．23．（10分）解：（Ⅰ）①当时，，解得；②当时，，解得；③当时，，无解；综上，不等式的解集为．（Ⅱ）因为，当且仅当时等号成立．所以，即．．当且仅当，即时等号成立．